广东省广州市届高三数学毕业班综合测试试题理

1、2022 年 XX市一般高中毕业班综合测试（二）数学（理科）留意事项：1. 本试卷分第一卷（挑选题）和第二卷（非挑选题）两部分；答卷前,考生务必将自己的 XX和考 生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂；2. 回答第一卷时, 选出每道题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦洁净后,再选涂其它答案标号；写在本试卷上无效；3. 回答第二卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效；4. 考试终止后,将本试卷和答题卡一并交回；第一卷一. 挑选题：本大题共12 小题,每道题5 分,在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的；（1）已知集

2、合Mx1x1,Nx x22,xZ,就MNNA MM0 D N B NM C N答案 ： C 解析 ：解一元二次不等式：i2 x 2,得：2x2,又 xZ ,所以, N1,0,1 ,所以,MN0；,其中 i 为虚数单位,就 z2（2）已知复数z13i21 C 2 DA 1 B 2答案 ： B 解析 ：由于 z3ii3i3 i113i, D2 2122 i222所以,| |321 的值是1222（3）已知 cos1, 就sin512312A1 3 B2 2 3 C133答案 ： A 解析 ：sin5sin212cos121123（4）已知随机变量X 听从正态分布N3,2, 且P X40.84, 就

3、P2X4A 0.84 B 0.68 C 0.32 D0.16答案 ： B 解析 ：由于随机变量 X 听从正态分布 N 3, 2,又 P X 4 0.84,所以,P X 4 P X 2 0.16,P 2 X 4 10.32 0.68 x y 0,（5）不等式组 x y 2, 的解集记为 D , 如 ,a b D , 就 z 2 a 3 b 的最小值是x 2 y 2A 4 B 1 C 1 D 4答案 ： A 解析 ：画出不等式组表示的平面区域,如图三角形ABC为所示,当z2 a3 b 过 A（ 2,0 ）时取得最上值为 4 （6）使x213n nN* 绽开式中含有常数项的n 的最小值是2 xA 3

4、 B 4 C 5 D 6答案 ： C 解析 ：T k1k C nx2n k1k k1k C x2n5k,令 2 n5 k 0,得n5k ,所以 n 的最小值是5 3 2 x2k2（7）已知函数fxsin 2x02的图象的一个对称中心为Z3 ,0 8, 就函数fx 的单调递减区间是Z B2k8, 2 k5kA2k3, 2 k888 C k3,k8kZ Dk8,k5kZ88答案 ： D 解析 ：sin23=0,得：4,所以,fxsin 2x4,8由22k2x432k,得 fx 的单调递减区间是k8,k5kZ28（8）已知球 O的半径为 R,A B C 三点在球 O 的球面上,球心O到平面ABC的距

5、离为1 R,2A169ABAC2,BAC120, 就球 O 的表面积为64 B16 C64 D393答案 ： D 解析 ：由余弦定理,得：BC4 222cos120 2 3 ,设三角 ABC外接圆半径为r ,由正弦定理：2 3 sin 1202 R1R24,所以,R 16 3,2 r,得 r 2,又4表面积为：4R 64 3N* , 1x1xxN * ,2x1 2x2 2,（9）已知命题p ：x,命题 q ：23就以下命题中为真命题的是 A pq B pqq C pq Dp答案 ： C 解析 ：由于yn x （n 为正整数）是增函数,又11所以,1xN* , 1x1x成立, p 正确；2323

6、2x1 2x2 2x1 2x2 2,当且仅当x 21 2x ,即xN*,所以, q 假命题,2所以 pq为真命题；（10）如图 , 网格纸上的小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某几何体的三视图, 就该几何体的体积是A 46 B86C 412 D8 12答案 ： B 解析 ：该几何体是一个放倒的半圆柱上面加一个四棱锥的组合体,（11）已知点 O为坐标原点,点M 在双曲线C:x2y2（为正常数）上,过点M 作双曲线 C 的某一条渐近线的垂线,垂足为N ,就 ONMN 的值为yxA 4 B 2 C D 无法确定答案 ： B 解析 ：特别点法；由于是定值,M为双曲线上任一点,取特别点,当M为右顶点时

7、,由渐近线知三角形 OMN为等腰直角三形,此时（12）设函数 fx的定义域为R, fxfx,fxf2x, 当x0,1时, fxx , 就函数 3g xcosxfx 在区间1 5 ,2 2上的全部零点的和为A 7 B 6 C 3 D 2答案 ： A 解析 ：考虑两图象的交点的横坐标之和,由于两图象都关于x 1 成轴对称图形,在1 5 ,2 2共有 7 个交点,故零点之和为 7；第二卷本卷包括必考题和选考题两部分；第13 题第21 题为必考题,每个考生都必需做答；第22题第 24 题为选考题,考生依据要求做答；二. 填空题：本大题共4 小题,每道题5 分；. （13）曲线fx23 x在点 1,f1

8、处的切线方程为x答案 ：xy40解析 ：（14）已知平面对量a 与 b 的夹角为3,a1,3,a2 b2 3,就 b. 答案 ： 2 解析 ：（15）已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F1,0,点 F 关于直线y1x的对称点2在椭圆 C 上,就椭圆 C 的方程为 . 答案 ：52 x5y2194解析 ：由于两个焦点为（1,0 ）,（ 1,0 ）所以,（16）在ABC 中,a b c 分别为内角A B C 的对边,ac4,答案 ：2cosAtanBsinA,就ABC 的面积的最大值为. 23解析 ：三. 解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤；（17）（本小题满分 12分）设 S 是

9、数列 a n 的前 n 项和 , 已知 a 1 3 , a n 1 2 S n 3 n N * . 求数列 a n 的通项公式； 令 b n 2 n 1 a ,求数列 n b n 的前 n 项和 T . 解析 ： 解: 当 n 2 时, 由 a n 1 2 S n 3 , 得 a n 2 S n 1 3 , 1 分两式相减 , 得 a n 1 a n 2 S n 2 S n 1 2 a , 2 分a n 1 3 a . a n 1 3 . 3 分a n当 n 1 时, a 1 3,a 2 2 S 1 3 2 a 1 3 9 , 就 a 23 . 4 分a 1数列 a n 是以 a 1 3 为首

10、项 , 公比为 3的等比数列 . 5 分n 1 na n 3 3 3 . 6 分 解法 1: 由 得 b n 2 n 1 a n 2 n 1 3 n. 2 3 nT n 1 3 3 3 5 3 2 n 1 3 , 7 分3 T n 1 3 2 3 3 3 5 3 4 2 n 1 3 n 1, 8 分- 得 2 T n 1 3 2 3 2 2 3 3 2 3 n 2 n 1 3 n 1 9 分2 3 n n 13 2 3 3 3 2 n 1 32 n 13 2 3 1 32 n 1 3 n 1 10 分1 3n 16 2 n 2 3 . 11 分n 1T n n 1 3 3 . 12 分n解法

11、2: 由 得 b n 2 n 1 a n 2 n 1 3 . 2 n 1 3 nn 1 3 n 1n 2 3 n, 8 分T n b 1 b 2 b 3 b n3 4 3 n 1 n0 3 3 0 2 3 3 n 1 3 n 2 3 10 分n 1n 1 3 3 . 12 分（18）（本小题满分 12分）班主任为了对本班同学的考试成果进行分析,打算从本班随机抽取一个容量为7的样本进行分析. 24 名女同学, 18 名男同学中 假如依据性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可,不必运算出结果） 假如随机抽取的 7 名同学的数学,物理成果 单位：分 对应如下表：同学序号 i 1

12、2 3 4 5 6 7 数学成果 ix 60 65 70 75 85 87 90 70 77 80 85 90 86 93 物理成果 iy 如规定 85分以上（包括 85 分）为优秀,从这 7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成果均为优秀的人数为,求 的分布列和数学期望； 依据上表数据,求物理成果 y 关于数学成果 x 的线性回来方程 系数精确到 0.01; 如班上某位同学的数学成果为 96分, 猜测该同学的物理成果为多少分 . nx i x y i y附：线性回来方程 y bx a,其中 b i 1n 2, a y bx . x i xi 1x y 7x i x 2 7x i x

13、y i yi 1 i 176 83 812 526解析 ： 解：依据分层抽样的方法,24 名女同学中应抽取的人数为 7 24 4 名,42 1 分18名男同学中应抽取的人数为 7 18 3 名, 2 分424 3故不同的样本的个数为 C C 18 . 3 分 解: 7 名同学中数学和物理成果均为优秀的人数为 3名, 的取值为 0,1,2,3 . 3 2 1P 0 C 43 4, P 1 C C 43 3 18, C 7 35 C 7 351 2 3P 2 C C3 3 12, P 3 C 33 1. 7 分C 7 35 C 7 35的分布列为0 1 2 3P 4 18 12 135 35 35

14、 35 8 分E 0 4 1 18 2 12 3 1 9 . 9 分35 35 35 35 7 解: b 526 0.65 , a y bx 83 0.65 75 33.60 . 10 分812线性回来方程为 y 0.65 x 33.60 . 11 分当x96时,y0.65 9633.6096. D可猜测该同学的物理成果为96分. 12 分（19）（本小题满分12分）如图,在多面体ABCDM 中, BCD 是等边三角形,CMD 是等腰直角三角形,CMD90,平面 CMD平面 BCD , AB平面 BCD . A 求证： CDAM；. M 如AMBC2,求直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦

15、值BC解析 ： 证明：取 CD 的中点 O , 连接 OB , OM . BCD 是等边三角形, OB CD . 1 分 CMD 是等腰直角三角形,CMD 90, OM CD. 2 分 平面 CMD 平面 BCD ,平面 CMD 平面 BCD CD , OM 平面 CMD , OM 平面 BCD . 3 分 A z AB 平面 BCD , N OM AB . M O , M , A , B 四点共面 . 4 分 B D OB OM O , OB 平面 OMAB , OM 平面 OMAB , O CD 平面 OMAB . 5 分 x C y AM 平面 OMAB , CD AM . 6 分 解法

16、 1: 作 MN AB, 垂足为N, 就MN OB. BCD 是等边三角形,BC 2 , OB 3 , CD 2 . 在 Rt ANM 中, AN AM 2MN 2AM 2OB 21 . 7 分 CMD 是等腰直角三角形,CMD 90,OM 1 CD 1 . 2AB AN NB AN OM 2 . 8 分如图 , 以点 O 为坐标原点 , OC 所在直线为 x 轴, BO所在直线为 y 轴 , OM 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 O xyz , 就 M 0,0,1 , B 0, 3,0 , D 1,0,0 , A 0, 3,2 . AM 0, 3, 1 , BM 0, 3,1 ,

17、BD 1, 3,0 . 设平面 BDM 的法向量为 n x y z , 3 y z 0,由 n BM 0 , n BD 0 , 得 9 分x 3 y 0,令 y 1 , 得 x 3 , z 3 . n 3,1, 3 是平面 BDM 的一个法向量 . 10 分设直线 AM 与平面 BDM 所成角为 , 就 sin cos AM , n AM n 2 3 21 . 11 分AM n 2 7 7直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦值为 21 . 12 分7解法 2: 作 MN AB, 垂足为N, 就MN OB. BCD 是等边三角形,BC 2 , OB 3 , CD 2 . 在 Rt ANM 中

18、, AN AM 2MN 2AM 2OB 21 . 7 分 CMD 是等腰直角三角形,CMD 90,OM 1 CD 1 . 2AB AN NB AN OM 2 . 8 分由 知 OM AB ,A AB 平面 ABD , OM 平面 ABD , OM 平面 ABD . N 点 M 到平面 ABD的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离 . M作 OK BD, 垂足为K, B K D AB 平面 BCD, OK 平面 BCD ,O OK AB. C AB 平面 ABD , BD 平面 ABD , AB BD B , OK 平面 ABD , 且 OK OD sin 60 3. 9 分22 2在 Rt

19、MOB 中, MB OM OB 2 , 在 Rt MOD 中, MD OM 2OD 22 , BDM 的面积为S1MDMB2MD, 27 2. 10 分22设点 A 到平面 BDM 的距离为 h , ABD 由VA BDMV MABD, 得1 3h S1OK S3得hOKSABD31222 21. 22S772注: 求设直线 AM 与平面 BDM 所成的角为, 11 分就sinh21. AM7直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦值为21. 12 分7h2 21的另法 . 7由VA BDMV MABDV OABDVA BDO11ODOBAB3, 323得1 3h S3, 得h332 21.3

20、S772（20）（本小题满分12分）l1:x1上的动点,过A 作直线2l ,1l ,线段 AF 的已知点F1,0,点 A 是直线垂直平分线与2l 交于点P. 求点 P 的轨迹 C 的方程； 如点M N 是直线1l 上两个不同的点, 且 PMN 的内切圆方程为x2y21,直1 分线 PF 的斜率为 k ,求k的取值 X 围. MN解析 ： 解: 依题意 , 点 P 到点F1,0的距离等于它到直线1l 的距离 , 点 P 的轨迹是以点F 为焦点,直线l1:x1为准线的抛物线. 2 分曲线 C 的方程为y24x . 3 分4 分6 分7 分 解法 1：设点 Px 0,y 0,点M1, m ,点N1,

21、n ,直线 PM 方程为：ymy 0mx1, x 01化简得,y 0m xx 01yy 0mm x 010. PMN 的内切圆方程为x2y21,圆心0,0到直线 PM 的距离为 1,即y 0mm x 0121. 5 分y 0m2x 01故y 0m2x 012y 0m22 m y 0mx 01m 2x 012. 易知x01,上式化简得,x 012 m2y mx 010. 同理,有x 01n22y nx 010. m n 是关于 t 的方程x 01t22y t 0 x 010的两根 . mn2y0,mnx 01. 8 分1x 01x 0MNmnmn24mn4y224x01. 9 分0 x 01x

22、012 y 04x ,y 02x ,0MN16x 024x012x2x04x021. 0 x 01x 011直线 PF 的斜率kxy 01,就kxy0120 x 0. 00 x1k2 x 0 x 01x 014. 10 分MN4x 01x 0函数yx1在 1,上单调递增,xx 01110. x0 x 0144. 11 分4 分x00 x 0141. 14x00k1. MN. 12 分2k的取值 X 围为0,1MN2解法 2：设点 Px 0,y 0,点M1, m ,点N1,n ,直线 PM 的方程为ymk 1x1,即k xyk 1m0, 直线 PM 与圆x2y21相切,k1m1. 2 k 11

23、5 分k 112 m. 2 m 直线 PM 的方程为ym1m2x1. 2 m 点 P 在直线 PM 上 , y 0m12m2x 01. 12 m2y mx 010. 6 分m易知x 01,上式化简得,x 07 分同理,有x 01n22y nx 010. m n 是关于 t 的方程x 01t22y tx 010的两根 . mn2y0,mnx 01. 8 分x 01x 01MNmnmn24mn4y224x01. 9 分0 x 01x 012 y 04x ,y 02x ,0y00,MN16x 024x012x2x04x021. 0 x 01x 011直线 PF 的斜率kxy 01,就kxy0120

24、x 0. x100k2 x 0 x 01x 014. 10 分MN4x 01x 0函数yx1在 1,上单调递增,xx 01110. x0 x 0144. x00 x 0141. 11 分14x00k1. MN2k的取值 X 围为0,1. 12 分MN2解法 3：设点 Px 0,y 0,直线 PM 的方程为yy 0k 1xx 0,即k xyk x令x1, 得y My 0k 11x 0, M1,y 0k 11x 0. 4 分 直线 PM 与圆x2y21相切,k x 0y01. 2 k 115 分化简得 ,12 x 02 k 12x y k 112 y 00. 同理 , 设直线 PN 的方程为yy

25、0k 2xx 0,就点N1,y 0k 21x 0, 且12 x 02 k 22 x y k 0 0 212 y 00. 6 分1k ,k 是关于 k 的方程12 x 0k22x y k12 y 00的两根 . 7 分k 1k22x y0, k k 22 y 01. x2 012 x 01依题意 ,x 01,y24x . 0MN1x 0k 1k 2 8 分1x 0k 1k 224k k 21x 02x y 024y 0 212 x 012 x 01x 021x2y2100 x 0212 x 04x 01. 9 分直线 PF 的斜率kxy 01,就kxy0120 x 0. x110 分00k2 x

26、 0 x 01x 014. MN4x 01x 0函数yx1在 1,上单调递增,xx 01110. x 0144. x0 x 012 分0 x 0141. 11 分14x00k1. MN2k的取值 X 围为0,1. MN2解法 4：设点 P x 0 , y 0,如图,设直线 PM , PN 与圆 O 相切的切点分别为 R , T ,依据平面几何性质,得 PM PN 2 PR MN , 4 分由 S PMN 1MN x 0 1 1MN PM PN OR , 5 分2 2y P得 MN x 0 1 MN PM PN ,R得 MN x 0 1 2 PR 2 MN . 6 分 MO xT2得 MN x

27、0 1 2 PR 2 PO 1 . 7 分 N2 22 x 0 y 0 1故 MN . 8 分x 0 12依题意 , x 0 1 , y 0 4 x . MN 2x 0 24 x 0 1 . 9 分x 0 1直线 PF 的斜率 k y 0,就 k y 0 2 x 0. x 0 1 x 0 1 x 0 1MN kx 0 2 x4 0 x 0 1 x 0 11 4 . 10 分x 0函数 y x 1在 1, 上单调递增,xx 0 11 1 0 . x 0 14 4 . x 0 x 01 10 . 11 分x 0 14 4x 00 k 1. MN 2k的取值 X 围为 0, 1 . 12 分MN 2

28、（21）（本小题满分 12分）已知函数 f x e xax x R . 当 a 1 时,求函数 f x 的最小值； 如 x 0 时, f x ln x 1 1 ,XX 数 a 的取值 X 围；（）求证：e 2 e 3. 2解析 ： 解: 当 a 1 时, f x e x x , 就 f xe 1x 1 . 1 分令 f x 0,得 x 0 . 当 x 0 时, f x 0 ; 当 x 0 时, f x 0 . 2 分函数 f x 在区间 ,0 上单调递减 , 在区间 0, 上单调递增 . 当 x 0 时, 函数 f x 取得最小值 , 其值为 f 0 1 . 3 分x 解: 如 x 0 时,

29、f x ln x 1 1 , 即 e ax ln x 1 1 0 .* 令 g x xe ax ln x 1 1 , 就 g x e x 1a . x 1 如 a 2 , 由 知 e xx 1 , 即 e x1 x , 故 e x1 x . x 1 1 1g x e a x 1 a 2 x 1 a 2 a 0 . x 1 x 1 x 1 4 分函数 g x 在区间 0, 上单调递增 . g x g 0 0 . * 式成立 . 5 分如 a 2 , 令 x e x 1 a , x 12 x就 x e x 12 x 1 e2 10 . x 1 x 1函数 x 在区间 0, 上单调递增 . 由于 0

30、 2 a 0 , a e a 1 a 1 a 1 a 1 1 0 . 1 a 1 a 1 a 6 分故 x 0 0, a , 使得 x 0 0 . 7 分就当 0 x x 时, x x 0 0 , 即 g x 0 . 函数 g x 在区间 0,x 0 上单调递减 . g x 0 g 0 0 , 即* 式不恒成立 . 8 分综上所述 , 实数 a 的取值 X 围是 2, . 9 分 证明 : 由 知, 当 a 2 时, g x e x 2 x ln x 1 1 在 0, 上单调递增 . 1就 g 1g 0 , 即 e 2 1 ln 11 1 0 . 10 分2 2ln 3 2 e. 11 分23

31、 e 2 e, 即 e 2 e 3. 12 分2 2请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,假如多做,就按所做的第一题计分；做答时请写清题号；（22）（本小题满分10 分）选修 41: 几何证明选讲由割线定 如图 , 四边形 ABCD 是圆 O的内接四边形 , AB 是圆 O的直径, BCCD , AD 的延长线与 BC 的延长线交于点E, 过C作CFAE,垂足为点F. E 证明 : CF 是圆 O 的切线；DFC 如BC4,AE9,求 CF 的长 . 解析 ： 证明 : 连接 OC , AC ,AOB BCCD ,CABCAD. 1 分 AB 是圆 O 的直径, OCOA. 3 分DFECCABACO. 2 分CADACO. AE OC . CFAE ,4 分AOB CFOC . CF 是圆 O 的切线 . 5 分 解 : AB 是圆 O 的直径,ACB90, 即 ACBE . CABCAD , 点 C 为 BE 的中点 . BCCECD4. 6 分理 : EC EBED EA, 且AE9. 7 分得 ED 32. 8 分9在 CDE 中, CD CE , CF DE ,就 F 为 DE 的中点 . DF 16. 9 分92在 Rt CFD 中,CF CD 2DF 24 2 16 4