常微分方程初值问题初步

1、常微分方程初值问题初步第1页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三马尔萨斯人口模型：假设某特定区域在 t0 时刻的人口p(t0) = p0为已知的，该区域人口的自然增长率为。人口的增长与人口的总数成正比，所以 t 时刻的人口总数 p(t)满足如下的微分方程：生活中常常有这样一类问题：问 题 的 提 出这些常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的问题，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法。第2页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三解析法：给出精确解析解。只适合少数简单情况。近似解法：给出解的近似表达式。如级数法,逐步逼近法。数值

2、方法：给出方程在离散点上的近似解。它适合计算机求解,应用广泛,具有理论应用价值。常微分方程的解法：内容分类：定解问题初值问题边值问题单步法Euler方法Taylor方法和Runge-Kutta方法多步法Adams方法和一般线性多部法线性多部法的收敛性与稳定性第3页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三一阶常微分方程初值问题的一般形式：问题:求函数满足其中: f (x, y) 为已知函数, 是已知值. (可能是观察值或实验值)基本条件： f (x,y)在D上连续； f (x,y)在D上关于变量y满足Lipschitz连续条件：设满足解的存在唯一第4页，共40页，2022年，5月2

3、0日，5点20分，星期三对求解区域a,b做剖分 构造数值解法的基本思想在区间xk, xk+1上对微分方程做积分,则有 常用等步长:, 则有将微分方程的准确解记为y(x),称为步长。的近似解记为能不能将微分转化为积分？第5页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三因此，建立节点处近似值yn满足的差分公式称之为Euler公式. 对右边的积分应用左矩形公式，则有第6页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三Euler公式的几何意义特点：简单，精度低.第7页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三例 求解初值问题解： Euler公式的具体形式为取步长 h=0.

4、1，那么即可计算该微分方程。具体结果见下页。第8页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三xnyn0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848y(xn)1.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321解析解：第9页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三(2) 前向差分近似微分法前向差分近似 , 得将近似号改为等号，结合初始条件即得：前面Euler方法是通过左矩

5、形积分方法推导出来的，实际上 Euler方法还可以通过其他几种方法推导出来。第10页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三(3) Taylor展开法忽略高阶项 ，结合初值条件y (x0)=即得将 y (xk+1)在x = xk点进行Taylor展开11Euler公式的局部截断误差：第11页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三后退的Euler公式如果采用后向差分近似 , 得将近似号改为等号，结合初始条件即得：未知这一类公式称为隐式的，相对应的前面介绍的Euler公式称为显式的第12页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三显式：更加方便计算隐式：数

6、值稳定性更好显式与隐式的特点：隐式方程的计算方法：隐式方程常用迭代法计算，而迭代的过程实质是逐步显式化。设用Euler公式 给出迭代的初值 ，用它代入后退Euler公式，使之转化为显式，得然后再代入后退Euler公式第13页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三如此反复进行得：如果迭代过程收敛，则极限值 必满足隐式方程，从而获得后退Euler方法的解。后退Euler方法局部截断误差为第14页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三例 用后退Euler方法求解初值问题解： (1)取步长 h=0.1，首先用Euler方法计算初值，(2)用它代入后退Euler公式，使之

7、转化为显式，得第15页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321yn(0)1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848yn(1)1.09181.17741.25821.33511.40901.48031.54981.61781.68481.7512yn(2)1.09091.17461.25281.32641.3963

8、1.46331.52791.59081.65241.7133yn(3)1.09081.17421.25151.32391.39191.45621.51741.57591.63221.6868第16页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三第17页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三Euler后退Euler 误差如果将这两种方法进行算术平均，即可消除误差的主要部分 从而获得更高的精度。这种平均化的方法通常称为梯形方法，其计算公式为：第18页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三即为前面导出的梯形微分方程公式. 若对上式右边的积分应用梯形求积公式，则

9、可导出差分公式梯形公式也可以通过积分的方法来获得：将微分方程化为积分方程的形式第19页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三梯形方法的求解梯形方法是隐式的，可用迭代法求解。同后退的Euler方法一样，仍用Euler方法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式为：第20页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三例 用梯形方法求解初值问题解： (1)取步长 h=0.1，首先用Euler方法计算初值，(2)用它代入梯形公式，使之转化为显式，得第21页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01

10、.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321yn(0)1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848yn(1)1.09591.18441.26711.34521.41971.49111.56021.62731.69301.7577yn(2)1.09571.18371.26561.34271.41581.48561.55271.61741.68031.7418yn(3)1.09571.18361.26551.34241.41521.48451.550

11、81.61471.67631.7361第22页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三第23页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三问题梯形法虽然提高了精度，但其算法复杂，在迭代公式进行计算时，每迭代一次，都要重新计算函数 f 的值，而迭代又要反复进行若干次，计算量很大，而且往往难以预测。1用Euler公式求得一个初步的近似值再用梯度公式将它校正一次为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步的计算2预测值校正值这个方法也叫做：改进的Euler公式 或 预估-校正公式第24页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三预测校正这个公式也可以写为第25页，

12、共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321Euler1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848改进Euler1.09591.18411.26621.34341.41641.48601.55251.61531.67821.7379第26页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三第27页，共40页，2022

13、年，5月20日，5点20分，星期三梯形法步骤：预估校正法步骤：Euler 梯形 梯形 梯形Euler 梯形 Euler 梯形第28页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三Euler两步方法如果采用后向差分近似 , 得后向Euler方法如果采用前向差分近似 , 得Euler方法如果采用中心差分近似 , 得Euler两步方法即第29页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三前面介绍过的数值方法，无论是Euler方法，后退的Euler方法，还是改进的Euler方法，他们都是单步法，其特点是在计算 yn+1 时值用到前一步的信息 yn；然而Euler两步法中的公式除了 y

14、n 外，还显含更前面一部的信息 yn-1，即调用了前面两步的信息，Euler两步法因此而得名。单步法的优点：单步法的优点是“自开始的”，只要给出初值 y0 ，依计算公式可顺次计算 y1， y2 而两步法除了给出初值 y0 ，还需要求助于其他单步法再提供一个开始值 y1 ，然后才能启动计算公式依次计算 y2， y3 第30页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三两步法的优点：两步法的优点是它调用了两个节点上的已知信息，从而能以较少的计算量获得较高的精度。如果用Euler两步公式与梯形公式相匹配，得到下列预测-校正系统：校正预测第31页，共40页，2022年，5月20日，5点20分

15、，星期三例 用Euler两步法求解初值问题解： (1)取步长 h=0.1，首先用Euler方法计算初值，(2)用它代入Euler两步法公式，得第32页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321Euler1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848Euler两步1.10001.18361.26911.34291.418

16、61.48561.55421.61631.67941.7378第33页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三第34页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三例 用Euler两步法的预测校正方法求解初值问题解： (1)取步长 h=0.1，首先用Euler方法计算初值，(2)用它代入Euler两步法公式，得(3)用它代入梯形公式，得第35页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67

17、331.7321Euler1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848Euler2步1.10001.18361.26911.34291.41861.48561.55421.61631.67941.7378预估校正1.09591.18381.26561.34251.41531.48451.55071.61421.67541.7345第36页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三第37页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三ans =1/(x-1+2*exp(-x) MATLAB 解常微分方程初值问题命令解析解命令:dsolve(eqn1, .)解析解:例syms x ydsolve(Dy=y-x*y2,y(0)=1,x)第38页，共40页，2022年，5月20日，5点20分，星期三 MATLAB 解常微分方程初值问题命令数值解命令:ode23(f, a,b, y0)例f=