大学高等数学-15二重积分概念-二重积分计算-三重积分

1、章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分三、二重积分的性质 第一节一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第九章 解法: 类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底： xoy 面上的闭区域 D顶: 连续曲面侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点

2、小曲顶柱体机动 目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”令机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .度为设D 的面积为 ,则若非常数 ,仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变,

3、 近似和,取极限”曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使可积 , 在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续

4、 ,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如, 在D :上二重积分存在 ;在D 上 二重积分不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质( k 为常数) 为D 的面积, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别, 由于则5. 若在D上6. 设D 的面积为 ,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理)证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 比较下列积分的大小:其中解: 积分域 D 的边界为圆周它与 x

5、 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位从而于直线的上方, 故在 D 上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 判断积分的正负号.解: 分积分域为则原式 =猜想结果为负 但不好估计 .舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 估计下列积分之值解: D 的面积为由于积分性质5即: 1.96 I 2D机动 目录 上页 下页 返回 结束 8. 设函数D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍在 D 上在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、曲顶柱体体积的计

6、算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的机动 目录 上页 下页 返回 结束 同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解: 设两个直圆柱方程为利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 二重积分的定义2. 二重积分的性质(与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同, 且非负, 思考与练习解: 由它们的积分域范围可知1. 比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页

7、下页 返回 结束 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则的大小顺序为 ( )提示: 因 0 y 1, 故故在D上有机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 证明:其中D 为解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 P78 2，4，5 P95 1(1), 8第二节 目录 上页 下页 返回 结束 作业备用题1. 估计 的值, 其中 D 为解: 被积函数D 的面积的最大值的最小值机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 判断的正负.解：当时，故又当

8、时，于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 *三、二重积分的换元法 第二节一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章 一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则机动 目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.则有(2) 若积分域较复杂,可将它分成若

9、干X-型域或Y-型域 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X型区域, 则解法2. 将D看作Y型区域, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 交换下列积分顺序解

10、: 积分域由两部分组成:视为Y型区域 , 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 计算其中D 由所围成.解: 令(如图所示)显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数, 分划区域D 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 即机动 目录 上页 下页 返回 结束 设则特别, 对机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 f 1 则可求得D 的面积思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答: 问 的变化范围是什么?(1)(2)机动 目录 上页 下页 返

11、回 结束 例6. 计算其中解: 在极坐标系下原式的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上, 当D 为 R2 时,利用例6的结果, 得故式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设由对称性可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分换元法*三、二重积分换元法 满足一阶导数连续;雅可比行列式(3) 变换则定理:变换:是一一对应的 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 根据定理条件可知变换 T 可

12、逆. 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩形, 其顶点为通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边形, 其对应顶点为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理得当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式: 例如, 直角坐标转化为极坐标时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 计算其中D 是 x 轴 y 轴和直线所围成的闭域. 解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 计算由所围成的闭区域 D 的面积 S .解: 令则机动 目录 上页 下页

13、 返回 结束 例10. 试计算椭球体解: 由对称性令则D 的原象为的体积V.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形 : 若积分区域为则 若积分区域为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则(2) 一般换元公式且则极坐标系情形: 若积分区域为在变换下机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回

14、结束 思考与练习1. 设且求提示:交换积分顺序后, x , y互换机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 交换积分顺序提示: 积分域如图机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业P95 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19( 1); *20 (2) 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 解：原式备用题1. 给定改变积分的次序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 计算其中D 为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.机动 目录 上页 下页 返回

15、结束 第三节一、三重积分的概念 二、三重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第九章 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”解决方法:质量 M .密度函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义. 设存在,称为体积元素, 若对 作任意分割: 任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质: 例如 下列“乘中值定理.在有界闭域 上连续,则存在使得V 为 的体积, 积和式” 极限记作机动 目录 上页

16、 下页 返回 结束 二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法1. 投影法 (“先一后二” ) 该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法2. 截面法 (“先二后一”)为底, d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 投影法方法3.

17、三次积分法设区域利用投影法结果 ,把二重积分化成二次积分即得:机动 目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数在积分域上变号时, 因为均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结: 三重积分的计算方法方法1. “先一后二”方法2. “先二后一”方法3. “三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例1. 计算三重积分所围成的闭区域 .解:面及平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算三重积分解: 用“先二后一 ” 机动 目录 上页 下

18、页 返回 结束 2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中为由例3. 计算三重积分所围解: 在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 计算三重积分解: 在柱面坐标系下所围成 .与平面其中由抛物面原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面机动 目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 计算三重积分解: 在球面坐标系下所围立体.其中