《高等数学》PPT课件-第五章 概率、曲面

1、第五章 概率论初步（数二）排列组合一、计数原理分类计数原理分步计数原理定义相同点不同点 排列 组合定义种数符号计算公式关系二、排列组合 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n的 ， 其中 （r=0,1,2,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有_个项.展开式二项式系数r+1n+1二项式定理 1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书， 从中任取一本，有多少中不同的取法？ 从中任取数学书与语文书各取一本，有多少种不同的取法？基础练习6+5=1165=302.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普

2、通客票？3.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？4.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重复数字的正整数5. 名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各自不同站法多少种？(1).两名女生必须相邻而站.(2).4名男生互不相邻.(3).老师不站中间，女生不站两端.(4).女生甲不站左端，女生乙不站右端.A66A22 =1440(捆绑法)A33A44 =144（插空法）（3）A77A55 A22 A66 +A44 =4104（间接法）（4）A77A66 A66 +A55 =3720（间接法） 随机事件一、随机试验二、样本空间与随机事件三、事件间的

3、关系与运算一、随机试验研究现象：随机现象：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象研究方式：随机试验EE1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数；E3: 记录110报警台一天接到的报警次数；E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命；E5: 记录某物理量的测量误差； 上述试验的特点：1.试验的可重复性可在相同条件下重复进行； 2.一次试验结果的随机性一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。3.全部试验结果的可知性所有可能的结果是预先可知的。 在概率论中，将具有上述三个特点

4、的试验成为随机试验，简称试验。随机试验常用E表示。 ：随机试验的所有可能结果组成的集合 样本空间w样本点一般用 表示样本点：即，随机试验的每个结果，中的元素，样本空间W二、样本空间与随机事件下面分别写出上述各试验 所对应的样本空间随机事件：简称事件。事件发生：该子集中的任意一个样本点出现基本事件：仅包含一个样本点的子集随机试验 有两个基本事件 和 样本空间的两个特殊子集 它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次试验中它总是发生，称为必然事件 .它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不发生,称之为不可能事件 .三、事件间的关系与运算随机试验的E样本空间W1、事件之间的关系(1)事件之间的包含（2

5、）和事件称为个（3）积事件A=出现点数是不超过3B=出现点数是奇数AB=出现点数是1(4)差事件（5）互斥（互不相容）时发生（6）对立事件2、运算规律4.对偶律 注：这些运算规律可以推广到任意多个事件上去 1.交换律2.结合律3.分配律例 设A、B、C表示三个事件，试以A，B，C的运算表示以下事件：（1）仅A发生；（2）A，B，C都发生；（3）A，B，C都不发生；（4）A，B，C恰有一个发生。解 随机事件的概率一、古典概型二、概率的性质 频率与概率一、古典概型1试验的样本空间只含有有限个元素，即 2试验中每个基本事件发生的可能性相同，即 具有以上两个特点的随机试验称为古典概型。二、概率的性质（

6、4） 可以推广到多个事件的情形例如例 掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。事件“出现奇数点”用A表示,则A=1,3,5,所含样本点数r=3,从而解： 显然样本空间=1,2,3,4,5,6,样本点总数n=6,例 设A,B为两个随机事件, P(A)=0.5, P(AUB)=0.8, P(AB)=0.3, 求P(B).解 由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AUB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.例 袋中有5个白球3个黑球,从中任取两个,试求取到的两个球颜色相同的概率。解 从8个球中任意取两个,共有 种取法,即基本事件总 数 . 记A表示“

7、取到的两个球颜色相同”,A包含两种可能: 全是白球或全是黑球. 全是白球有 种取法,全是黑球有 种取法,由加法原理知,A的取法共 种, 即A包含的基本事件数 r = 故 条件概率一、条件概率二、乘法公式三、事件的独立性一、条件概率2、条件概率的计算方法：（1）利用古典概型直接计算（优先考虑）（2）利用条件概率的定义二、乘法公式定理1 （乘法公式）则由归纳法可得：则由可得定义若三、 独立性 1. 两个事件的独立性 定理1注：事件的独立性与事件的互不相容是两个完全不同的概念定义2利用数学归纳法，可把定理1推广至有限多个事件的情形 2. 多个事件的独立性例 一射手对一目标独立射击4次,每次射击的命中

8、率为0.8,求：（1）恰好命中两次的概率；（2）至少命中一次的概率。解 因每次射击是相互独立的,故此问题可看做4重贝努力试验,p=0.8,(1)设事件A2表示“4次射击恰好命中两次”,则所求的概率为(2)设事件B表示“4次射击中至少命中一次”,有A0表示“4次射击都未命中”,则故所求的概率为例 3人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概率分别为 1/5, 1/3, 1/4. 求此密码被译出的概率.解 设A,B,C分别表示3人能单独译出密码，则所求概率为 P(ABC)，且A,B,C独立，P(A)= 1/5 ，P(B)= 1/3 ，P(C)= 1/4.于是 随机变量及其数字特征1.随机变量的概念

9、定义 1 样本空间为，如果对每一个样本点，有一个实数X()与之对应，这样就得到一个定义在上的实值函数X=X()称为随机变量。随机变量常用X,Y,Z,.或X1,X2 X3 ,.注意：随机变量的取值随着随机试验的结果而定。2. 离散型随机变量及其分布律 定义2 若随机变量X只能取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量。 定义3 X为离散型随机变量，可能取值为x1, x2, , xk, 且 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 则称Pk为X的分布律或分布列或概率分布。Xx1 x2xkPkp1p2pk分布律也可用表格形式表示分布律Pk具有下列性质： 反之，若一个数列Pk具有以上两条性质，

10、则它必可作为某离散型随机变量的分布律。例 设离散型随机变量X的分布律为X 0 1 2P 0.2 C 0.5求常数C.0.2 + C+ 0.5=1所以， C=0.3解：由分布律的性质得例 袋子里有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.从中同时取出3个球，记X为取出球的最大编号，求X的分布律.解：X的可能取值为3,4,5所以X的分布律X 3 4 5随机变量的分布函数 定义 设X为随机变量，称函数为X的分布函数。当X为离散型随机变量时，设X的分布律为例 设离散型随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.4求X的分布律。3.随机变量的期望离散型随机变量的期望:定

11、义1 设离散型随机变量X的分布律为如果有限,定义X的数学期望PX=xk=pk , k=1,2,例1 设随机变量X的分布律为 X -1 0 1 P 0.3 0.2 0.5求E(X).解 E(X)=(-1)0.3+0 0.2+1 0.5=0.2例2 甲乙两人进行打靶,所得分数分别记为X,Y,它们的分布律分别为 X 0 1 2 P 0 0.2 0.8 Y 0 1 2 P 0.1 0.8 0.1试比较它们成绩的好坏.解 分别计算X和Y的数学期望:E(X)=00.3+1 0.2+2 0.8=1.8(分)，E(Y)=00.1+1 0.8+2 0.1=1 (分). 这就意味着,如果进行多次射击,甲所得分数的

12、平均值接近于1.8分,而乙得分的平均值接近1分.很明显乙的成绩远不如甲.4.随机变量的方差(1)方差的概念定义.说明：(1) 随机变量X的方差D(X)即是X的函数(X-E(X)2的期望.(2) 当随机变量的取值相对集中在期望附件时,方差较小;取值相对分散时,方差较大,并且总有(2)方差的计算方法：解等 价 公 式第五章 空间解析几何（数一）一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角一 平面及其方程一、平面的点法式方程1. 点法式方程（已知法向量）如果一非零向量垂直于一平面, 称此向量为该平面的法线向量(法向量).定义设法向量平面的点法式方程为 及平面上的定点2. 点法式方程由平面的

13、点法式方程法向量二、平面的一般方程平面的一般方程设平面为将三点坐标代入得解（其中 ， ， ）例 设平面与 三轴分别交于 、代入所设方程得平面方程的截距式设平面为由平面过原点知所求平面方程为解定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 三、两平面的夹角（取锐角）两平面夹角余弦公式：特别地，例4一平面通过两点且垂直于平面 : x + y + z = 0, 求其方程 .和的法向量解 设所求平面两平行平面间的距离：二 空间直线及其方程一、空间直线的各种方程二、线面间的位置关系一、空间直线的方程形式1. 空间直线的一般形式定义空间直线可看成两平面的交线.空间直线的一般式方程.L(形式不唯一)(1)2.

14、对称式点向式方程定义如果一非零向量平行于一条已知直线,称此向量为该直线的方向向量.设一直线过 ， 其方向向量为的此直线方程为(2) 将一般方程转化为对称式方程(ii) 用消元法化为比例式; (i) 在直线上找一定点,再求出方向向量, 即写出对称式方程.二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角 则两直线夹角 满足设直线 L1, L2 的方向向量分别为 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(取锐角)特别有:所夹锐角 称为直线与平面间的夹角；2.直线与平面的夹角当直线与平面不垂直,直线和它在平面上的投影直线设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足/特别有:/解 取已知平面的法向量则

15、直线的对称式方程为垂直的直线方程. 例 求过点(1,-2,4)且与平面为所求直线的 方向向量.一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面 曲面及其方程一、曲面方程的概念定义:若曲面S与三元方程F (x, y, z) = 0 有如下关系:(1) S上任一点的坐标都满足方程F (x, y, z) =0;(2)坐标满足方程F (x, y, z) =0的点都在S上;方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .F (x, y, z) = 0 Sxyzo研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知曲面方程，研究曲面形状（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面

16、方程曲面SF (x, y, z) =0(三元方程）1-1对应故所求方程为例1 求动点到定点特别,当M0在原点时,球面方程为解 设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹方程. 表示上(下)球面 . M0 M例2 研究方程解 配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方化成球面方程.表示怎样的曲面.半径为的球面.球心为 定义2 二、旋转曲面 一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该旋转曲线称为母线,定直线称为旋转轴 .例如 母线旋转轴例4.试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. L解 在yoz面上直线L 的方程为绕 z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方定义观察柱面的形成过程:动直线 L 叫柱面的母线.三、柱面平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.定曲线C叫柱面的准线，母线准线xyzo考虑方程 x2 + y2 = R 2 所表示的曲面.在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以原点O为圆心, 半径为R的圆.曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线 L 沿xoy面上的圆 x2 + y2 = R2 移动而形成, 称该曲面为圆柱面.ol注意：在空间直角坐标系，缺项方程（不完全方程）的图形是柱面.圆柱面