高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题14排列组合(解析版)

1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题14排列组合1.12004高中数学联赛（第01试）】设三位数九=赤，若以，b, c为三条边的长可以构成个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有（）A. A. 45 个 B. 81 个 C. 165 个D. 216 个【答案】C【解析】内瓦C要能构成三角形的边长，显然均不为。.即瓦,9）.（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为:，由于三位数中3个数码都相同，所以 =己=9,（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为“2,由于三位数中只有2个不同数码设为a, b,注意2c2到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码

2、组（a，6）共有9但当人数为底时，设心上必须满足反。26.此时，不能构成三角形的数码是:a987654321b4,32,14,323,213,212,12,111共20种情况.同时，每个数码组（。，与中的2个数码填上3个数位，有C；种情况.故叫=c式2C； - 20）= 6G - 10）= 156.嫁上九=nx + n2 = 16S.2.11999高中数学联赛（第01试）】在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛场，但有3名选手各比赛了 2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了 50场那么，在上述3名选手之间比赛的场数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】设这三名选手之

3、间的比赛场数是八共名选手参赛.由题意，有50 = C：_2 + r + （6-2r）,即叱等上=44+ r, 由更3,经检验可知，仅当尸1时，=13为正整数.第1页共183.11986高中数学联赛（第01试）】平面上有1个点集M和7个不同的圆加,。2,。7，其中圆。7恰好经过M 中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点圆G恰好经过Af中的1个点，那么M中的点数最少为（） A. 11 B. 12 C. 21 D. 28【答案】B【解析】要使M中的点的个数最少，各圆要尽可能多地共同经过M中的点.因为不相同的两国最多只有两个公 共点.由于G经过M中的7个点，所以。6至少要经过河中的另外4个点，而Q除了

4、和品各有两个公共点 外，还要经过河中的个点，故M中至少要有12个点，且有12个点，就能满足要求：先作两两相交的3个 圆，记为C7,CwG.再作圆Q与两圆C&C7都相交于另外的点（但与Cs不相交）.又过。与C?的个交点，作网C 3，使其与C5及a各交个新的点，将所有的交点都算作M中的点，此时V中的点为12个C?与。6，。5，。4各有 两个交点，又与C3有个新交点，共7个点；。6与。7，。5储4各有两个交点，共6个点；C5与。7，。6各有两个交 点，且与。3有 个新交点，共5个点：C与。7, C6各有两个交点，共4个点：C3是过。7与Cs的个交点， 且与其各交得个新点，共有3个点.最后在M的12个点中，选取两个点、个点分别作满足要求的圆C.G是 容易的事.故答案为艮4.12020高中数学联赛A卷（第01试】现有10张卡片，每张卡片上写有123,4,5中两个不同的数，且任意两张 卡片上的数不完全相同.将这10张卡片放入标号为1,234,5的五个盒J中，规定写有ij的卡片只能放在i号或J 号盒子中.种放法称为好的“，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则”好的放法共有 一种.【答案】120【解析】用UM表示写有ij的卡片.易知这10张卡片恰为i,/（l ij0,些0.故avo, bQ.2a4a因此，这样的二次函数有禺=