实变函数精品课件

1、关于实变函数第一张，PPT共十五页，创作于2022年6月注：A可数当且仅当 A可以写成无穷序列的形式a1, a2, a3, 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1, a2, a3, a4, a5, a6, 例：1）Z = 0，1，-1，2，-2，3，-3， 与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为可数集的定义2）0,1中的有理数全体 =0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 第二张，PPT共十五页，创作于2022年6月假设这是一个无限集M我们可以取出其中一个点a1显然Ma1还是无限集在Ma1中可以取出一点a2显然Ma1，a2还是无限集我们可以取出一个可数

2、子集a1,a2,a3,. 任何无限集合均含有可数子集（即可数集是无限集中具有最小势的的集合) 可数集的性质（子集）第三张，PPT共十五页，创作于2022年6月可数集的子集或为有限集或为可数集推论 第四张，PPT共十五页，创作于2022年6月可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集A=a1, a2, a3, a4, a5, a6, 当集合有公共元素时，不重复排。假设A，B，C两两不交，则AB= b1, b2, b3 , , bn ，a1, a2, a3, 可数个可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集C= c1, c2, c3, c4, c5, c6, B=b1, b2, b3,

3、,bnAC= c1, a1, c2, a2, c3, a3, 第五张，PPT共十五页，创作于2022年6月当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列;当Ai有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；A1A2A3A4可数个可数集的并仍为可数集的证明说明:与Hilbert旅馆问题比较;如何把无限集分解成无限个无限集合的并?第六张，PPT共十五页，创作于2022年6月首先0,1中的有理数全体=0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 是可数集，例 全体有理数之集Q是可数集 -2 -1 0 1 2 3 4所以Q是可数集（可数个可数集的并）说明:有理数集在直线上稠密,但仍与

4、稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点(对等意义下).第七张，PPT共十五页，创作于2022年6月有限个可数集的卡氏积是可数集设A，B是可数集，则AB也是可数集从而AB也是可数集（可数个可数集的并）利用数学归纳法即得有限个乘积的情形3 可数集的性质（卡氏积） x固定，y在变第八张，PPT共十五页，创作于2022年6月例 平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A为可数集证明：平面上的圆由其圆心 (x,y) 和半径 r 唯一决定,从而 r(x,y)第九张，PPT共十五页，创作于2022年6月例有限集与可数集的并仍为可数集可数集并可数集仍为可数集AAMMB第十张，PPT共十五页，创作于2022年6

5、月对上例的说明特殊情形： 0,1 (0,1) R R-Q 1/2 , 1/3 , , 1/5 , 0 , 1 , , 1/3 , 1/4 ,第十一张，PPT共十五页，创作于2022年6月整系数多项式方程的实根称为代数数；不是代数数的实数成为超越数。由代数基本定理知任意整系数多项式至多有有限个实根，从而结论成立.设 P 是整系数多项式全体所成之集,P(n)是n次整系数多项式全体例 代数数全体是可数集第十二张，PPT共十五页，创作于2022年6月有关超越数的说明1874年Cantor开始研究无限集的计数问题;1873年C.埃尔米特证明了e是超越数;1882年Lindemann证明了是超越数;1934年A.O.盖尔丰得证明了若不是0和1的代数数，是无理代数数,则是超越数(此问题为Hilbert于1900年提出的23个问题中的第7问题)。我们证明了代数数全体是可数集合，通过后面可知道超越数全体是不可数集，故超越数比代数数多得多第十三张，PPT共十五页，创作于2022年6月假设这是集合A从中可以取出可数子集M很容易将M一分为二M1,M2，使得两个都是可数集AMM=a1, a2, a3, a4, a5, a6, M1 =a1, a3, a5, M2=a2, a4, a6, 取A*=(AM)M1=A-M2即可例说明：由此我们可得任一