由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质-完整版获奖课件

1、 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质1.复习引入曲线的方程与方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F（x,y)=0之间具有如下关系：曲线C上点的坐标都是方程F（x,y)=0的解；以方程F（x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.那么，曲线C叫做 ；方程F（x,y)=0叫做_方程F（x,y)=0的曲线曲线C的方程2.解析几何 根据已知条件，求出表示平面曲线的方程通过方程，研究平面曲线的性质1.了解用坐标法研究几何问题的方法.（重点）2.了解解析几何讨论的两个基本问题.（难点）3.掌握由曲线的几何条件求曲线方程.(重点）4.学会由曲线方程研究曲线的几何性质.(重点）满足某种条件的点的

2、集合或轨迹.曲线(x,y)F(x,y)=0探究点 如何建立曲线的方程？如何利用方程研究曲线的性质？借助坐标系研究几何图形的方法.坐标法数形结合的完美体现 下面让我们通过实例，进一步体会如何建立曲线的方程，以及如何利用方程研究曲线的性质.例设动点M与两条互相垂直的直线的距离的积等于1，求动点M的轨迹方程并利用方程研究轨迹(曲线)的性质.解：（1）求动点M的轨迹方程： 建立直角坐标系. 取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy； 设动点M的坐标为(x，y)； 把几何条件转化为坐标表示： 过点M分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，由轨迹上的点M与两坐标轴的距离之积等于1，得点

3、M是轨迹上的点 |ME|MF|=1因为点M与x轴的距离|ME|=|y|，与y轴的距离|MF|=|x|，所以上述条件转化为方程的表示：|x|y|=1. 这个方程等价于xy=1或xy=1. 这就是说，M(x，y)在曲线上，则它的坐标满足方程，以|x|y|=1的解为坐标的点M(x，y)都在曲线上.因此方程|x|y|=1为所求动点轨迹的方程. 证明(略)；（2）利用方程研究曲线的性质： 曲线的组成 由于方程|x|y|=1等价于下列两个方程xy=1或xy=1，每一个方程都表示一条曲线，由此可知表示方程的曲线由上述两个方程的曲线组成； 曲线与坐标轴的交点 由方程|x|y|=1，可推知x0且y0，因此方程的

4、曲线与两坐标轴没有交点，方程对应的曲线被两条坐标轴分开； 曲线的对称性质 在方程|x|y|=1中，以x代替x，这个方程并未变化，因此方程的图象关于y轴对称. 在方程|x|y|=1中，以y代替y，这个方程也未变化，因此方程的图象关于x轴对称; 在方程|x|y|=1中，以x代替x，同时以y代替y，这个方程也未变化，因此方程的图象关于原点中心对称.由以上分析可知，这个方程所表示的曲线，既是轴对称图形，也是中心对称图形.因此我们在研究方程的曲线时，只要研究它在第一象限的那一部分曲线即可. 曲线的变化情况由曲线的对称性质，我们只考虑第一象限的情况(x0，y0)，由方程可知，当变量x逐渐变大时，变量y的值

5、逐渐变小，曲线无限地靠近x轴；当变量x逐渐变小时，变量y的值逐渐变大，曲线无限地靠近y轴； 画出方程的曲线列表：123y321x由以上对方程的分析和列表，可以画出方程的曲线在第一象限那一部分；再根据曲线的对称性，可画出方程所表示的整个曲线.y例1 已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆O：x2y21，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数(0)，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线分析用直接法可求动点M的轨迹方程，并通过讨论的取值范围来确定轨迹方程表示的曲线解析如图所示，设MN切圆于N，于是动点M组成的集合是PM|MN|MQ|，常数0，因为圆的半径|ON|1，所以|MN|2|MO|2|O

6、N|2|MO|21.设点M的坐标为(x，y),则注意挖掘问题中的隐含条件A【变式练习1】整理例2 在ABC中，B(1,0)，C(1,0)，若BC边上的高为2，求垂心H的轨迹方程分析 由三角形垂心的定义得出：ACBH，如图所示，则可由kACkBH1，得到关于x，y的方程当x1时，垂心H与点B重合，这两点均适合轨迹方程所以当点A在x轴上方时，垂心H的轨迹方程为y (x21)(y0)若点A在BC下方，则A(x，2)，同理可得y (x21)(y0，动点M(x，y) 到定点A(0,2)的距离|MA|y2，由此可求得曲线的方程【变式练习2】1.与x轴距离等于2的点的轨迹方程是()Ay2 By2Cx2 Dx

7、2B2直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（ ）A.|x|y|=1 B.|xy|=1C.|x|y|=1D.|xy|=1C3方程x2xyx的曲线是()A一个点 B一条直线C两条直线 D一个点和一条直线C解析:由x2xyx得x(xy1)0，所以x0或xy10，所以表示两条直线4.讨论方程x2yy2x0的曲线的性质，并描绘其曲线分析 将方程转化为函数，利用函数的性质作图(4)单调性：在x(，1和x1，)时，y递减，在x1,1时，y递增(5)作图：通过列表描点作出函数在x0时的图象，再利用关于原点的对称性可画出它的全部图象，如图所示求曲线的方程的一般步骤：1.建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示 曲线上任意一点M的坐标；（建系设点）2.写出适合条件p的点M的集合；（找等