新必修二8.6.1-8.6.2直线与直线垂直、直线与平面垂直(教案+练习)

1、 直线与直线垂直、862直线与平面垂直【要点梳理】要点一、直线与直线的垂直(异面直线所成的角)I f& /(XX乙直线a、b是异面直线，经过空间中一点 0,分别引直线a/a ,b7b , 相交直线a，、V所成的锐角(或直角)叫做 异面直线a与b所成的角(夹角)。如右图所示当两条异面直线所成的角是直角时，这两条异面直线互相垂直.要点诠释：当两条直线a、b相互平行时，我们规定它们所成的角为0。所以空间两条直线所成角的取值 范围为_90 异面直线所成角的取值范围是o9o;求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算 要点二、直线和平面垂直的定义和判定直线和平面垂直的定义如果直线I和平面

2、内的任意一条直线都垂直，我们就说直线I与平面 互相垂直，记作I .直线I叫平面 的垂线；平面 叫直线I的垂面；垂线和平面的交点叫 垂足.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别.直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式若a ,b ,则 a b.直线和平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.m ,n ,m I n B符号语言：

3、II m,I n特征：线线垂直线面垂直要点诠释：判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线 垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要相关的重要结论过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条.如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直.如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直.要点三、直线与平面所成的角直线与平面所成角的定义一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的

4、斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角要点诠释：直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线直线与平面垂直时射影是点斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.直线与平面所成的角的范围：不垂直时，O v V 90直线和平面相交垂直时，=90直线和平面平行或直线在平面内，=0 .直线和平面所成角的范围是 0 90 .求斜线与平面所成角的一般步骤：(1)确定斜线与平面的交点即斜足；经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；解由垂线、斜线及其射影

5、构成的直角三角形，求出线面角.要点四、直线和平面垂直的性质定理1定理垂直于同一个平面的两条直线平行2其他性质垂直于同一条直线的两个平面平行.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面.要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的 相互转化.要点五、距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。【经典例题】 类型一：异面直线所成的角例1.如下图，正方体 AC1中，E,

6、 F分别是A1B1, B1C1的中点，求异面直线 DB 1与EF所成角的大 小.【总结升华】求异面直线所成角的过程是将空间角转化为平面角求解的过程通常是 通过解三角形求得.举一反三：【变式1【总结升华】求异面直线所成角的过程是将空间角转化为平面角求解的过程通常是 通过解三角形求得.举一反三：【变式1】如右图，在正方体 ABCD-A IBiCiDi中，（1） AC和DDi所成的角大小为；（2） AC和DiCi所成的角大小为；（3） AC和AiB所成的角大小为.【变式2】 直三棱柱 ABC AiBiCi中，若BAC 90 , AB AC AAi ,则异面直线BAi与ACi所成的角等于（）A. 30

7、 B. 45 C. 60 D. 90类型二：直线和平面垂直的定义例2 .下列命题中正确的个数是 （）如果直线I与平面内的无数条直线垂直，则I ;如果直线I与平面内的一条直线垂直，则I ;如果直线I不垂直于，则内没有与I垂直的直线；如果直线I不垂直于，则内也可以有无数条直线与 I垂直.A. 0 B . i C . 2 D . 3举一反三：【变式i】设直线m与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）A.在平面 内有且只有一条直线与直线 m垂直 B .过直线m有且只有一个平面与平面垂直垂直DC.与直线m垂直的直线不可能与平面平行 D .与直线m平行的平面不可能与垂直D类型三：直线与平面垂直的判定

8、例3.如图，已知空间四边形 ABDC的边BC=AC , AD=BD ,作BE丄CD , E为垂足, 作AH丄BE于H ,求证：AH丄平面 BCD .【总结升华】本题主要考查线面垂直的判定，关键是找到平面BCD内与AH垂直的两条相交直线，要证线面垂直，需证线线垂直；要证线线垂直，需证线面垂直，即通过判定定理实现线线垂直与线面垂直 的互相转化.例4.如图所示，四边形 ABCD是矩形，PA丄平面ABCD , PAD是等腰三角形，M , N分别是AB , PC 的中点，求证：MN丄平面PCD .【总结升华】(1)判定线面垂直的方法:利用线面垂直定义：一直线垂直于平面内的任意直线，则这条直线垂直于该平面

9、.用线面垂直判定定理：一直线与平面内的两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直.用线面垂直性质：两平行线之一垂直于平面，则另一条也必垂直于这个平面.(2)证明线线(或线面)垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂 直与线面垂直的相互转化.4举一反三:4【变式1】 正方体ABCD AIBiCiDi ,求证：AiC 面BDC-【变式2】一个多面体的三视图的直观图如下图(1), (2)所示，其中M , N分别是AB , AC的中点，G是DF上的一个动点.求证：GN丄AC ;当FG=GD时，在 AD上确定一点 P,使GP/平面FMC .(1) 2)(1) 2)类型三：直线和平面所

10、成的角例 5 .如图，三棱锥 A-SBC 中， BSC=90 , ASB= ASC=60 , SA=SB=SC . 求直线AS与平面SBC所成的角.【总结升华】求直线与平面所成的角的步骤：作角，即作出或找到斜线与它的射影所成的角；证角， 即证明所作的角即为所求；求角，求角或角的三角函数值其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影 是作角的突破口.举一反三：【变式1】(1)正方体ABCD AiBiCiDi中，BBi与平面ACDi所成角的余弦值为(D.B.1D.(2)已知三棱锥 SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面 ABC , SA=3 , 那么直线AB与平面SBC所成角的

11、正弦值为()CV类型四：直线和平面垂直的性质应用例6 .设a, b为异面直线，AB是它们的公垂线(与两异面直线都垂直且相交的直线)(1)若a, b都平行于平面，求证：AB丄(2)若(2)若a, b分别垂直于平面，且 IC ,求证：AB / c.【总结升华】由第(2)问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面， 使所证线皆与该平面垂直.如题中，通过作出辅助线BB /,构造出平面，即由相交直线b与BB /确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明.举一反三：【变式1【变式1】 设I , m是两条不同的直线,是一个平面，则下列命题正确的是(A .若A .若I丄m, m

12、,贝U I丄B.若 I 丄，I / m,贝U mC .若 I /, m,贝 V I / m D .若 I /, m / ,贝 C .若 I /, m例 7 .如图，在四棱锥 P-ABCD中, PA底面 ABCDABX AD, AC CD ABC=60, PA=AB=BC E是PC的中点.(1)证明：AEICD (2)证明：PDL平面 ABE【总结升华】直线与平面垂直的性质定理(以及补充性质)是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转 化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们.举一反三：【变式1】如图，已知矩形 ABCD ,过A作SA丄平面AC ,再过A作AE丄SB交 SB于E,过E

13、作EF丄SC交SC于F.求证：AF丄SC;若平面AEF交SD于G,求证：AG丄SD.M N分别是ABPC【变式2】如图所示，已知 PA矩形ABCDM N分别是ABPC的中点.求证：MN/平面PAD求证：MN_ CD若 PDA=45 ,求证：MNL平面 PCD【总结升华】本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸多知识点的一道综合题.(1)的关键是选取PD的中点E,所作的辅助线使问题处理的方向明朗化.线线垂直线面垂直线线垂直.【巩固练习】1 .下列表述正确的个数为()若直线a/平面 ，直线玄丄b,则b丄;若直线a 平面 , b,且 ab,贝U a;若直线a平行于平面内的两条直线，则 a/;若直线a

14、垂直于平面内两条直线，则a。A . 0B. 1C. 2D . 32.卜列说法中止确的是()过平面外一点有且仅有条直线和已知平面垂直；过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直.A .B .C.D . TOC o 1-5 h z 对于平面和共面的直线 m, n下列命题中是真命题的为（）A .若 m, m丄 n,贝U n B .若 m , n ，贝U m nC .若m , n / ,则m / n D .若m, n与 所成角相等，则 m / n四面体 ABCD中，AD=BC ,且AD丄BC, E、F分别是 AB、CD

15、的中点，贝U EF与 BC所成的角为（）.点D是侧面BBiCiCA . 30 B . 45 C . 点D是侧面BBiCiC在三棱柱ABC AiBiCi中，各棱长相等，侧棱垂直于底面, 的中心，贝U AD与平面BBiCiC所成角的大小是（）A . 30 B . 45C . 60 D . 906在正方体 ABCD AiBiCiDi中，若E是AiCi的中点，则直线 CE垂直于（）A . AC B . BDC . AiD D . AiDi7设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H ,给出下列命题：若PA BC , PB AC ,贝U H是厶ABC的垂心；若PA、PB、PC两两互相垂直，则 H是

16、厶ABC的垂心；若 ABC=90 , H 是 AC 的中点，贝U PA=PB=PC ;若PA=PB=PC ,贝U H是厶ABC的外心。则正确命题的序号有。8下图，下列四个正方体中，I是正方体的一条体对角线，点 M、N、P分别为其所在棱的中点，则能得出I丄平面 MNP的图形的序号是9.右图是正方体平面展开图，在这个正方体中：BM与 ED平行；CN与BE是异面直线;CN与BM成 60o角；DM与 BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号依次是 （写出所有符合要求的图形序号）。10.已知正四棱锥S ABCD侧棱长为.2 ,底面边长为.3 , E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为11.如右图，ABCD ABCD堤正方体.（1）哪些棱所在的直线与直线BA 是异面直线？ （ 2）求BA 与CC夹角的度数.12.如右图，等腰直角三角形ABC12.如右图，等腰直角三角形ABC中，