世界上最快的浮点开方算法

1、任何一个3D引擎都是通过其内部的数学模型和实现工具来展现它的力量与速度的,Quake III中使用了一个非常有意思的技巧来计算平方根倒数(inverse square root)Carmacks不寻常平方根倒数卡马克算法 第一个跳出来的便是对函数Q_rsqrt中对 0 x5f3759df的使用，这个数计算了一个浮点数的 inverse square root，但是为什么这个函数有这 样的功能呢？观察q_math.c原本的函数:csharp view plaincopyprint?float Q_rsqrt( float number )long i;float x2, y;const floa

2、t threehalfs= 1.5F;x2=number *0.5F;y=number;i=* ( long* ) &y;/ evil floating point bit level hackingi=0 x5f3759df - ( i 1 );y=*(float * ) &i;y=y*( threehalfs-(x2*y*y);/1stiterationy=y*( threehalfs-(x2*y*y);/2nditeration, this can be removedy = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );/增加精度值return y;/返回倒数

3、它不仅有效，甚至在某些CPU上，Carmack的Q_rsqrt比(float)(1.0/sqrt(x)的计算快4 倍，尽管sqrt()通常使用的是FSQRT的汇编指令！在另一个文件code/common/cm_trace.c中，我们发现了更简洁的对同样HACK的实 现。这一次，它被用来计算一个fl oat - sqrt(x )的平方根。注意，其中的唯一不同是在返回值 上一一用返回*y取代了返回y。csharp view plaincopyprint?1. float SquareRootFloat(float number) 2.long i;3.float x, y;4.const floa

4、t f = 1.5F；5.x = number * 0.5F;6.y = number;7.i = * ( long * ) &y;8.i = 0 x5f3759df - ( i 1 );9.y = * ( float * ) &i;10.y = y * ( f - ( x * y * y );11.y = y * ( f - ( x * y * y );12.return number * y;/返回开方13. 牛顿对根的近似值上面的代码执行了众所周知的牛顿对根的近似值，像绝大多数其它迭代求近似值的计算 一样，牛顿近似值假定是迭代的；每一次迭代都增强了它的准确度直至达到需要的准确度。在牛顿近

5、似值中的一般想法是我们我们猜测一个数x的平方根值y，我们可能通过一个 简单的操作用x/y来拉平y来取得更好的猜测，使其更接近实际的平方根，例如，我们像下 面这样计算2的平方根，我们假定初始的猜测是1：csharp view plaincopyprint?1.2/1 = 2 ;(2 + 1) / 2 = 1.52.2/1.5 = 1.3333; ( 1.5 + 1.3333 ) / 2 = 1.41673.2/1.4167 = 1.4117;( 1.4167 + 1.4117 ) / 2 = 1.41424.And so on.如前面所提到的，牛顿的近似值是一个大家所熟知的用以快速计算平方根的

6、方法。但是，Carmack在初始的猜测中就选取的不寻常的值，它彻底加强了准确 度并且将Quake III中计算所要的值的迭代次数降到了 1次！魔数这个函数中真正有意思的方面是神奇的常量0 x5f3759df,用来计算初始猜测的，在csharp view plaincopyprint?1. i = 0 x5f3759df - ( i 1 );因此，把输入除以2并从神奇常量中减去。这个常数工作起来几乎是完美的一一对于 一个low relative error of 10A-3来说只要一次牛顿近似值迭代就够了。如评论中第二次迭代 中展示的，这个近似值对Quake III引擎来说已经足够了。结果，这个

7、神奇的常数0 x5f3759df成了一个迷了，在文章Fast In verse Square Root， 普度大学的数学家Chris Lomont研究了这个常数，用了几种精细的技术，Lomont想自己用 数学方法求出这个常数来，结果令人惊奇Lomont用数学方法计算出来的最佳常数(0 x5f37642f)有一点点不同，并且除了理论上强一些之外，它产生的结果并没有源代码中使 用的原始常数好！确实，John Carmack一定用了天才般的黑盒来找到这个常数。只是仅仅从数字上来找的方法中，Lomont找到了一个更好的常数，这个数比原始的那 个强了那么一点点。然而，实践中两个常数产生了大概相同的结果，

8、Lomont提出这个使用 了更好的常数的函数：c-sharpview plaincopyprint?1.float InvSqrt(float x)2.3.float xhalf = 0.5f*x;4.int i = *(int*)&x;5.i = 0 x5f375a86- (i1)；6.x = *(float*)&i;7.x = x*(1.5f-xhalf*x*x);8.return x;9.关于本文，东拼西凑来的，今天也已经很晚了。只是最近我在研究图形学算法的过程中, 一些数字的数学的方法常常让我感到震惊，我惊叹于数学竟是如此的神奇。黑盒的应用是一 门大学问，那些伟大的但是并不一定很出名的数学家常常利用黑盒另外开辟了区别于经典算 法的道路，但却能带来非常人能想像的效率。在研究这些强人的作品的时候，能得到一种很 美妙很利落的体会，好的算法就就像好的音乐，当欣赏他们的时候，只想拿起吉它，轻轻的 弹上一首以其说计算机创造了 21世纪，还不如说算法与数据结构创造了 21世纪。前人的智慧 也常让我