数学建模基本概念课件

1、 数学建模 实际问题中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现，终身的受益和无穷的乐趣是属于你的！11999年9月 我校由徐州煤炭建筑工程学校更名为 徐州建筑职业技术学院2000年9月 我校首次参加全国大学生数学建模竞赛（专科组） 获得江苏赛区一等奖一个（两个队参赛）2001年9月 获得全国二等奖一个（四个队参赛） 该队获得奖金3000元 2 第一章 数学模型基本概念1 引言一、数学建模课程的重要性 1、科学技术飞速发展，数学模型越来越起到重要作用； 2、数学建模课程建设在全国各大专院校蓬勃开展； 3、数学建模教育有利于学生解决实际问题的综合能力的提高； 4、我们身边许

2、多实际问题看起来与数学无关，但通过分析都可用简捷数学方法完美的解决。3几个简单的实际问题。 问题 已知甲桶中放有10000个蓝色的玻璃球，乙桶中放有10000个红色的玻璃球。任取甲桶中100个球放入乙桶中，混合后再任取乙桶中100个球放入甲桶中，如此重复3次，问甲桶中的红球多还是乙桶中的蓝球多 怎样用数学方法解决问题1？4解：设甲桶中有x个红球; 乙桶中有y个蓝球 因为对蓝球来说，甲桶中的蓝球数加上乙桶中的蓝球数等于10000,所以 10000-x+y=10000 x=y 故甲桶中红球与乙桶中蓝球一样多。5解法一： 将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运

3、动，因为两人同时出发，同时到达目的地，又沿同一路径反向运动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人在两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。怎样用数学方法解决？7解法二： 以时间t为横坐标，以沿上山路线从山下旅店到山顶的路程x为纵坐标，从山下到山顶的总路程为d ； 8 在坐标系中分别作曲线x=F(t)及x=G(t)，如下图：10 严格的数学论证： 令 H(t)=F(t)-G(t) 由F(t)、G(t)在区间8,17上连续，所以H(t)在区间8,17上连续， 又 H(8)=F(8)-G(8)=0-d=-d0 11 由零点定理知在区间8,17内至少存在一点使即这人两天在同一时刻经过路途中的同一地

4、点。 这说明在早8点至晚5点之间存在某一时刻 使得路程相等， 12 问题 在一摩天大楼里有三根电线从底层控制室通向顶楼，但由于三根电线各处的转弯不同而有长短，因此三根电线的长度均未知。现工人师傅为了在顶楼安装电气设备，需要知道这三根电线的电阻。如何测量出这三根电线的电阻？电阻是怎样测量的？14 方法不妨用a、b、c及a*、b*、c*分别表示三根电线的底端和顶端，并用aa*、bb*、cc*分别表示三根电线, 假设x,y,z分别是aa*,bb*,cc*的电阻，这是三个未知数。电表不能直接测量出这三个未知数。然而我们可以把a*和b*连接起来，在a和b处测量得电阻x+y为l；然后将b*和c*联接起来，

5、在b和c处测量得y+z为m，联接c*和a*可测得x+z为n。15说明： 此问题的难点也是可贵之处是用方程“观点”、“立场”去分析，用活的数学思想使实际问题转到新创设的情景中去。17问题 气象预报问题 问题：在气象台A的正西方向300km处有一台风中心，它以40km/h的速度向东北方向移动；根据台风的强度，在距其中心250km以内的地方将受到影响，问多长时间后气象台所在地区将遭受台风的影响？持续时间多长？18 现此问题是某气象台所遇到的实际问题，为了搞好气象预报，建立解析几何模型加以探讨。19 以气象台A为坐标原点建立平面直角坐标系，设台风中心为B,如下图:20由题意： B点的坐标为(-300,

6、0)，单位为km，台风中心的运动轨迹为直线BC,这里的CBA= ； 当台风中心在运动过程中处于以A为园心半径为250km的园内（即MN上）时，气象台A所在地区将遭受台风的影响。21 因为圆的方程为 直线BC的方程为其中参数t为时间（单位为h）。当台风中心处于园内时，有解得 2.0t8.6 （精确到0.1）2224 几道国际、全国大学生数学建模竞赛试题问题1：锁具装箱 某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从1，2，3，4，5，66个数（单位略）中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度还有两个限制：至少有3个不同的数，相邻两槽的高度之差不能为5。满足以上条件制

7、造出来的所有互不相同的锁具称为一批。25 原来，销售部门在一批锁具中随意地取每60 个装一箱出售，团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱怨购的锁具会出现互开的情形。现聘你为顾问，回答并解决以下的问题：1）每一批锁具有多少个，装多少箱。 2）为销售部门提出一种方案，包括如何装箱，（仍是60个锁具一箱），如何给箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再或减少抱怨。27 3）采取你提出的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，就可以保证一定不会出现互开的情形。 4）按照原来的装箱办法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。28问题2：排名问题 一些大学校长为难的是

8、，具有优秀班级（简称ABC）大学中各学生的给分情况。通常，ABC班级中学生分数都给得高（现给定平均分数为），因此很难区分出优秀学生和中等学生。一项丰厚的奖学金只能奖给大学中总人数的10%，并且是最优秀的学生。所以需要班级学生总排名情况。29 院长认为应将各班的每一学生同本班其它学生进行比较，并通过比较结果而得出最终排名情况。比如，如果一个班中所有学生均为A，则得A的同学只能列为“一般”，而如果一个班中只有一个学生得A，则这个学生被列为“超出一般”，将多个班级所得的信息综合起来，则有可能将所有同学以百分数的形式列出（一等10%，其次10%，等等）。30问题：1假设成绩以A+，A - ，B+，B

9、- ，的等级形式给出，院长的设想能否实现？2假设成绩以A，B，C的等级形式给出，院长的设想能否实现？3能否有其他排名的方法？4类似问题是如果只有一个班，则你的算法是否稳定？数据集：各组应设计出数据集来检验和证明其算法，并且要给出算法适用范围？312 数学模型基本概念一、模型什么叫模型？ 模型就是对现实原型的一种抽象或模仿。 模型既反映原型，又不等于原型，或者是原型的一种近似。 如地球这个模型，就是对地球这一原型的本质和特征的一种近似和集中反映； 一个人的塑像就是这个人的一个模型。32 模型的含义非常广泛，如自然科学和工程技术中的一切概念、公式、定律、理论，社会科学中的学说、原理、政策，甚至小说

10、、美术、表格、语言等都是某种现实原型的一种模型。 如：牛顿第二定律 就是“物体在力作用下，其运动规律”这个原型的一种模型（数学模型）。 “吃饭”这句话就是人往嘴里送东西到达充饥的动作的抽象，如此等等都可看作是模型。33二、数学模型的几个简单例子341、冷却问题 将温度为T。=150的物体放在温度为24的空气中冷却，经10分钟后，物体温度降为T=100，问t=20分钟时，物体的温度是多少？35牛顿冷却定律： 物体在空气中的冷却速度与该物体温度和空气温度之差成正比36解：设物体的温度T随时间t的变化规律为T=T(t)则由冷却定律及条件可得：其中K 0为比例常数，负号表示温度是下降的，这就是所要建立

11、的数学模型。37 由于这个模型是一阶线性微分方程，很容易求出其特解为由T(10)=100 ,可定出K0.05当t=20时38 思考题： 估计凶杀的作案时间 某天晚上11:00时，在一住宅内发现一受害者的尸体，法医于11:35分赶到现场，立刻测量死者的体温为30.8，一小时后再次测量体温为29.1，法医还注意到当时室温为28，试估计受害者的死亡时间。392、七桥问题18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来 1).能否不重复的一次走完七座桥？2).能否不重复的一次走完七座桥又回到原地？40欧拉方法岛A、B和陆地C、D无非都是桥的联结点，因

12、此不妨把A、B、C、D看成4个点，把七桥看成联结这些点的七条线，如图。 41 这样当然不改变问题的实质，于是一人能否不重复一次通过七座桥的问题等价于其网络图能否一笔画成的问题（这是思维的飞跃），此网络图就是七桥问题的数学模型。 欧拉证明了七桥问题是无解的，并给出了一般结论： 1)联接奇数个桥的陆地仅有一个或超过两个以上，不能实现一笔画。 2)联接奇数个桥的陆地仅有两个时，则从两者任一陆地出发，可以实现一笔画而停在另一个陆地。42 3)每个陆地都联接有偶数个桥是，则从任一陆地出发都能实现一笔画，而回到出发点。 说明： (1)数学模型不一定都是数学表达式，如七桥问题的数学模型是一个网络图。43 (

13、2)欧拉解决七桥问题时，超出了过去解决问题所用数学方法的范畴，充分发挥自己的想象力，用了完全崭新的思想方法（可称为几何模拟方法），从而使问题解决得十分完美，结论明确而简捷。由于他的开创性的工作，产生了“图论”这门学科，欧拉是人们公认的图论的创始人。 (3)图论是一门非常有用的学科，很多实际问题都可化为图论问题决。44问题： 某仓库要存放7种化学药品，用 分别表示7种药品; 已知不能存放在一起的药品为: 问至少应把仓库分成多少隔离区才能确保安全？ 45解：先把各种药品作为节点，节点集为 然后把不能存放在一起的药品用边相连，这样就构成一个图，如下图：46 为了决定分区，要对药品进行分区编号，规则如

14、下：1、各边的两个节点不能编在同一区号； 2、为节省分区，以A区、B区、C区顺序编号，且尽量使用小的区号。 A区： B区： C区： 对于n种药品，同样可根据上述规则，通过计算机依次编区。 47、最佳场址的选择问题 设有n个车间位于不同的地点，现拟建一仓库P，长期向各车间运送原材料和产品，问P应建在何处，才能使总运费在一定时期内达到最小？48 问题变为寻求P(x,y)，使C(x,y)达到最小，这便是此问题的数学模型。 是否还有其它方法？ 49 5、走路问题 问题：人在恒速行走时，步长多大才最省劲？ 假设人的体重为M，腿重为m，腿长为 ，速度为v，单位时间步数为n，步长为x，其中 vnx 。 人行

15、走时所作的功可以认为由两部分组成：即抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需动能之和。下面分别计算两部分的做功： 50(1) 重心升高所需的势能将人的行走简化成如图所示:若记重心升高为，则 51 单位时间重心升高所需势能W为 WnMg (其中v=nx) (2) 腿运动所需的动能 将人行走视为均匀直杆（腿）绕腰部转动， 则在单位时间内所需动能E为： 52其中转动惯量 角速度 所以 于是，单位时间所作的功P为 53 因为作功少就省劲，所以问题就变成寻求步长x使单位时间内作的功P最小 ，若以 M:m4:1 L米代入上式可得 n5即每秒5步，这显然太快了。 54对模型（）作如下修改： 假设腿重集中在脚上，

16、这样腿的运动所需动能即为脚作直线运动所需动能， 于是从而 求极值可得这是比较符合实际情况的。 55 三、数学模型基本概念1、数学模型的定义 数学模型就是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构；它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制等。 562、建立数学模型的方法和步骤 1）观察 ）现实问题的理想化 ）建立数学模型 建立数学模型应注意以下几点： (1) 分清变量类型，恰当使用数学工具。 （2）抓住问题本质，简化变量之间的关系。 (3) 建立数学模型时要有严密的数学推理。

17、 (4) 建模要有足够的精度。 57）模型求解 ）模型的分析、验证 ）模型的修改 以上步骤也可用下框图表示： 现实问题 简化 假设 建立模型 模型求解 验证分析模型 合理 模型应用 不合理 583、数学模型的分类）按变量性质分： ）按时间关系分： ）按研究方法分： 初等模型、 微分方程模型、 概率统计模型、 运筹学模型等。 59）按研究对象所在领域分： 经济模型、生态模型、人口模型、交通模型等。 60问题 崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分

18、析一下这一问题。我有一只具有跑 表功能的计算器。61方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h78.5米。 我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。 62除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得： 令k=K/m，解得 代入初始条件 v(0)=0，得c=g/k，故有 再积分一次，得： 63若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h73.6米。 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间 进一步深入考虑不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反应时间后应 为3.9秒，代入 式，求得h69.9米。 多测几次，取平均值再一步深入考虑代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式： 将e-kt用泰勒公式展开并 令k 0+ ，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。64