圆的标准方程-完整版PPT

1、2圆与圆的方程2.1圆的标准方程问题引航1.圆的定义是怎样的？一个圆由哪些因素确定？2.圆的标准方程由什么确定？若求一个圆的标准方程，需要求什么？1.圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到_的距离等于_的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.(2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是_.当a=b=0时，方程为x2+y2=r2，表示以_为圆心，r为半径的圆.定点定长(x-a)2+(y-b)2=r2(0，0)2.中点坐标公式A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为_.1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定一个圆的几何要素是圆心与半径.()(2)若点M

2、(1，1)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的外部，则(1-a)2+(1-b)2r2.()(3)A(a，0)，B(0，b)的中点坐标为 .()【解析】(1)正确.只要圆心与半径确定，则圆的方程就确定.(2)正确.因为M在圆外，所以 所以(1-a)2+(1-b)2r2.(3)正确.A，B中点坐标为 即 答案：(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)圆心在(0，1)，半径为2的圆的标准方程为_.(2)圆(x-3)2+(y-2)2=9的圆心为_，半径r=_.(3)点P(0，2)与圆x2+(y-1)2=2的位置关系是_.【解析】(1)代入圆的标准方程可得(x-0)2+(

3、y-1)2=4.答案：x2+(y-1)2=4(2)由圆的方程知圆心坐标为(3，2)，半径为3.答案：(3，2)3(3)把P(0，2)代入到圆的方程中，可知02+(2-1)2=124，所以点P(m，5)在圆外.【题型示范】类型一 圆的标准方程的求法【典例1】(1)(2014德州高一检测)已知一圆的圆心为(2，-3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52(2)(2014南京高一检测)圆心是(-2，3)，且经过原点的圆的标准方程为_.(3)(

4、2014长沙高一检测)求过点A(1，-1)，B(-1，1)且圆心C在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.【解题探究】1.在题(1)中，若设直径的端点为(x0，0)，(0，y0)，那么如何求x0，y0的值？2.在题(2)中，半径r如何求？3.在题(3)中，若设圆心为(a，b)，那么a，b满足何种关系？【探究提示】1. y0=-6.2. 3.a+b-2=0且(a-1)2+(b+1)2=(a+1)2+(b-1)2.【解析】(1)选A.设直径端点为A(x0，0)，B(0，y0).则 所以x0=4，y0=-6.所以半径为r= 所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.(2)设圆的半径为r，则r=

5、所以圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=13.答案：(x+2)2+(y-3)2=13.（3）设圆心为(a，b)，半径为r，由题意得：解得 r=所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.【方法技巧】求圆的标准方程的两种方法(1)待定系数法：设出圆的标准方程，根据条件求出方程中的参数.(2)几何法：利用圆的几何性质求出圆的圆心坐标与半径，从而得到圆的标准方程.【变式训练】(2014南京高一检测)当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心， 为半径的圆的标准方程是_.【解析】将直线方程化为：(x+1)a-(x+y-1)=0，可知直线恒过点(-1，2)，从而圆

6、心为(-1，2)，r= ，所以圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5.答案：(x+1)2+(y-2)2=5【补偿训练】以线段AB：x+y-2=0(0 x2)为直径的圆的标准方程为_.【解析】由题意可设A(0，2)，B(2，0)，则圆心为AB的中点(1，1)，半径 故圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.答案：(x-1)2+(y-1)2=2类型二 点与圆的位置关系【典例2】(1)点(1，1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a的取值范围是()A.a1 B.-1a1C.0a1 D.a=1(2)已知A(-1，1)，B(-2，-6)，C(6，0).求ABC的外接圆方程.试判断M

7、(-3，-3)，N(5，2)，Q(4，-7)是在所求圆的圆上，圆内还是圆外.【解题探究】1.在题(1)中，有几种方法可确定a的范围？2.在题(2)中，要确定圆的标准方程有几个参数待定？【探究提示】1.有两种方法.代数法：将(1，1)代入圆的方程满足(1-a)2+(1+a)24.几何法：点到圆心的距离小于半径.2.有三个参数a，b，r.【自主解答】(1)选B.因为点(1，1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，所以(1-a)2+(1+a)24，所以2+2a24，a21，-1a4，8+2a24，a2-2，所以a是任意实数.即aR.答案：(-，+)【误区警示】在解答本题时，往往会对结果产生怀疑

8、，误认为a的取值不可能是全体实数.从平面几何的角度深度思考，会发现圆心在直线y=-x上，而点(2，2)到直线的距离为2 2，故点(2，2)一定在圆外.【方法技巧】判断点与圆位置关系的两种方法判断点P(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法和代数法两种：(1)几何法主要是利用点和圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法主要是把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下：当(x0-a)2+(y0-b)2r2时，点在圆外.【变式训练】点P(a，-5)与圆x2+(y-3)2=63的位置关系是 ()A.点P在圆内 B.点P在圆外C.点P在圆上 D.不确定【解析】选B.判断点与圆的位

9、置关系，即寻求点P到圆心的距离与半径的大小关系，设C为圆心，r为半径，则|PC|2=a2+6463=r2，所以点P在圆外.【补偿训练】已知点A(8，-6)与圆C：x2+y2=25，P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值是_.【解析】由题意|AP|的最小值等于点A与圆心的距离减去半径，由于|AC|-r= -5=10-5=5，故|AP|的最小值等于5.答案：5【拓展类型】与圆有关的应用性问题【备选例题】1.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过_米.2.如图，河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m

10、，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，故通行无阻.近日水位暴涨了2.7m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞.试问船身至少应该降低多少？(精确到0.01，参考数据： 99.383)【解析】1.可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得答案：3.62.以正常水位时河道中央O为原点，过点O垂直于水面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设桥拱圆的圆心O1(0，y0)，半径为r，则圆的方程为x2+(y-y0)2=r2，依题意得：(r-9)2+112=r2，112+(0-y0)2=r2，解得： 所以圆的方程为 当x=2时，y= 8.82，6.5-(8.82-2

11、.7)=0.38(m).所以为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.38m.【方法技巧】圆的实际问题的求解思路与圆有关的实际问题很多，解决这些实际问题时首先要建立适当的坐标系，根据实际意义写(设)出圆的方程，再利用方程解决问题.【易错误区】对圆的标准方程的结构形式认识不清致误【典例】(2014南京高一检测)已知点A(2，-1)，B(-2，4)，以线段AB为直径的圆的标准方程为_.【解析】设圆心坐标为(a，b)，半径为r，由题意知，圆心为AB中点，所以a= b= 所以圆心为 半径r= 故圆的标准方程为 答案： 【常见误区】错解错因剖析 阴影处对圆的方程形式记错而致误【防范措施】1.确定圆的标准方程的关键确定圆的标准方程的关键是确定圆心和半径.如本例即是先求出圆心，再求出半径，从而得到圆的标准方程.2.准确