线性代数课后习题答案第1-5章习题详解

1、4.计算下列各行列式：；（4）（1）；（2）；（3）bddebd解(1)=0(2)rrrr=0be(3)bdde=be=be(4)brbdd=(d=(=(=bbz5.证明:(1)bb=(b);(2)bz=b;bz(3)bd(b(d(b(d(b(d;(4)bdbdbd(b)()(d)(b)(bd)(d)(bd);(5).nnn证明(1)bbb(bbb(b)(b)b(b)右边(2)bzbzbbzbzbzbbbzb(3)左边bdbdbd(b(d(b(dbdbdbdbd按第二列b按第二列b分成二项dbdbdbbddbdbdb第二项dbdbdbdbd(4)bdbd=bdbdbdbbdd=bdbdbbdd

2、=(b)()(d)bbdbbbbbddbb=(b)()(d)(b)(db)(b)(b)(dbdb)(db)=(b)()(d)(b)(bd)(d)(bd)(5)用数学归纳法证明当时,命题成立.假设对于(阶行列式命题成立，即,则按第列展开:nnnnnn右边n6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得ij，证明(证明ij(,.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn(nn(同理可证nnnn(7.计算下列各行列式（为阶行列式）：(1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是(2);nnnnnnn(3)n;提示：利用范德蒙德行列式的结果bbd;d(5),其中ij;nijij(6)

3、n,其中.nn解(1)(再按第一行展开)nnn(2)将第一行乘(分别加到其余各行，得n再将各列都加到第一列上，得n(3)从第行开始，第行经过n次相邻对换，换到第1行，第n行经(次对换换到第2行，经nnnn次行交换，得此行列式为范德蒙德行列式(i(jijijijijijijijb(4)bddbbbbdbd展开bddddnnn由此得递推公式：bnnnndbnnnnn(db)nniiii而而bddb(db)(5)ijijnniiiiiijrrrr,=(n(n,nnnn)展开（由下往上）)(nnnnn)(nnnniinnnn解(1);1,2,3,(2)按最后一行展开)(为行列式中的余子式,为中的余子式

4、,类推)按第一列展开;9.问,取何值时,齐次线性方程组9.问,取何值时,齐次线性方程组有非零解？解，齐次线性方程组有非零解，则即得或不难验证，当或时,该齐次线性方程组确有非零解.10.问取何值时,齐次线性方程组10.问取何值时,齐次线性方程组有非零解？解)()()齐次线性方程组有非零解，则得或不难验证，当或第二章矩阵及其运算已知线性变换求从变量到变量求从变量到变量的线性变换解由已知故求从到的线性变换已知两个线性变换解由已知所以有设求及解计算下列乘积解(解吗解所以吗解所以吗解故举反列说明下列命题是错误的若则则但若则或则但且若且则解取则且但设求解求当时显然成立假设时成立，则时，由数学归纳法原理知设

5、为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵证明因为所以从而是对称矩阵设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是证明充分性因为且所以即是对称矩阵必要性因为且所以求下列矩阵的逆矩阵故存在因为*故存在因为*所以故存在因为*由对角矩阵的性质知解下列矩阵方程解解利用逆矩阵解下列线性方程组解方程组可表示为从而有故有设为正整数证明证明因为所以又因为所以由定理推论知可逆且证明一方面有另一方面由有故两端同时右乘就有设方阵满足证明及都可逆并求及(E)E证明由得即(E)或由得即(E)E)E(E)(E)E)证明由得两端同时取行列式得即E|故所以可逆而故也可逆由(E)(E)E(E)E)所以设求*所以)设矩阵可逆证明

6、其伴随阵也可逆且)*得所以当可逆时有从而也可逆因为所以)*)*所以)*)*设阶矩阵的伴随矩阵为证明若则证明用反证法证明假设则有由此得所以这与矛盾，故当时有*则取行列式得到若则若由知此时命题也成立因此求EE且求EE即因为E所以可逆从而设求解由得,)已知矩阵已知矩阵的伴随阵*且求解由得由得E*)E*)求解由得所以*求*设矩阵、及都可逆证明证明因为而是三个可逆矩阵的乘积所以可逆即可逆计算EEEEEE验证CC故CCC求及故解令设阶矩阵及阶矩阵都可逆求解设则EE所以E解设则EEE所以E求下列矩阵的逆阵则则C1把下列矩阵化为行最简形矩阵：(2)(3)(3)(4).rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

7、rrrr(3)(3)rrrrrrrrrrrrr(4)(4)rrrrrrrrrrrrrrrrrrr2.设，求A。解：A=3试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(2).解（1）解（1）故逆矩阵为(2)(2)故逆矩阵为4(1)设,4(1)设,求使(2)设,求使.解初等行变换(2)(2)初等列变换5.设，AX=2X+A,求X。解：由AX=2X+A得：X(E)6在秩是r的矩阵中有没有等于0的r阶子式?有没有等于0的r阶子式?解在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r阶子式也可能存在等于0的r阶子式.例如，.()同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.设()r，且的某个r阶子式设()r，且的某个r阶子式.矩阵

8、是由矩阵划去一行得到的，所以在中能与相同的r阶子式，由于，解()()r找到rrrr故而()().,秩为4,不妨设取解设,为五维向量且则所求方阵可为故满足条件的一个方阵为9求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式：(2)；(3).rrrrrr.rr二阶子式(2)(2)rrrrrrrr.二阶子式(3)(3)rrrrrrrrrrrrrrrrrr秩为3三阶子式10.设都是mn矩阵，证明的充分必要条件是()()。证：必要性即定理3，故需证明充分性，设()()=r，由矩阵的等价标准型理论知矩阵A、B具有相同的标准型，F有相同的标准型，Frm，于是F，F，从而由等价关系的对称性和传递性，知。11.设，问k为何值

9、时，可使：(1)()；(2)()；(3)()。解：对A作初等变换，于是，由定理3，(1)当k1时，()；(2)当k-2时，()；(3)当且时，()。(1)(2)(3)(4)解(1)对系数矩阵实施行变换:,即得,即得.故方程组的解为.(2)对系数矩阵实施行变换:即得即得故方程组的解为(3)对系数矩阵实施行变换:即得.故方程组的解为即得.故方程组的解为13求解下列非齐次线性方程组(3)w(4)w(1)(2)wwww()而()故方程组无解即得.亦即.(3)对系数的增广矩阵施行行变换即得ww即(4)对系数的增广矩阵施行行变换ww即即得www14.写出一个以14.写出一个以（*）解：把(*)式改写为把，

10、得，由此知所求方程组有2个自由未知数，且对应的方程组为，即，即，它以(*)式为通解。,(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解(1)即时方程组有唯一解.由得时方程组无解.(3)()()由)得时方程组有无穷多个解.解(当时方程组解为当时方程组解为,当取何值时有解？并求出它的通解(方程组有解，须)(得17设.问为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解当即且时，有唯一解.当当且，即时，无解.且，即时，有无穷多解.此时，增广矩阵为原方程组的解为此时，增广矩阵为原方程组的解为(,)18.证明的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量b，使。证：充分性：设m，bbbb

11、m，并不妨设b，利用矩阵秩的定义，显然，有一个一阶非零子式，任取的一个2阶子式（为确定起见，不妨设取的第行、第j行及第k列、第列所得2阶子式）：bibjbilbjlbbbb，于是，。ijlijl必要性：设ijm因，由等价标准型理论知，存在因，由等价标准型理论知，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使PP，于是和b分别为非零m维列向量及非零n维行向量。19.设A为mn矩阵，证明：(1)方程E有解的充分必要条件是m；m(2)方程E有解的充分必要条件是n；n证：（1）方程E有解()(,E)(定理7)mmm（必要性由不等式m(,E)()m得到；m充分性由不等式m()(,E)m得到）。m（2）方程E有解E有

12、解()n。n20.设A为mn矩阵，若，且n，则。证：将m矩阵X，Y按列分块为，则如果，且n；即，且n；亦即，且n，那么根据齐次线性方程组的理论，当n时，齐次线性方jj程组只有零解，只有零解，即，jjjj亦即，j,，故。jj1设,求及.解2设)其中求解由)整理得1T2T3T1T2T3T,rrrrrrrrr1T2T1T2T3T,1232341232342342312312312341231234232344123rrTTTTTT1T2T3T12121212121122121211221T2T1T2T11T1T22TTT112210举例说明下列各命题是错误的(1)若向量组,是线性相关的则可由,线性表

13、示.mm(2)若有不全为0的数,使bb成立则mmmmm,m与题设矛盾.bbm(3)若只有当,全为0时等式bb才能成立则mmmmm,线性无关b,b亦线性无关.mm(4)若,线性相关b,b亦线性相关则有不全为0的数,使mmmbb同时成立.mmmm解(1)设满足,线性相关但不能由mm,线性表示.m(2)有不全为零的数,使bbmmmmm原式可化为(b)(b)mmm取b,b,b.其中e,e为单位向量则上式成立mmmm而,b,b均线性相关.mm(3)由bb(仅当)mmmmmb,b,b线性无关mm取取b,b为线性无关组.mm满足以上条件但不能说是,线性无关的.m(4)bb11设b,b,b,b证明向量组b,b

14、,b,b线性相关.证明设有,使得bbbb则()()()()()()()()(1)若,线性相关则存在不全为零的数,由,不全为零知,不全为零即b,b,b,b线性相关.(2)若,线性无关则由知此齐次方程存在非零解.则b,b,b,b线性相关.综合得证.12设b,b,b且向量组,线性无关证明向量组rrrb,b,b线性无关.r证明设bbb则rrrrprprr因向量组,线性无关故rrrr因为故方程组只有零解.则.所以b,b,b线性无关rr13求下列向量组的秩并求一个最大无关组(1)(1)由由解(1),线性相关.秩为2,一组最大线性无关组为,.(2)(2)秩为2,最大线性无关组为,.14利用初等行变换求下列矩

15、阵的列向量组的一个最大无关组并把其余列向量用最大无关组线性表示(1)(1)(2).解(1)r解(1)rrrrrrrrrr所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)(2)rrrrrrrr，rrrbbTTTT1T2T3T4T,b123416设,是一组n维向量已知n维单位坐标向量,能由它们线性表示证明nn,线性无关.n证明维单位向量,线性无关.不妨设nnnnnnnnnnneeeee两边取行列式，得ee由eeee即n维向量组,所构成矩阵的秩为n.故,线性无关.nnn17设,是一组n维向量证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线nn性表示.证明设,为一组n维单位向量，对于任意n维向量n

16、,则有即任一n维向量都可由单位向量线性表nn示.,线性无关，且,能由单位向量线性表示，即nnnnnnnnnnnn两边取行列式，得由由nnnnnn.由nn即,都能由,线性表示，因为任一n维向量能由单位向量线性表示，故nn任一n维向量都可以由,线性表示.n已知任一维向量都可由,线性表示，则单位向量组：n,nnn12m1kk12k112m12m1122mm23m1111kk1k2m1122kkkk1122k1k1k1则有b,b,br又(b,则有b,b,br又(b,b)(,)K则,K由于,线性无关所以Krr(b,b)(,)K，r其中K为r矩阵，且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩(K

17、)r.证明若组线性无关令(b,b)(,)则有r由定理知()()(),(K)(K)由组b,b,b线性无关知()r，故(K)r.r又知K为r阶矩阵则(K)r,由于向量组b,b,b能由向量组,线性表示则rrr,r综上所述知r(K)r即(K)r若()r令bbb其中为实数i,rrrirrrrrrrrrrrr（1）rrrr由于(K)r则(1)式等价于下列方程组rrrrrrrr由于rrrrrrr12n12n,Kn1112n12n12n322222322,32222(1)(1)(2)(3)nn.n解解(1)(2)初等行变换(2)初等行变换所以原方程组等价于因此基础解系为,取得;取得.因此基础解系为,(3)原方

18、程组即为(nn取n得n取n得(n取nn得n所以基础解系为,解所以基础解系为,解由于(),所以可设.则由n可得解此非齐次线性方程组可得唯一解，故所求矩阵,(,)24求一个齐次线性方程组使它的基础解系为,.解显然原方程组的通解为即即此即所求的齐次线性方程组.消去,得34T34TT12TT1T2T34TT12TT34TT12TT1T2Tr4123TTTT26设n阶矩阵满足E为n阶单位矩阵证明()(E)(提示利用矩阵性质6和8。)证明(E)所以由21题所证可知()(E)又(E)(E)由11题所证可知()(E)()(E)(E)(E)由此()(E)当*)当当(1)(1)(2)解(1)初等行变换(2),r,

19、29设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知,是它的三个解向量且，求该方程组的通解解由于矩阵的秩为3，r，一维故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于,均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得为其基础解系向量，故此方程组的通解：，()1T2T3TT(,b)r123123,b321321123123T123T123T11112222i2i23333bbbbbbb123423412312341234T123123T234TTT33设是非齐次线性方程组b的一个解,nr是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明:(1),r线性无关；(2),r线性无关。证明(1)反证法,假设

20、,r线性相关,则存在着不全为0的数C,C,Cnr使得下式成立:rr(1)其中,C否则,nr线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。由于为特解，,nr为基础解系，故得rrb而由(1)式可得rr故b，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得b产生矛盾,假设不成立,故,r线性无关.(2)反证法,假使,r则存在着不全为零的数C,C,Cnr使得下式成立:rr（2）即rrr1)若CCCnr,由于,nr是线性无关的一组基础解系,故CCCnr,由(2)式得此时CCCnr与假设矛盾.2)若CCCnr由题(1)知,r线性无关,故CCCnrCCCnr与假设矛盾,综上,假设不成立,原命题得证.34.设,是非齐次线

21、性方程组b的个解，,为实数，满足.证明也是它的解.证明由于,是非齐次线性方程组b的个解.故有b(i,)i而()b()b即b（）从而也是方程的解35设非齐次线性方程组b的系数矩阵的秩为r，,nr是它的r个线性无关的解(由题24知它确有r个线性无关的解)试证它的任一解可表示为nrnr（其中nr）.证明设为b的任一解由题设知：,nr线性无关且均为b的解取,nrnr，则它的均为b的解用反证法证：,nr线性无关反设它们线性相关，则存在不全为零的数：l,l,lnr使得lllnrnr即l()l()lnr(nr)亦即(lllnr)lllnrnr由,nr线性无关知(lllnr)lllnr矛盾，故假设不对,nr线

22、性无关，为b的一组基由于,均为b的解，所以为的b解可由,nr线性表出nrnr()()nr(nr)nr)nrnr令nr则nrnrnr,证毕nrnr,证毕36设,nnn,nnn问,是不是向量空间？为什么？证明集合成为向量空间只需满足条件：若,，则若,，则是向量空间，因为：,.,.,且()()()()()nnnn故,(,)n()故nn不是向量空间，因为：()()()()()nnnn故,(,).()nnn故当时，37试证由,所生成的向量空间就是.证明设(,),于是()故线性无关.由于,均为三维且秩为3,所以,为此三维空间的一组基故由,所生成的向量空间就是.证明设,证明设,所生成的向量空间记作L试证LL

23、.任取中一向量可写成要证从而得由得上式中把,看成已知数把,看成未知数,有唯一解同理可证同理可证()故,(用这个基线性表示.解由于,即矩阵(,)的秩为3.故,线性无关，则为的一个基.设，则故设，则故线性表示为1T2T3T1T2T3T123123123,e,e,ee,e,e,b,b,be,e,e,1231231试用施密特法把下列向量组正交化：,；(2),b,令b，bb,令b，bb，b,bb,b,bbb，b,bbb,b,bbb,bb,bb,bb,b故正交化后得(b,b,b)(2)根据施密特正交化方法令bb,bb(b,b,b)2下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由(2)解(1)第一个行向量非单位向量故不

24、是正交阵(2)该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT4设与都是阶正交阵，证明也是正交阵证明因为,是阶正交阵，故，()E(3)(3)(2)5求下列矩阵的特征值和特征向量(1)并问它们的特征向量是否两两正交?,(.,解(1)解(1)E(.故的特征值为(E)得基础解系(E)得基础解系P所以P(是对应于的全部特征值向量当时解方程(E)由所以P(是对应于的全部特征向量,故P,P不正交(2)E.故的特征值为当时，解方程，由得基础解系得基础解系E得基础解系E得基础解系P故P(是对应于的全部特征值向量.当时解方程(E)，由故P(是对应于的全部特

25、征值向量当时，解方程(E)，由故P(是对应于的全部特征值向量,，P,PPP(，P,PPP(，所以,两两正交(3)E=当时，nininiiEEaannnn取为自由未知量，并令，设,nnnn.nnEaa故基础解系为当时，nnnnn可得基础解系,n综上所述可知原矩阵的特征向量为,nTTTTT12nr12nt12nr12nt12nr12nt1122nrnr1122nrnr1122nrnr1122nrnrntnr12nt11nt12222222mnnm32323211112113设证明则可逆()()()则与相似E123rrrETbbE123Ebb(1)(1)(2)解(1)E)(故得特征值为当时，由.解得

26、.单位特征向量可取.解得.单位特征向量可取当时由.解得单位特征向量可取13得正交阵,.E(，当时由2323故得特征值为当时，由.解得.解得.解得.单位化.17设矩阵与相似，求,；并求一个正交阵P，使单位化得当时由得正交阵(P,P,P).P.解方阵与相似，则与的特征多项式相同，即EE1231T2T3T12311TTTT121121461236220设3阶对称矩阵的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为P求.解设.由，知故利用可推出故利用可推出秩为1.则存在实的,b使得则存在实的,b使得(,)b(,成立得由解得得12nT1T22TTTT2TT222222T12n1222n2T12n12n1T2nT