高考数学一轮复习极限数列的极限数学归纳法

1、学习好资料 欢迎下载一学问要点第 92-93 课时：第十二章 极限数列的极限、数学归纳法（一）数列的极限1. 定义：对于无穷数列 a n ,如存在一个常数 A,无论预选指定多么小的正数,都能在数列中找到一项 aN,使得当 nN 时, |an-A| 恒成立,就称常数 A 为数列 an 的极限,记作nlim an A . 2. 运算法就：如 lim a 、 lim b 存在,就有n nlimn a n b n limn a n limn b ； lim n a n b n lim n a n lim n b nn lim ab nn nn limlim ab n nn lim b n 0 0 a

2、13. 两种基本类型的极限： S= lim n a n1 a 1不存在 a 1 或 a 1 设 f n 、g n 分别是关于 n 的一元多项式,次数分别是 p、q,最高次项系数分别为 a 、0 p q f n a pb 且 g n 0 n N , 就 lim n g n b q p q 不存在 p q 4. 无穷递缩等比数列的全部项和公式：S a 1（|q|1= ; 2anan= ; （4）limnn11n231221 n1= ; 2n（5）.lim nn22 nn= ; （6）等比数列 a n 的公比为 q= 1/3, 就lim na 1a2a 2a4a2n例 2将无限循环小数.0 1 2；

3、1.3212化为分数 . 例 3已知lim nn21anb 1, 求实数 a, b 的值; n1例 4数列 an,bn 满意nlim 2a n+bn=1, nlim a n 2bn=1, 试判定数列 a n,bn 的极限是否存在,说明理由并求 nlim anbn 的值. 例 5设首项为 a,公差为 d 的等差数列前n 项的和为 An , 又首项为 a, 公比为 r 的等比数列前 n 项和为 Gn , 其中 a 0,|r|0 的等比数列的前n 项之和为 Sn, 又设 Tn=S n1nS nlim nT n. 学习好资料1n欢迎下载例 7a n 的相邻两项 an,a n+1是方程 x2 c nx+

4、=0的两根,又 a1=2, 求无穷等比 c1,c 2, cn, 3的各项和 . 例 8在半径为 R的圆内作内接正方形,在这个正方形内作内切圆,又在圆内作内接正方形,如此无限次地作下去,试分别求全部圆的面积总和与全部正方形的面积总和；rn an r n+1 例 9如图, B1,B2, , Bn, 顺次为曲线 y=1/xx0 上的点, A1,A2, , An 顺次为 ox 轴上的点,且三角形OB1A1,三角形 A1B2A2,三角形 An 1BnAn为等腰三角形（其中 Bn为直角 , 如果 An的坐标为 xn,0. 1 求出 An 的横坐标的表达式 ; 2 求lim n|A nA n1|. y|An

5、1A n|B1 O 二例题（数学归纳法）B2 B3 Bn xA1 A2 An 1An 例 1用数学归纳法证明2nn 2 n N,n 5, 就第一步应验证 n= ; 例 2用数学归纳法证明111211n,nN,n1 , 第一步验证不等式成23n立；例 3. 是否存在常数 a,b,c,2 2使得等式 1 22 3 nn 12n n1an2bnc 对一12切自然数 n 成立？并证明你的结论 .89 年 例 4. 已知数列 a n=111学习好资料欢迎下载Sn=n+1a n-n. 1 n, 记 Sn=a1+a2+a3+ +an, 用数学归纳法证明23例 5证明：1 12 13 2 1n n2 2 n

6、N,n 2 例 6证明： x n na n 1x+n 1a n能被x a 2 整除a 0. 例 7. 在 1 与 2 之间插入 n 个正数 a 1 , a 2 , a 3 , , a n,使这 n 2 个数成等比数列； 又在 1 与 2 之间插入 n 个正数 b 1 , b 2 , b 3 , , b n 使这 n 2 个数成等差数列记 A n a 1 a 2 a 3 a n , B n b 1 b 2 b 3 b n（）求数列 A n 和 B 的通项；（）当 n 7 时,比较 A 与 B 的大小,并证明你的结论例 8如数列 an 满意对任意的 n 有： Sn= n a 1 a n , 试问该

7、数列是怎样的数列？并证明你的2结论. 例 9已知数列bn 是等差数列, b 11,b 1b 2b 10145；（）求数列bn的通项 bn；（）设数列a n的通项 anloga11 （其中 a b n0,且 a1）,记 Sn 是数列a n 的前 n 项和；试比较 Sn 与1 3log ab n1的大小,并证明你的结论；练习（数列的极限）1. 已知 a n 是等比数列 , 假如 a1a2a318,a 2a3a4 9,Sna1a2 an, 那么n lim S n 的值等于 89 年 A8 B16 学习好资料C32 欢迎下载D48 2.lim nn 11 11111n12的值等于 91年 年 345A

8、0 B1 C2 D3 3. 在等比数列 a n 中,a 1 1, 且前 n 项和 Sn满意n limS n1, 那么 a1的取值范畴是 98anA1, B1,4 C1,2 D1,2 7. 等于 A0 B C D5 2 n 28lim n C 112 n 2C 223n C 222nn 1 等于：（A）16 （B）8 （C）4 （D）2 9 已知各项均为正数的等比数列 an 的首项 a1=1, 公比为 q, 前 n 项和为 Sn, lim n SS nn 1 =1, 就公比q 的取值范畴是：（A）. q1 （B） .0 q1 （C）.0 q1 2 2 210. limn nn 3 1 nn 3

9、2 nn 3 n 的值为 A0 B1 C2 D 不存在11. 已知a n 是公差不为 0 的等差数列, Sn是a n 的前 n 项和,那么 n lim naS n n 等于_. 12. 已知等差数列 a n 的公差 d0,首项 a10,S ni n1 a i a 1i 1 , 就 lim n S n_.93 年 13. 假如 lim n a n 存在,且 lim n aa nn 32 49,就 lim n a n_ n 1 n14. n lim 33n 2 2n 1_.86 年 15.n lim n 2 11 n 2 21 n 2 31 n 2n21 _.87 年 16. 已知等比数列 an

10、的公比 q1,a1bb 0 ,就 lim n a a 16 aa 27 aa 38 aa nn_. n n17求 limn aa n aa n = （a0; 18数列 0 1. 8 , 0 . 00 1 8 , 0 . 0000 1 8 , 的前 n 项和及各项和 S= . 1 1 119. nlim1 112 22 12 2 2 1 2n n2 1n .= . 20. 已知数列 a1,a 2, an, 的前项和 Sn与 an的关系是 Snban11n , 其中 b 是与1 b学习好资料 欢迎下载n 无关的常数 , 且 b 1；. 求 an 和 an1 的关系式 ; . 写出用 n 和 b 表

11、示 an 的表达式 ; . 当 0b1 时, 求极限 Sn.87 年 21在边长为 a 的正方形 ABCD中内依次作内接正方形Ai Bi Ci Di i=1,2,3, , 使内接正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为, 求全部正方形的面积之和 . 22已知直线 L：x ny=0n N, 圆 M：x+12+y+12=1, 抛物线 :y=x 12, 又 L 与 M 交于点 A、B,L 与 交于点 C、D,求lim n|AB|2. |CD2 |nan1 n 1,2,3 , 23. 设 an1223nn1 n 1,2,3 ,bnn用极限定义证明lim nb n1.85 年 2练习（数学归纳法）1由归纳原

12、理分别探求：1 凸 n 边形的内角和 fn= ; 2 凸 n 边形的对角线条数 fn= ; 3 平面内 n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,且任意三个圆不相交于同一点,就该 n 个圆分平面区域数 fn= . 2平面上有 n 条直线,且任何两条不平行,任何三条不过同一点,该 n 条直线把平面分成fn 个区域,就 fn+1=fn+ . 学习好资料 欢迎下载3当 n 为正奇数时,求证 x n+y n被 x+y 整除,当其次步假设 n=2k 1 时命题为真,进而需验证 n= ,命题为真；4用数学归纳法证明 n+1n+2 n+n=2 n 1 2 3 2n 1n N, 从“ k 到 k+1” 左端应增乘的

13、代数式为 . 5. 用数学归纳法证明： a n+1+a+1 2n -1 可以被 a 2+a+1整除 n N. 6如 ai0i=1,2,3, ,n, 且 a1+a2+ +an=1, 证明： a1 2+a2 2+ +an 21 . n n2,n N 7已知 An=1+lgxn,B n=1+nlgx+n n1 lg2x, 其中 nN,n 3,x 110, 试比较2AN与 Bn 的大小 . 8数列 a n 中,a 12,an1an1,试证：2an21. 2a nn9. 试证：不论正数 a,b,c 是等差数列仍是等比数列,当都有 a n+c n2b n.n N. n1,n N且 a,b,c 互不相等时,10. 已知数列 a n 的前 n