《数据结构与算法》PPT课堂课件-第7章-树

1、2022/9/1517.0.1树的原型 社会生活中：家族的族谱，政府自上至下设置的机构体系，学校的管理体系，公司的管理体系， 7.0.2树的应用 操作系统中：文件系统的组织， 编译系统中：复合语句的句法， (二元运算)表达式的表示中：表达式树， 编码与解码中：Huffman树， 数据对象的表示中：大量地用到树。第七章 树2022/9/152 7.1 树的定义定义：树是n(n0)个结点的有限集T，其中：有且仅有一个特定的结点，称为树的根当n1时，其余结点可分为m(m0)个互不相交的有限集T1,T2,Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树特点：树中至少有一个结点根树中各子树是互不相交的集

2、合2022/9/153A只有根结点的树ABCDEFGHIJKLM有子树的树根子树2022/9/154基本术语结点(node)表示树中的元素结点的度(degree)结点拥有的子树数叶子(leaf)度为0的结点孩子(child)结点子树的根称为该结点的孩子双亲(parents)孩子结点的上层结点兄弟(sibling)同一双亲的孩子树的度一棵树中最大的结点度数结点的层次(level)从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层深度(depth)树中结点的最大层次数森林(forest)m(m0)棵互不相交的树的集合2022/9/155ABCDEFGHIJKLM结点A的度：3结点B的度：2结点M的度：0叶

3、子：K，L，F，G，M，I，J结点A的孩子：B，C，D结点B的孩子：E，F结点I的双亲：D结点L的双亲：E结点B，C，D为兄弟结点K，L为兄弟树的度：3结点A的层次：1结点M的层次：4树的深度：4结点A是结点F，G的祖先2022/9/1567.2 树的遍历树的遍历遍历依次对树中结点访问一次且仅访问一次常用方法先序遍历：先访问树的根结点，然后从左到右依次先序遍历根的每棵子树中序遍历：先中序遍历第一棵子树，然后访问根，接着依次对其余子树进行遍历后序遍历：先依次后序遍历每棵子树，然后访问根结点按层次遍历：先访问第一层上的结点，然后依次遍历第二层，第n层的结点2022/9/157ABCDEFGHIJK

4、LMNO先序遍历：后序遍历：层次遍历：ABEFIGCDHJKLNOMEIFGBCJKNOLMHDAABCDEFGHIJKLMNO中序遍历：EBIF GACJHKNLOMD2022/9/158 7.3 树的存储结构7.3.1 父结点数组表示法实现：定义一个一维数组存放树的每个结点的父结点。特点：可唯一的表示任 何一棵树 找双亲容易，找 孩子难2022/9/1597.3.1 父结点数组表示法效率分析： 寻找一个结点的父结点只需要O(1)时间。 对于涉及查询儿子结点和兄弟结点信息的运算，可能要遍历整个数组。 改进： 约定让树结点的编号满足：儿子结点的编号大于父结点的编号，且兄弟结点的编号是从左到右递

5、增的。 在此约定下，结点k的儿子只要在编号大于k的结点中找；结点k的左兄弟只要在编号小于k的结点中找；结点k的右兄弟只要在编号大于k的结点中找。 简单的办法是按层次遍历的顺序编号。2022/9/15107.3.2 双亲表示法实现：定义结构数组存放树的结点数据域，每个结点含两个域：数据域：存放结点本身信息双亲域：指示本结点的双亲结点在数组中位置特点：找双亲容易，找孩子难2022/9/1511abcdefhgiacdefghib012235551096012345789dataparent0号单元不用或存结点个数如何找孩子结点2022/9/15127.3.3 孩子表示法多重链表：每个结点有多个指针

6、域，分别指向其子树的根结点同构：结点的指针个数相等，为树的度D结点不同构：结点指针个数不等，为该结点的度ddata child1 child2 . childDdata degree child1 child2 . childd2022/9/15137.3.3 孩子表示法孩子链表：每个结点的孩子结点用单链表存储，再用含n个元素的结构数组指向每个孩子链表孩子结点：typedef struct node int child; /该结点在表头数组中下标 struct node *next; /指向下一孩子结点 JD;表头结点：typedef struct tnode datatype data; /

7、数据域 struct node *fc; /指向第一个孩子结点 TD; TD tM; /t0不用2022/9/1514abcdefhgi6012345789acdefghibdatafc 2 3 4 5 9 7 8 6如何找双亲结点2022/9/1515改进：带双亲的孩子链表 （将双亲表示法和孩子表示法结合）612345789acdefghibdatafc 2 3 4 5 9 7 8 6012235551parentabcdefhgi2022/9/15167.3.4 左儿子右兄弟表示法（二叉树表示法）实现：用二叉链表作树的存储结构，链表中每个结点的两个指针域分别指向其第一个孩子结点和下一个兄弟

8、结点特点操作容易破坏了树的层次abcdefhgi a b c d e f g h i2022/9/15177.4 二叉树定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成特点每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点)二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒五种基本形态A只有根结点的二叉树空二叉树AB右子树为空AB左子树为空ABC左、右子树均非空2022/9/15187.4.1 二叉树性质 性质1：证明：用归纳法证明之 i=1时，只有一个根结点， 是对的 假设对所有j(1j1，则其双亲是i/2 (2) 如果2

9、in，则结点i无左孩子；如果2in，则其左 孩子是2i (3) 如果2i+1n，则结点i无右孩子；如果2i+1n， 则其右孩子是2i+1问题：有一棵完全二叉树，其结点个数为578， 求此二叉树中叶子结点的个数？2022/9/15237.5 二叉树的实现7.5.1 顺序存储结构实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素特点：结点间关系蕴含在其存储位置中浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树abcdefga b c d e 0 0 0 0 f g 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112022/9/15247.5.2 二叉树的结点度表示法(另一种无边表示)基本想法： 若将所有

10、的结点按后序列表从1开始编号，并在每个结点中附加一个0到3之间的整数，以表示该结点的分叉特征。该整数为0时，表示相应的结点无儿子；为1时，表示相应结点只有左儿子；为2时，表示相应结点只有右儿子；为3时，表示相应结点既有左儿子又有右儿子。2022/9/15257.5.3 用指针实现二叉树7.5.3.1 二叉链表ABCDEFG AB C D E F Gtypedef struct btnode *btlink;typedef struct btnode TreeItem element; btlink left, right;Btnode; left element right n+1个问题：在n

11、个结点的二叉链表中，有 几 个空指针域？2022/9/15267.5.3.2 三叉链表 left element parent rightABCDEFG A B C D E F Gtypedef struct btnode *btlink;typedef struct btnode TreeItem element; btlink left, right,parent;Btnode;2022/9/15277.6 树与二叉树转换ACBED树ABCDE二叉树 A B C D E A B C D E A B C D E 对应存储存储解释解释2022/9/15287.7 将树转换成二叉树加线：在兄弟之

12、间加一连线抹线：对每个结点，除了其左孩子外，去除其与其余孩子之间的关系旋转：以树的根结点为轴心，将整树顺时针转45ABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHI问题：为什么树转换成的二叉树根的右子树一定为空？2022/9/15297.8 将二叉树转换成树加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将p的右孩子，右孩子的右孩子，沿分支找到的所有右孩子，都与p的双亲用线连起来抹线：抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线调整：将结点按层次排列，形成树结构ABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHI2022/9/15307

13、.9 森林转换成二叉树将各棵树分别转换成二叉树将每棵树的根结点用线相连以第一棵树根结点为二叉树的根，再以根结点为轴心，顺时针旋转，构成二叉树型结构ABCDEFGHIJABCDEFGHIJABCDEFGHIJABCDEFGHIJ2022/9/15317.10 二叉树转换成森林抹线：将二叉树中根结点与其右孩子连线，及沿右分支搜索到的所有右孩子间连线全部抹掉，使之变成孤立的二叉树还原：将孤立的二叉树还原成树ABCDEFGHIJABCDEFGHIJABCDEFGHIJABCDEFGHIJ2022/9/15327.11 二叉树的遍历方法先序遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、右子树中序遍历：先中

14、序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树后序遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点按层次遍历：从上到下、从左到右访问各结点DLRLDR、LRD、DLRRDL、RLD、DRL2022/9/1533ADBCD L RAD L RD L RBDCD L R先序遍历序列：A B D C先序遍历:2022/9/1534ADBCL D RBL D RL D RADCL D R中序遍历序列：B D A C中序遍历:2022/9/1535ADBC L R DL R DL R DADCL R D后序遍历序列： D B C A后序遍历:B2022/9/1536-+/a*b-efcd先序遍历：中序遍历：

15、后序遍历：层次遍历：-+a*b-cd/ef-+a*b-cd/ef-+a*b-cd/ef-+a*b-cd/ef2022/9/15377.12 二叉树的应用哈夫曼树(Huffman) 带权路径长度最短的树定义路径：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点间的路径路径长度：路径上的分支数树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度之和树的带权路径长度：树中所有带权结点的路径长度之和Huffman树设有n个权值w1,w2,wn，构造一棵有n个叶子结点的二叉树，每个叶子的权值为wi,则wpl最小的二叉树2022/9/1538例 有4个结点，权值分别为7，5，2，4，构造有4个叶子结点的二叉树ab

16、cd7524WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36dcab2475WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46abcd7524WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=352022/9/1539构造Huffman树的方法Huffman算法构造Huffman树步骤根据给定的n个权值w1,w2,wn，构造n棵只有根结点的二叉树，令起权值为wj在森林中选取两棵根结点权值最小的树作左右子树，构造一棵新的二叉树，置新二叉树根结点权值为其左右子树根结点权值之和在森林中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入森林中重复上述两步，直到只含一棵树为止，这棵树即哈夫曼树2022/9/1540例a7b5c2d4a

17、7b5c2d46a7b5c2d4611a7b5c2d4611182022/9/1541例 w=5, 29, 7, 8, 14, 23, 3, 11514297823311142978231135887151429233581111358191429238715113581929231487152929148715291135819234211358192342291487152958113581923422914871529581002022/9/1542Huffman树应用最佳判定树等级分数段比例ABCDE059606970798089901000.050.150.400.300.10a60

18、a90a80a70EYNDYNCYNBYNA70a80a60CYNBYNDYNEYNA80a9060a70EADECa80a70a60alchild=NULL f-rchild=NULLp只有左子树或右子树p只有左子树，用p的左孩子代替p (1)(2)p只有右子树，用p的右孩子代替p (3)(4)p左、右子树均非空沿p左子树的根C的右子树分支找到S，S的右子树为空，将S的左子树成为S的双亲Q的右子树，用S取代p (5)若C无右子树，用C取代p (6)2022/9/1548SQPLP中序遍历：Q S PL PSQPL中序遍历：Q S PL(2)SPPLQ中序遍历：PL P S QSPLQ中序遍历：PL S Q(1)2022/9/1549中序遍历：P PR S QSPRQ中序遍历：PR S Q(3)SP