常用统计分布精品课件

1、常用统计分布第1页，共18页，2022年，5月20日，5点56分，星期三9/17/20221第一节 超几何分布 适用：小群体的两分变量。假定总体为K个成功类、（N-K）个为失败类 1.超几何分布为离散型随机变量的概率分布，它的数学形式是第2页，共18页，2022年，5月20日，5点56分，星期三9/17/202222.超几何分布的数学期望值和方差如果用 ，则有第3页，共18页，2022年，5月20日，5点56分，星期三9/17/20223 例 以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与变异数。 解 由题意可知：N8K3，NK5n5，代入(

2、81)式，故概率分布如下： 由 ， ，代入(84)式、(85)式得（1）（2）X0 1 2 3 合计P=(X=x) 1/56 15/56 30/56 10/5656/56第4页，共18页，2022年，5月20日，5点56分，星期三9/17/202243.关于超几何分布的近似 设某校有l000名大学生，其中有外国留学生10、名，现从该校学生中任抽2人，求抽到外国留学生的概率分布。 解 抽到外国留学生人数X服从N1000、K10、n2的超几何分布，根据(81)式得 第5页，共18页，2022年，5月20日，5点56分，星期三9/17/20225 由于 000201，用二项分布近似 计算有 ，由(8

3、6)式得 两种方法计算结果比较一下，仅在小数点后第5位上才出现误差。当然在01时，如此计算误差会比较大。另外，二项分布的计算量仍不算小，有时还可以将二项分布近似为泊松分布，这一点我们将在下一节讨论。 第6页，共18页，2022年，5月20日，5点56分，星期三9/17/20226第二节泊松分布 适用：稀有事件的研究。一个事件的平均发生次数是大量实验的结果，在这些试验中，此事件可能发生，但是发生的概率非常小。 泊松分布亦为离散型随机变量的概率分布，随机变量X为样本内成功事件的次数。若为成功次数的期望值，假定它为已知。而且在某一时空中成功的次数很少，超过5次的成功概率可忽不计，那么X的某一具体取值

4、x（即稀有事件出现的次数）的概率分布为 第7页，共18页，2022年，5月20日，5点56分，星期三9/17/20227 泊松分布的性质：x的取值为零和一切正整数；图形是非对称的，但随着的增加，图形变得对称；泊松分布的数学期望和方差均为。第8页，共18页，2022年，5月20日，5点56分，星期三9/17/20228 例 某城市50天交通事故的频数分布如 表所示，试求泊松理论分布。X0123 4合计P0.44930.35950.14380.03830.00911.0000理论频（50Pi )22.418.07.21.90.550.0一天交通事故数0123合计天数f23177350 解 由资料知

5、查泊松分布表，得理论分布 将实测频数与理论频数比较，可知题中所述稀有事件是满足泊松分布的。 第9页，共18页，2022年，5月20日，5点56分，星期三9/17/20229 第三节 卡方分布 卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布，主要用于列联表检验。 1.数学形式 设随机变量X1，X2，Xk，相互独立，且都服从同一的正态分布N (，2)。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量Z1，Z2，Zk，k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布（ 分布）的随机变量 （ 读作卡方），且 我们把随机变量 的概率分布称为 分布，其概率密度记作 。其中k为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量的个数。 第

6、10页，共18页，2022年，5月20日，5点56分，星期三9/17/202210 关于卡方分布的分布函数，附表7对不同的自由度k及不同的临界概率(01)，给出了满足下面概率式的 的值(参见图)。 注意 写法的含义：它表示自由度为k的卡方分布，当其分布函数 时，其随机变量 的临界值(参见图)。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平上卡方分布随机变量 的临界值。 第11页，共18页，2022年，5月20日，5点56分，星期三9/17/202211解 查卡方分布表(附表7)得 例 试求下列各值： 例 已知k5， 15，求临界概率。 解 查卡方分布表，在表中自由度为5的横行中找到与15最接近的数

7、值是15086，得到的近似值为001。由此可知 001 第12页，共18页，2022年，5月20日，5点56分，星期三9/17/202212 式中：2代表总体方差，自由度为nl。 2.卡方分布的性质 (1) 恒为正值 。 (2)卡方分布的期望值 是自由度k，方差 为2k。 卡方分布取决于自由度k，每一个可能的自由度对应一个具体的卡方分布。卡方分布只与自由度有关，这就给卡方分布的实际应用带来很大方便。分布由正态分布导出，但它之所以与正态分布的参数和无关，是因为标准正态变量Z与原来的参数无关。 (3)卡方分布具有可加性 (4)利用卡方分布可以推出样本方差 S2 的分布第13页，共18页，2022年

8、，5月20日，5点56分，星期三9/17/202213 所以，样本方差S 2落在33和87之间的概率约为90。 3. 样本方差的抽样分布 例 由一正态总体抽出容量为25的一随机样本，已知26，求样本方差S 2在33到87之间的概率。 解 已知n25，26，由 得 第14页，共18页，2022年，5月20日，5点56分，星期三9/17/202214 第四节 F 分布 F 分布是连续性随机变量的另一种重要的小样本分布，可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是否相等。还是方差分析和正交设计的理论基础。 1.数学形式 设 和 相互独立，那么随机变量 服从自由度为(k1，k2)的F分布。其中，

9、分子上的自由度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。 第15页，共18页，2022年，5月20日，5点56分，星期三9/17/202215 我们把随机变量F的概率分布称为F分布，其概率密度记作 。本书附表8，对不同自由度(k1，k2)及不同的临界概率(01)，给出满足下列概率式的F(k1，k2)的值(参见图)。 注意 写法的含义：它表示自由度为 (k1，k2)的F分布，当其分布函数 时，其随机变量 F 的临界值(参见图)。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平上F分布随机变量 F 的临界值。 第16页，共18页，2022年，5月20日，5点56分，星期三9/17/202216 例 试求下列各值： 如果 和 是两个独立随机样本的方差，样本来源于具有相同方差2的两个正态总体，样本容量分别为n1和n2，那么根据(822)式，随机变量F 服从于自由度为(n11和n21)的F分布。 解查F分布表(附表8)得 第17页，共18页，202