高等数学考前要点复习中

1、第三章：中值定理与导数的应用 3.1 中值定理本节将运用微分学的两个基本定理,这些定理是争论函数在区间上整体性质的省力工具,为此,先介绍 Rollo 定理：Rollo 定理：如函数 fx 满意：（i）fx 在 a,b 上 连续；（ii ）fx 在（ a,b）可导,（iii ）fa =fb, 就在（ a,b）内至少存在一点,使得f =0. 证明 ：由（ i）知 fx 在a,b上连续,故 fx 在上必能得最大值 又有二种情形：M 和最小值 m,此时,ff（1）M=m,即 fx 在a,b上得最大值和最小值相等, 从而知,此时 fx 为常数：fx M=m,f x0,因此,可知为（ a,b）内任一点,都

2、有f 0；（2）Mm,此时 M 和 m 之中,必有一个不等于 fa或 fb,不妨设 Mfa（对mfa同理证明）,这时必定在（ a,b）内存在一点,使得 f=M, 即 fx 在点得最大值；下面来证明： f =0 第一由（ ii）知 f 是存在的,由定义知：f =lim xfx flim xfxM .* xx由于 M 为最大值,对x 有 fx Mfx M0, 当 x时,有fxffxM0 xx当 x0）；xn1解：x limlnxx limx n nx1x lim1n0；xnnx求x limxn,（n 为正整数,【例 5】xe解：x limxnx limnxn1x limnn21xn2exexexn

3、e注 1：例 5中的 n 可推广到任意正数；x n x n2：例 4 例 5说明当 x 时,e , x , ln x ,0 n 0 都是无穷大量, 但 e 较 x 高阶,x 较 nln x 高阶,不妨用以下记号表示：e xx nln x；【例 6】x lim xx sinsin xx 能否用 L Hospital 法就？解：如用 L Hospital 法就,就有sin xx lim xx sinsin xx x lim 11 coscos xx 不存在,但x lim xx sinsin xx x lim 11 sin xx 11 00 1；x这说明对此题 L Hospital 法就不适合,这是

4、为什么？这是由于定理的第三个条件不满足；【例 7】lim x 0 xlnxx0（ 0型lnx,x）；11【例 8】x lim 0 111 （0 型xlnxlnx）；ln1xx1x【例 9】x lim11xe （1 型,同上）；x 3、3 Taylor 公式多项式是函数中最简洁的一种,用多项式近似表达函数是近似运算中的一个重要内容,在2、8 中,我们已见过：sinxx,ex1x ,1x 111x等近似运算公式,xn就是多项式表示函数的一个特殊情形,下面我们将推广到一个更广泛的、更高精度的近似公式；设 f x 在 0 x 的某一开区间内具有直到 n 1 阶导数,试求一个多项式2 nP n x a

5、0 a 1 x x 0 a 2 x x 0 a n x x 0 1 来近似表达 f x ,并且 Pn x 和 f x 在 0 x 点有相同的函数值和直到 n阶导数的各阶导数,即：P n x 0 f x 0 , P n x 0 f x 0 , P n x 0 f x 0 , , P n n x 0 f n x 0 ；下 面 确 定 Pn x 0 的 系 数 a 0 , a 1 , a n, 通 过 求 导 , 不 难 得 到 n a 0 f x 0 , a 1 1 f x 0 , a 2 1 2 f x 0 , a 3 1 2 3 f x 0 , a n n . f x 0 n P n x f

6、x 0 f x 0 x x 0 f x 0 x x 0 2 f x 0 x x 0 n 2 2 . n .这个 Pn x 即为所求；Taylor 中值定理：假如函数 f x 在 x 的某区间 a , b 内具有直到 n 1 阶的导数,就当xa,b时,f x 可表示为xx 0的一个多项式Pnx 和一个余项Rnx 之和： n f x f x 0 f x 0 x x 0 f x 0 x x 0 2 f x 0 x x 0 nR n x 3 2 . n .其中 R n x f n 1 x x 0 n 1（介于 0 x 与 x之间） n 1 .证明：令 R n x f x P n x ,下证 在 0 x

7、 与 x之间,使得：f n 1 n 1R n x x x 0 n 1 .由于 f x 有直到 n 1 阶导数,Pn x 为多项式,故 Rn x 在 a , b 内有直到 n 1 阶 n 导 数 , 并 且 R n x 0 R n x 0 R n x 0 R n x 0 0； 现 对 函 数 Rn x 和n 1 x x 0 在以 x 和 x 为端点的区间上应用 Cauchy 中值定理,R n x R n x R n x 0 R n 1 n 1 n 1 n 1 n（1在 0 x 与 x 之间） x x 0 x x 0 x 0 x 0 n 1 1 x 0 R n 1 R n 1 R n x 0 R

8、n 2 n n n n 1 n 1 1 x 0 n 1 1 x 0 n 1 x 0 x 0 n 1 n 2 x 0 （2介于 1与 x 之间）如此连续下去,经过 n 1 次后,一个 n 1 介于 n与 x 之间,使得 n 1 R n x n 1 R n n 1 ,明显 n 1 介于 0 x 与 x 之间；一般地,记号 x x 0 n 1 . n 1 R n x R n n 1 n 1 x x 0 n 1 .又由于 R n x f x P n x 而 Pn x 为 n 次多项式,故当 n 1 n 1 n 1 P n x 0 R n x f x n 1 n 1 R n x n 1 f 或 R n

9、x f x x 0 n 1（介于 x 与 x 之间）； x x 0 n 1 . n 1 .注 1：（3）式称为 f x 按 x x 0 的幂绽开到 n 阶的 Taylor 公式,Rn x 的表达式（ 4）称为 Lagrange型余项；2：当n0时（ 3）变为：fx fx0fxx 0（介于x 与 x 之间）,这就是Lagrange公式；3：从（3）式可看出：用（2）式的多项式 Pn x 来近似表达 f x ,所产生的误差为 Rn x ,再 由 （ 4 ） 式 , 不 难 看 出 ： 如 在 a , b 上 , 有 f n 1 x M, 就 有 ：R n x n M1 . x x 0 n 1,此时

10、 lim x x 0 x R n x x0 n 0,即 R n x x x 0 n x x 0 4：如特殊地,取 x 0 0,这时（ 3）式变为： n f 0 2 f 0 nf x f 0 f 0 x x R n x （ 5）.2 n .这里 R n x f n 1 x n 1（介于 0 与 x 之间）,我们称（5）为 f x 的 Maclourin n 1 .公式；【例 1】 求fxex的 Maclourin 公式；exxn1又fn1 x x efx fnx 解：fxfxf0 f0 f0 f n 0 1,ex所以fn1 xexR nx 01, n1 .令代入（ 5）式得：x e1xx2xne

11、xxn1 0k1 ；.2n .n1 .【例 2】 求fxsinx的 Maclaurin 公式；sin,解：fnxsinkfn022当 n1,5,9,13, 时f n 0 1,当 n2,6,10,14, 时fn0 0,按（ 15）式,得：sinxxx3x 51 m1x2m1R 2mxR nx.3.5 2 m1 .其中：R 2mxf2m1xx2m1sinx2m1 x2m101 ；22m1 .2 m1 .注：P 2mx P 2m1x R 2mx R 2m1x ；同理有：cosx1x2x41mx2mR 2m1x,.2.4 2 m .其中：R2m1xcosxmm.1x2m201 ；22【例 3】求1x

12、的 Maclourin 公式；解：1x 1x2 .1 x21 2 x31 2n1 xn.3n .其中：R nx1 n2nxn1 1xn1,（01）1 .【例 4】求ln1x 的 Maclourin 公式；解：ln1xxx2x31 n1xnR nx23nRnx1n 1n .xn11n1 .1 nn111xxn1；xn 3、4 函数单调性的判定法单调函数是函数中的一个重要部分,从图形上看,单调增加（削减） 函数是一条沿 x轴正向上升（下降）的曲线,曲线上各点处切线斜率都是非负的（非正的）,即yyfx,0yfx 0 yfx 单增,就yfx0,如yfx单减,就f x 0；下面来证明反之亦成立,设 y

13、f x 在 a , b 上连续,在 a , b 内可导,在 a , b 内任取两点 x 1 , x 2 x 1 x 2 ,在区间 x 1x 2 上应用 Lagrange中值定理,故在 x 1x 2 内至少存在一点,使得：f x 2 f x 1 f x 2 x 1 ,由于 x 2 x 1 0 f x 2 f x 1 与 f 同号,（i）如在a,b内,f x 0,就有f0fx 2fx 10,即fx 2fx 1,此时,yf x 单增；,就有f0fx 2fx 10,即fx 2fx 1,（ii）如在a,b 内,fx 0单减；此时,yf x 综和上述正反两方面,得：判定法：设 f x 在 a , b 上连

14、续,在 a , b 内可导,就：（1）f x 在 a , b 上单增的充要条件是 f x 0；（2）f x 在 a , b 上单减的充要条件是 f x 0；注 1：此“ 单增” 或“ 单减” 与课本上的意义有些区分,它是指：如 x 1 x 2,就有“f x 1 f x 2 ” 或“f x 1 f x 2 ” 或称“ 不减” 或“ 不增”；而对 x 1 x 2 时,有“f x 1 f x 2 ” 或“f x 1 f x 2 ” 时,称为“ 严格单增” 或“ 严格单减”；在不特殊要求下,也可称为“ 单增” 或“ 单减”；2：如 f x 在 a , b 内有 f x 0 f x 0 ,就 f x 在

15、 a , b 上严格递增（严格递减） ；严格递增（i）f x 0；（ii）在任何子区间上 f x 0；3： a , b 可换成其它任何区间,包括无穷区间,结论成立；【例 1】证明：当 x 0 时,x ln 1 x ；证明：令 f x x ln 1 x f x 1 1 x 01 x 1 x所以,当 x 0 时,f x 0,所以 f x 为严格递增的f x f 0 0 ln 1 0 0,所以 x ln 1 x ；【例 2】争论 f x 3 x x 3单调性；解：f x 3 x x 3 3 1 x 1 x （）当 1时,f x 0 所以 f x 在 , 1 上严格递减；（）当 1 x 1 时 , f

16、 x 0 所以 f x 在-1,1上严格递增；（）当 1 x 时,f x 0 所以 f x 在 ,1 上严格递减；【例 2】中的 , 1 , 1,1 , ,1 通常称为单调区间并且 , 1 , ,1 称为单调增加区间, -1,1称为单调削减区间,而 x ,1 x 1 二点恰为单调区间的分界点,不难知 f 1 f 1 0；一般讲,f x 在定义域内未必单调,但可用适当的一些点把定义域分为如干个区间,便得 f x 在每一个区间上都是单调函数；而这些分点主要有两大类：其一是导数等于 0 的点,即 f x 0 的根；其二是导数不存在的点；事实上,只要 f x 在定义域内连续,且只在有限 n 个点处导数

17、不存在,就可用分点将区间分为如干个小区间,使得 f x 在各小区间上,保持有相同的符号,即恒正或恒负,这样 f x 在每个小区间上为增函数或减函数,各小区间就相对地称为单增区间或单减区间；【例 3】求 y 2 x 5 3 x 2 的单调区间；5 2解：y 2 x 3 5 x 3 在（-,+）上连续,当 X 0 时,2 1y 103 x 3 103 x 3 103 x3x 1再令 y=0,解得, X=1 为导数等于 0 的点,又当 X=0 时,函数的导数的存在,所以 X=0 为不行导的点,现用X=0 和 X=1 作为分点来将（ -,+）分为（ -, 0）,0,1和1,+三个区间；（）在（ -,

18、0）上,f x 0,所以 f x 在 , 0 上为单增函数；（）在（ 0,1）上,f x 0,所以 f x 在0,1上单减；（）在 ,1 上,f x 0,所以 f x 在（ 1,+）上单增；【例 4】方程 ln x ax（其中 a0）有 n 个实根？解：设 f x ln x ax f x 1 ax令 f x 0 , x 1,用 x 1 点将其定义域 （0,+）分为（0,1/a）a a和1/a,+二个区间,且（）当 0 x 1 时,f x 0,所以 f x 在 0 , 1 是单增的,故当 x 1 时,a a axfx1f1；时,fx0,所以fx在1,上为单减的,故当x1 时,aa x（）当aaf

19、xf1；a1时 ,fxf1 1lna即 对由 （ ）（ ） 知 , 当xa xa0 ,fx1lna,下面来争论lnax有几个实根：=0,此时,（a）如 1+lna0,即 a1/e 时,fx0,即方程无解；（b）如 1+lna=0,即 a=1/e时,fx0,且仅在 X=1/a=e 时,有fx方程有唯独的解；（c）如 1+lna0,即 0a1/e 时,f（1/a）0,又在（ 0,1/a）上,f x 单增,且lim f x ,故在（ 0,1/a）上,函数 f x 与 x 轴有一个且只一个交点,即方程x 0的根,又在 1 a , 上,f x 单减,且x lim f x ,故在 1 a , 上,f x

20、与 X轴有一个且只有一个交点,即方程的根,合起来,此时方程有二个实根；3.5 函数的极值的求法上节 例 3中,用 X=0,和 X=1 两点将 f x 2 x 5 3x 2的定义域（ -,+）分为三小区间（ -,0）,0,1,1 ,使用 f x 分别在这三个小区间上单增,单减,单增（见图）,从图中不难看出,在 X=0 的一个较小范畴内,f x 在 X=1 点的最小区间都是虑的局部情形,而不是整体这就是将争论的极值；定义：设函数 f x 在点 X 0的某邻域 U x 0 上有定义,如对 x U x 0 有 f x f x 0 ,（f x f x 0 ）定义：设函数 f x 在点 X0 处的得极大值

21、（微小值）点 X 0 称为极大点（微小点） ,极大值,微小值统称为极值,极大点,微小点统称为极点；明显在上节 例 3中,X=0,X=1 均为极点,注：极大点,微小点未必统一；定理 1：（极值的必要条件）,如函数fx在0 x 点可导,且取得极值,就fx00；注： 1、一般地,fx0在xx0处有fx00,就称0 x 为f x 的驻点或稳固点,上定理 1 即是可导函数的极点必为稳固点；2、定理 1 不是充分的即驻点未必是极点,及例：fx3 x在 x =0 处的情形；=3、定理 1 只对可导函数而言,对导数不存在的点, 函数也可能取及极值, 例：f x x ,在 x=0 点的导数不存在,但取得微小值；

22、4、证明可仿照 Rolle 中值定理的证明,此处不证了；如何判别 f x 在 x0 点取得极值,有下二个定理：定理 2（判别法 1）,设连续,fx在 x0点连续,在 x0 的某肯定心邻域U0 x 0内可导（）如当 x（ x0 , x0 ）时, f （x）0,当 x（x0,x0 + ）时,f （x） 0,就 f（x）在 x0 点取得极大值；（）如当 x（ x0 , x0 ）时, f （x）0,当 x（x0,x0 + ）时,f （x） 0,就 f（x）在 x0 点取得微小值；定理 3（判别法 2）设 f（x）在 x0 的某邻域内可导,且f（x0）=0,f （ x0）存在（）如 f （ x0）0,就

23、 f（x）在 x0 点取得极大值；（）如 f （ x0）0,就 f（x）在 x0 点取得微小值；（）如 f （ x0）=0,就此差别法 2 换效；证：（） f （x 0）=lim f （ x）- f （x0）/x- x0= lim f （ x）/ x- x 00 故存在 x0的某邻域 U（x0 , ）,当 X（ x0 , ）时, f （x）/x- x0；即 f （x）与 x- x0 反号,当 x（x0 ,x0）时,f （x）0,当 x（x0,x0+ ）时, f （ x）0；由差别法 1,f（x）在 x0 点取得极大值；（） 反例 1 f （x）=x2在 x=0 点取得微小值；反例 2 f（x）

24、=x3在 x=0 点取不到极值；例 1上节 例 2 f（x）=3x-x3 例 2求 f（x）=（x-2）2/3（2x+1）的极值解：由fx10 x1 0 x1为驻点；33x2又fx102x54,所以f 1 10310093x2 913所以fx在x1处取得极大值,且极大值为f 1 3；又f x在x2处不行导,对充分小的0 当x2,2 时,fx0；当x2 ,2时,fx0,由判别法 1 知fx在x2处取得微小值,且微小值为f（2）=0,所以 f（x）在 x=1 处取得极大值 3,在 x=2 处取得微小值 0；3.6 最大值、最小值问题：现争论求最大值,最小值的问题,最大（小）值是一整体概念是指函数在

25、定义域 内取到的了最大数,最小数；与极大值,微小值不同；假如最大（小）值在定义域内 部取得,就此最大（小）值必为极大（小）极,这时,最大（小）点必为导数不存在 的点和驻点,另外最大（小）值仍可能在定义域的端点上取得（如端点在定义域中的话）；由此,如 f（x）在定义域上取到最大（小）值；现给出求 大（小）值方法：（i）求出 f（x）在上的全部驻点不行导点和端点；f（x）在区间上的最（ii）求出 f（x）在这些点上的函数值,再进行比较：最大（小）者即为所求的最大（小）值；特殊地,如 f（x）在 a,b上连续,可导,此时最大（小）值必在驻点和端点 a、b 中取得；例 1求 f（x）=x4-2x2+3

26、 在区间 -3,2上的最大值和最小值；解：由于 f（x）在 -3,2上连续,故最大值,最小值肯定存在；又 f（x）在 -3,2内可导,即无不行导的点,下求驻点；令fx 43 x4x,01x 1,0 x 2,1x 31 为驻点；而f0,3f 12f2又在端点处 f-3=66,f（2）=11 经过比较,得知最大者为 66,最小者为 2, f（x）在 -3,2上的最大值为 66,最小值为 2；摸索题： f（x）=x4-2x2+3 在 -3,2上是否存在最大,小值？为什么？例 2求 f（x）=x 4-8x 2 在-1,1上的最值；解： f（x）在 -1,1上连续,可导,最值存在,且在驻点和端点中取得；

27、令 f （ x）=4x3-16x=4x（x 2-4）=0 得 x1=0,x2=2,x3=-2,由于 2,-2（ -1,1）故去掉,所以在 -1,1中有一个驻 点 x=0,且 f（0）=0；又在端点处, f（-1）=f （1）=-7,由比较得 f（X）在 -1,1上的最大值为 0,最小值为 -7；注：上例中, S=0 为 f（x）在-1,1上的唯独的驻点,不难验证 f（x）在 x=0 处取得 极大值（由于 f （0）=-16）,恰好,在 x=0 处 f（x）上取得最大值,但这并非偶然,一般地有：性质：设 f（x）在区间内可导,且只有一个驻点x0,且如 f（x）在 x0 点取得极大（小）值,就 f

28、（x）必在 x0 点取得最大（小）值；例 3在曲线 y=1/x（x0）上取一点使之到原点的距离为最近解：曲线上任一点（ x,y）就（ 0,0）点的距离为sx2y2即sx211x2,而求 x 使 s 最小值可转化为求 x 使 s2=x2+1/x2最小,由题意知,这个最近距离是存2在 的 , 即 函 数 的 最 小 值 存 在 ； 由 s 2 2 x 2 13 2 x3 1 0 x 1 ,1 x 2x x（舍去）所以当 x0 时,只有一个驻点 x=1,且在 x=1 点2 s80；所以 s2在 x=1 处取得微小值 2,所以 s 在 x=1 处取得微小值2 ；而这个微小值2 即为 S 在区间（ 0,

29、+）上的最小值；注：在实际问题中,如由题意得知最大值或最小值存在,且肯定在所致虑的区间内部 取得,此时,如在该区间内部只有一个驻点,那么不必再作争论,就可肯定 f（x0）就是所求的最大值或最小者； 3.7 曲线的凹凸与拐点 为了较精确地描出函数的图形, 单知道函数的单调区间和极值是不行的,比如说,f（x）在a,b上单调,这时会显现图中的几种情形,l1 是 一段凸弧 l2 是一段凹弧,l 3即有凸的部分,也有凹的部分,曲线具有这种凸和凹的性质,称为凸凹性；从几何意义上看,凸弧具有这种特点：从中任取两点,连此两点的弦总在曲线的下方；进而不难知道,在（a,b）中任意取两个点函数在这两点处的函数值的平

30、均值 小于这两点的中点处的函数值；凹弧也有相仿的特点；定义：设 f（x）在 a,b上连续,如对 Vx 1,x2（ a,b）恒有：f（x1+x2/2）f（x1）+f（x2）/2 或 f（x1+x 2/2） f（x1）+f（x2）/2 这称为 f（X）在 a,b上的图形是凹的（凸的）或凹弧（凸弧） ；注： 1、有的书也用此线的位置来定义；2、上面等式有些书上带等号,例如对 y=x4 定理：设 f（x）在 a,b上连续在 a,b内具有一阶和二阶导数,（i）如在 a,b内, f （ x）0,就 f（x）在 a,b上的图形是凸的；（ii）如在（ a,b）内, f （x）0,就 f（x）在 a,b上的图形

31、是凹的；证明：下面证（ i）从（ a,b）中任取二点 x1,x2不防设 x1x2 由 lag range中值定理,fx22xfx12x 2f1x22x 1x12x212x 2fx12fx 1f2x22x 1x 12x 1x2所以fx 12fx2fx 12x21 2ffx2fx12x 21fx 12x2fx 121f1f2x 22x 1f12x 24x12其中21,又由于fx 02f0fx 12fx2fx 12x20 x2,由定义,即得；即 f x 1 x 2 f x 1 2例 1判别曲线 y=2x 2+3x+1 的凹凸性解：由于 y=4x+3,y =40 所以曲线 y=2x2+3x+1 在其定

32、义域（ -, +）上是凹的；例 2证明当 x0,1时,有不等式证：第一,由p,1xp0 1,x px 1p,即证 1 x px 2 p p 1xp xpx 1 1x x p1,2x 0现证：1p 12令 f xxp1xp1 xpx 2.fpfpfx xp的图形在 0,1上凹的1xp 1x 1x pxp1xp即222p2例 3争论曲线 y=arctanx 的凹凸性解 y 12,1 x当 x 0 时, y 0；y曲线1 y2 x2 当 xxarctanx 在 0 时, y 0； 是凸的, 0 上是凹的,在,0从例 3中不难知道点 X=0 为曲线的凹部分与凸部的分界点定义,连续曲线上的 凸弧的分界点

33、称为曲线的拐点；如 f（x）在（ a,b）内有二阶导数, x0 点的拐点,就有 f （x 0）=0,且在 x0左 右两边, f （ x）异号,由此不难求拐点的步骤：（i）求出 f （x）=0,在（ a,b）中的全部解 x=x 0；（ii）对（）中所求的每一个x0,察 f （x）在 x0左右两边的符号,如异号,就x0为拐点,如同号,就x0 不是拐点；x 2 1 的拐点 x例 4求y解：y 1xex,yx2 ex. 令y0 x2 .当x2 时 ,y3x0 ,当x2 时1 x20 21x 32,y 11.0 x2 为拐点.例 5求y5x2的拐点；10解：y11x82x5x123338593x令 y

34、=0 x=1,但此时,在 x=1 邻近,不论 x1 仍是 x1,都有 y 0,x=1 不是拐点；然而,当x=0 时, y 不存在,但当 x0 时, y 0,当 x0 时, y 0,由定义知, x=0 为拐点；3.8 函数图形的描画依据前 n 节所学的学问, 我们可较精确地画出函数的图, 描画函数图象的一般步骤：1、确定函数的定义域,并求出f （ x）,f （ x）2、求出 f （ x）=0 和 f （ x）=0 的全部根,及不行导点,并用这些点将 定义域分为如干个小区间；3、确定 f （ x）和 f （ x）在这些子区间上的符号,并且由此确定的函数 图形的升降,凹凸及极点和拐点；4、确定水平,

35、铅直渐近线,以及其它渐近线；5、确定某些特殊点的坐标,比如：与坐标的交点；6、沿 x 增大的方向按上争论的结果,将点用曲线光滑连结起来,分点的坐标,以把图描得更准些,另外,仍可以观看 例 1作出函数 y=xe-x 的图形f（x）的奇偶性,周期性协作作用；解（） y=xe-x的定义域为（ -, +）y=（1-x）e-x,y =（x-2）e-x（）令 y=0 x=1,令 y =0 X=2 用 x=1,x=2,将（ -,+）分为三部分（ -, 1）,1,2,2,+ （-, 1）上, y 0,y 0, f（X）的图形在（ -,1）上是单增的,且是凸的在1,2上,y 0,y 0,f（x）的图形在（ 1,

36、2）上是单减的,且是凸的在2,+上, y0, y 0,f （x）的图形在 2,+是单减的,且是凹的；进而得 x=1 为极大点, x=2 为拐点（）当 x+时 xe-x0, y=0 是水平渐近线,当 x-时 xe-x-（） f（ 1）=e-1,f（2）=2e-2,f （0）=0,从而得四个点的 f（-1）=-e坐标（ 0,0）,（1,1/e）,（2,2e-2）,（-1,-e）将（）（）（）的结果列成下表：X （-, 1）1 （1,2）2 （2,+）y+ 0 - - - y- - - 0 + Y=f（X）的图形凸极大凸拐点凹3.9 曲率一、弧微分：设 f（x）在 a,b上连续,在（ a,b）内有连

37、续导数,在曲线 y= f（x）上取一点 M 0（x0,y0）为度量弧长的基点,规经沿x 增大的方向为曲线的方向,对曲线上任一点 M （x,y）有向弧段 M 0 M 的长度 S 规定如下：S 的肯定值等于 M 0 M 的长度,当有向弧段 M 0 M 的方向与曲线的正向一样时,S0,相反时, S0,明显, S 是 x 的函数, S=S（x）,且是 X 的单调增加函数,现求 dS/dx 及 ds；是 x,x+ x 是（a,b）内两个邻近的点,在曲线M 当 x 有增量 x 时,设弧 S 有增量 S；ds 1 y 2 ds 1 y 2dx dx2ds 1 y dx二、曲率的运算公式y=f（x）上对应的点

38、为 M,我们学过不少直线,但直线是不弯的,曲线是弯曲的,但各地方,弯曲的程度是不同的,比如,一族同心圆,直径大的弯曲程度没有直径小的厉害；那么用什么来描述弯曲程度的呢？这里我们用曲率,设曲线上 M 点对应的弧长为 S,切线的倾角 + ,我们用比值 s 表示弧 M M 的平均弯曲程度,即平均曲率,记为 Ks为曲线在 M 点的曲率,如 特殊地令 S0,这里 M M,这时,称上平均曲率的极限：k lim s 0 s 存在,就有：k dds k lim s 0 stg y sec 2. d y d y2 dxdx 1 y2 y又 ds 1 y dx k 31 y 2 2例 1 求圆 X2+y2=a 2

39、 上各点的曲率1x2解：2x2yy0 xyy0yxy1y2y3y0y 11y2y1y2yy1y1y2k1y23 2y1y212y11x2y2a如曲线方程为xk t2 t2t3 tyf（x）tt2三、曲率圆与曲率半径D,使DM1在 M 点处的直线,靠凹的一侧上取一点k以 D 为圆心,为半径作圆；3.10 方程的近似解有时,方程 f（x）=0 的解是比较难求的,故用近似的解来代替；所谓=0 的解,就是曲线y= f（x）与 x 轴交点的横坐标；第一,假设 f（x）=0 的解在（ a,b）之中,并且 f（a）,f（b）异号,又设f（x）在a,b上连续,且有二阶导数,且在a,b上, f （x）与 f （

40、x）不变号,此时, y= f（x）在（a,b）上单调,且其凹凸性不变,这样 y= f（x）在（a,b）上的图形不外乎有四种：又由 f（x）单调 f（x）=0 在 （a,b）内只有一个解；一、弦位法对图 1 来分析,连 A（a,f（a）和 B（b,f（b）两点,得直线：y f a f b f a x a 它与 x 轴的交点的横坐标为：b ax 1 af b b af a f a 明显 x1 比 b 更接近 x0,这是第一次代替,为了保证更高精度,在区间 a,x1x 1 a上更用上述同样的方法；使 x 2 a f a 如此连续下去,直到 f x 1 f a xkxk1小于指定的误差为止；二、切线法

41、对图 1 来分析,在 A（a,f（a）作切线 y- f （a）= f （a）（x- a）它与 x 轴交f a 点的横坐标为 x 1 af a 明显 x1 比 a 更接近 x0,这是第一次靠近,为了更精确,在（x1f（x1 ）点再作切线,等其次次靠近 x 2 x f x 1 f x 1 1如此下去,直到 x k x k 1 小于指定误差为止；一般地,作切线的端点的纵坐标与 f （x）同号三、综合法这是把弦位法与切线结合在一起使用一对图 1 来分析：用统位法及 x 1,用切线法得x1,现用 x1 , x1代替 a,b在x1 , x1上用综合法,使其次次改进法规x2 ,x2,如此下去,直到xR- x

42、R 小于指定的误差为止；第四章不定积分教学目的与要求1懂得原函数概念、不定积分和定积分的概念；2 把握不定积分的基本公式,把握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,把握换元 积分法与分部积分法；3 求有理函数、三角函数有理式和简洁无理函数的积分；在其次章中, 我们争论了怎样求一个函数的导函数问题,本章将争论它的反问题,即要求一个导函数的原函数,也就是求一个可导函数,使它的导函数等于已知函数；这是积分学的基本问题之一；4.1 不定积分的概念与性质 一 原函数与不定积分的概念定义 1 假如在区间上,可导函数,的导函数为,即对任一,都有或那末函数就称为（或）在区间上的原函数；例如, x2 是 2x

43、 的原函数, lnx 是 1/x 的原函数因,故是的原函数；注： 1 由此定义上问题是：已知fx,如何去求原函数定理 1：）在区2那一个函数具备何种条件,才能保证它的原函数肯定存在呢？如存在是否唯独如 fx在 I 上连续,就fx在 I 上肯定有原函数；留意：并不是任意在I 上有定义的函数都有原函数,反例fx ,1x0,0 x0定理 2：设 fx在区间 I 上有原函数,且Fx 是其中一个原函数,就1 fx的任意两个原函数相差一个常数2 Fx+C 也是 fx的原函数定义 2 在区间上,函数的带有任意常数项的原函数称为（或间上的不定积分,记作；其中记号称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积

44、分变量；由此定义及前面的说明可知,假如是在区间上的一个原函数,那么就是的不定积分,即；因而不定积分可以表示的任意一个原函数；第一,假如有,那么,对任意常数C,明显也有,即假如是的原函数,那也是的原函数；其次,当为任意常数时,表达式就可以表示的任意一个原函数；也就是说,的全体原函数所组成的集合,就是函数族；例 1 求 . 解 由于=,所以是的一个原函数；因此. 例 2求. 解 当时, 由于=, 所以是在内的一个原函数；因此,在内,当时,由于=,由上同理,在内,将结果合并起来,可写作例 3、已知Fx是lnx的一个原函数,x求：dFsinxlnsinxcosxdx解：F/xlnxxdFsin xdF

45、sinxdsinxdsinxsinx例 4、fx的导函数是sinx,就fx的原函数sin x c 1 x c 2, 1c 、2c 为任意常数 例 5、在以下等式中,正确的结果是 C A、f/xdxfx B 、fdfxfxC、dfxdxfx D 、dxdxfxdx二基本积分表由于积分是微分的逆运算,因此可以有微分基本表导出积分表；见课本积分表；三不定积分的性质依据不定积分的定义,可以推得它的如下两个性质：性质 1 函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和,即. 留意：差的积分等于积分的差性质 2 求不定积分时 , 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来 , 即 是常数 , .例 1

46、求 . 解 =例 2xx11dx1x1151dxx24x2x23x4-x4dx例 3ex1ex dxex4x74xx1C1dxexlnxC4471dxedxxxx例 4 x21 2dxx42x21 dxx4dx2x2dx1 dxx52x3xC4.2 两53类换元法及举例利用基本积分表与积分的性质 , 所能运算的不定积分是特别有限的 . 因此 , 有必要进一步来争论不定积分的求法 . 把复合函数的微分法反过来求不定积分 , 利用中间变量的代换 , 得到复合函数的积分法 , 称为换元积分法 , 简称换元法 . 换元法通常分成两类 .一第一类换元法设 fu 具有原函数 Fu ,即 F u f u 和

47、 f u du F u C 令 u = x ,其中 x是可导的,就 Fu=F x 明显是复合函数,又由于： F x F u x f u x f x x 这说明 F x 是 f x x 的一个原函数,就f x x dx F x C F u | u x C f u du | u x 定理 1 设 fu 具有原函数 Fu, u = x 可导 , 就有换元公式 : f x x dx F x f u du | u x 留意：1Fx不是fx的原函数！2 Fu 是 fu 的原函数是针对积分变量u 而言的,Fx是fx x的原函数是针对积分变量x 而言的；fxx的形式,在令3 运用第一类积分换元法关键在于设法将

48、被积函数凑成uux变成不定积分fudu进行运算,最终用x进行回代；4 在u x 下,fxfu,xdxdu例 1 求 2cos2xdx. 解 作变换 u=2x, 便有 2cos2xdx = cos2x 2dx = cos2x 2x dx = cos u du = sin u+C, 再以 u=2x代入 , 即得 2cos2xdx =sin 2x+C . 例 2 求 tan x dx . 解 tan x dx = s in x /cos x dx.由于 -sin x dx = d cos x, 所以假如设 因此u=cos x, 那么 du=-sin xdx, 即 -du=sin xdx,. 类似地可

49、得 cot x dx =ln|sin x|+C .在对变量代换比较娴熟以后 , 就不肯定写出中间变量 u. 例 3 求 chx/a dx . 解 .例 4 求 a0 .解 .下面的一些求积分的例子 , 它们的被积函数中含有三角函数 , 在运算这种积分的过程中, 往往要用到一些三角恒等式 . 例 5 求 sin 3 x dx . 解 sin 3x dx = sin 2x sinx dx=- 1 -cos 2xdcosx =- dcosx+ cos 2xdcosx=-cosx+1/3cos 3x+C. 例 6 求 cos 2 x dx .解. 附加：1、31dx131d32x1ln32xcc2x2

50、2x22、ln xdxlnxdln x2lnx3x2cx31sin 43、cos x sin 3xdxsin 3 x dsin x44、1xx2d x1d1-x21x2c-25、x2 e-x3dx1-ex3d-x31-ex3c336、2 12 dx 1 12 d x 1arc tan xca x a x a a a1a利用定理 1 来求不定积分 , 一般却比利用复合函数的求导法就求函数的导数要来的困难 , 因为其中需要肯定的技巧 , 而且如何适当的挑选变量代换 u= x 没有一般途径可循 , 因此要把握换元法 , 除了熟识一些典型的例子外 , 仍要做较多的练习才行 . 二 其次类换元法其次类换

51、元法从 形式上看与第一类换元法恰好相反,它是将不定积分 f x dx 通过x t 转换成 f t t dt 来运算,但有几点需要说明；1 f t t dt 要存在,2 尽量查找这样的 x t 使 f t t dt 简洁求出, 3；求出后要用 t 1 x 将积分变量换回到 x, 因此这里仍要求 x t 的反函数存在；定理 2 设 x t 是单调的 、可导的函数 , 并且 t 0 . 又设 f t t 具有原函数t , ,就 fx 具有原函数 1 x 就有换元公式：1f x dx x C f t t dt | t 1 x 其中 t 1 x 是 x t 的反函数 . 证明： 1 x t 1 t f

52、t t 1 f t f x 所以 t 1 x 是 fx 的原函数,从而1f x dx x C t | t x C f t t dt | t1 x 例 1 求 a0解 求这个积分的困难在于有根式, 但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1 来化去根式 . 设 x=asint ,- /2 t /2, 那么 , 于是根式化为了三角式 , 所求积分化为 . 利用例 6 的结果得. 由于 x=asint ,- /2 t /2 , 所以, 于是所求积分为. 详细解题时要分析被积函数的详细情形 , 选取尽可能简捷的代换 . 留意 检验积分结果是否正确 , 只要对结果求导 , 看它的导数是否等于被积函

53、数,相等时结果是正确的,否就结果是错误的；常用变量代换1 被积函数中含有二次根式如是a2x2,令xasint22 a 1,2 a 1u2,令xatanta2x2x2a2,令xasectax2bxC配方a2 1,uu2例 2、12x2dx令xsin,tdxcostdtt x2x x解：原式2costcostdt1 sin2tcot2tdtcsc2t1 dt1cotttC1xx2arcsinxC例 3、14dx二种解法x2xx2sec tx4cosx（2）被积函数中含一般根式例 4、13dx2t32dxt32dt2Cx解：令3x2tx原式3 t2dt3t111tdt13xt133x2233x23l

54、n2例 5、x13x2dx令xt6dx6t5dt原式t6t54dt61t2tdt6t111tdt3t6t2tln1tCC26ln16x33x66x例 6、exx1 dxtt1dtdxext212tClnt1C解：令e121dttxlnt21 t2原式t2t21t11dt22t12x e1lnx e11lnx e11 43 分部积分法这 是 一 个 新 的 积 分 方 法 , 设ux,vxu具 有 连 续 导 数 , 就 有uvuvuvuv, 即uvuv uv,两边同时积分就有,vdxuvuvdx即udvvdu,上式就是分布积分公式；留意：使用分部积分的关键是如何选取 u 和 v 例 1、xco

55、s x dx xdsin xx sin x-sin x dxx sin x cos x cx x例 2、xe dx xdexexexdxxexexC例 3、arcsinx2dx2x 2arcsin x 11x2dxxarcsinx22arcsinxd1-x2x arcsinx-xarcsinx2211x2arcsinx-1-x2112dxxxarcsinx22x2arcsinx-2xC11dx例 4、ln lnxdxln ln x dln xln xxln x ln ln x-ln xx例 5、ln xdxxln x ln ln x-ln x c2cln x d1x2xlnx1dx例 6、xtan2xdxxx2lnx-1cxxx2 secx1 dx例 7、x2arctanxdtanxx22xtanxtan x dxx22x tan xln cos x-x2c2dxx2121arctanxdx1x21xarctanxarctanxdx1x2arc