高考数学函数的单调性和奇偶性

1、函数的单调性和奇偶性. 教学内容函数的单调性和奇偶性. 重、难点 重点：函数单调增、减区间的意义，应用定义判断函数的单调性，奇偶性。 难点：证明函数的单调性典型例题】例 1 如果函数 f (x)例 1 如果函数 f (x)2x2 2(a 1)x 2在 (,4 上是减函数，求 a 的取值范围。解： 对称轴 x 1a ，由 1 a 4 得 a304例 例 2 判断函数 f (x)3x a( a R)在 R上的单调性解： 设 x1 、 x2R且 x1 x2则x1 x20(1)f (x2) f (x1)( x32 a)( x13a)(x122x2)(x1 x1x2 x2 ) (2)当 x1 x2 0

2、时，2 x12 x1x2 x20当 x1 x2 0 时，x1和x2 中必有之一不为0(x1x2)2 x1 x1x22x20当 x1 x2 0 时，2x12 x1x2 x2(x1x2)2x1x20在上面讨论结合(1)和( 2)有f(x2)f (x1) 0函数在 R 上是减函数例 3 已知函数 f(x)， g(x)在 R上是增函数，求证： fg(x)在 R上也是增函数。证： 任取 x1， x2 R且 x1 x2则因为 g(x) 在 R 上是增函数所以 g(x1)g(x2)又 f(x)在 R上是增函数fg(x1fg(x1) fg(x2)fg(x) 在 R 上是增函数结论： 同增异减： y f (u)

3、与 ug (x)增减性相同(反) 结论： 同增异减： y f (u)与 u函数。1 yx例 4 求函数x 的单调区间解： 首先确定义域： xx 0解： 首先确定义域： xx 0在(,0)和 (0,)两个区间上分别讨论任取 x1、 x2 (0,)且 x1 x2f (x2 ) f (x1) x21f (x2 ) f (x1) x21x2x11x1(x2 x1)x1 x2x1x2(x2(x21x1)(1)x1x2要确定此式的正负只要确定1要确定此式的正负只要确定11x1 x2 的正负即可1这样，又需判断x1x2 大于 1 还是小于 1，由于x1x2 的任意性。考虑到要将 (0 ,)分为 (0,1)与

4、 (1,)(1)当 x1 ,x21 1 0 (0 , 1)时，x1x2 f (x2 ) f(x1) 0为减函数( 2 )当 x1, x211(1, ) 时，x1x20 f (x2 ) f(x) 0为增函数同理( 3)当 x1 , x2 ( 1,0) 时，为减函数例 5 判断下列函数是否具有奇偶性1)f(x)(132x) 3 3(1 x2)2)1)f(x)(132x) 3 3(1 x2)2)f(x)2x33)f(x)1x x 14)f(x)x2 1 1 x25)f(x)(x1) 11 xx2注： 对于定义域内的任意一个x，都有f(x)f (x) 成立，则称 y f(x) 为偶函数。对于定义域内的

5、任意一个x，都有f(x)f ( x)成立，则称 y f (x)为奇函数。解：( 1)函数与定义域为 Rf (x) (1 x)33(1x2)x33xf ( x)x33xf (x)f(x) 为奇函数2)函数的定义域为又 f( x)R2( x) 3f (x) (1 x)33(1x2)x33xf ( x)x33xf (x)f(x) 为奇函数2)函数的定义域为又 f( x)R2( x) 32x3f(x) f (x) 为偶函数3)函数的定义域为f(x) 为非奇非偶函数4)函数的定义域为1,1，此时 f(x) 0 f(x) 既是奇函数又是偶函数5)1x1，知定义域关于原点不对称 f(x) 既不是奇函数也不是

6、偶函数例 6 函数 f(x)在( , )上为奇函数，且当 x ( ,0时， f (x) x(x 1)，则当 x (0, ) 时，求 f(x) 的解析式。解：设x (0, 解：设x (0, )则 x ( , 0)f( x) ( x)( x 1) x(x 1) 当 x (0, ) 时， f (x)x(x 1) f (x)x(x1)例 7 设 f (x) 为奇函数，且在定义域 ( 1,1) 上为减函数，求满足f(1a)f (1 a2) 0 的实数 a 的取值范围。解：由 f (x)为奇函数知： f (1 a)2f (1 a2) f (1a2)f(a21)又 f (x) 在 R 上为奇函数f ( x)

7、 f (x) x(x 1)由 f (x) 是减函数知： 1 a a2 11 1 a 11 1 a2 11 a a 1 解得 0 a 1例 8 设 f (x) 是定义在 例 8 设 f (x) 是定义在 (0,式 f(x) f (x 3) 2的 x的取值范围。解： f (x) f(x 3) f (x2 3x)又2 2f (2) f (2) f(2) f (4)3x) f (4)2 f(x) f (x 3) 2 化为 f (x23x) f (4)2x3x4x0 x30解得 2x3x4x0 x30解得 3x4模拟试题】. 选择题1. f (x) 4x2mx1 ，当 x2时递增A. 13B. 1C.

8、21D.2. 若奇函数 y，当 x 2时递减，则 f (1)的值等于()3f(x)(x R)的图象过点 (a, f (a) ，则必过点(A.(a , f ( a)B.( a, f(a)1 y3. 函数 xk(k1)在(,0)，(0,)上都是增函数，则k 的取值范围A. ( ,1)(1,)B.( ,0)C. ( ,1)D.(1, )4. f (x) 在 ( 4, 7) 上是增函数，则yf(x3) 的增区间是()A. ( 2 ,3)B. ( 110)C. ( 1, 7)D. ( 4 ,10)C.D. ( a , f (a)( a, f ( a)二 . 填空题( a, f ( a)函数 y x 1

9、的递增区间是 。22. 若函数 f (x) 是 R上的增函数，且 f (x x) f (x a) 对一切 x R都成立，则实数 a 的取值范围是 。3. 已知 f (x)7 axbx6cx5 dx8， f ( 5)15，则 f (5) 。1 (14. 若 F(x) 是奇函数，则函数G(x)F(x) ，(ex1 2)的图象关于对称。三 . 解答题1. 已知 f (x) 是偶函数，在 (0, )上是增函数，那么 f (x)在( , 0) 上是增函数，还是减 函数？并加以证明。y ax 2函数 y x 2 在 ( 2 ,)上单调递增，求实数 a 的取值范围。3. 定义在 2 , 2上的偶函数 g(x

10、) ，当 x 0时，g(x) 单调递减，若 g(1 m) g(m) ，求m 的取值范围。试题答案】1. C 2. DD 4. B1. 1, )2. (0 , ) 3. 31 4. y 轴f (x1) ， f (x1) ， f ( x2) f (x2)f( x2 ) y2. 解：ax2a(x 2)2(a1) a2(a1)x2x2ax2在(2,)上单调递增a2(a1) a2(a1)设2x1x2 则x12x22a1a111 x12x22x22 x120 x1 2 x2 2a10即a1上是减函数3. 解： g(x) 为定义在 2 , 2上的偶函数，且当 x 0时递减1. 设 x1 x2 0 由于 y 由假设可