《高等数学》PPT课件-第一章极限

1、二、极限2.1 极限的定义2.1.1 数列极限截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”数列的定义例如单调性 单击任意点开始观察数列的极限观察结束通过上面演示实验的观察:直观定义当n无限增大时，xn无限接近于一个确定的常数a，称a是数列xn的极限. 或者称数列xn 收敛于a, 记为 或发散 如果数列没有极限,就说数列是发散的.说明 发散有 不存在(非无穷大)； ；+； .常用结论公式1.常数列的极限等于它本身.注 当 时， 不存在.1.唯一性定理1收敛数列的极限唯一.收敛数列的性质2.有界性例如有界无界(2)定理2 收敛的数列必定有界.注意逆否命题必成立：无界列必定发散.逆命题不成立：有界列不

2、一定收敛.数列有界是收敛的必要条件(不充分).【数列极限】 整标函数【函数的极限】有两大类情形2.1.2 函数极限【直观定义】在x时，函数值f (x)无限接近于一 个确定的常数A ,称A为f (x)当x时的极限.记作两种特殊情况定理例如自变量xx0有限值时,函数 f(x) 的极限1.【引例】 函数在处的极限为函数在处的极限为函数在处的极限为yAxxx0时函数f(x)的极限是否存在,与f (x)在x0处是否有定义并无关系.结论2.【直观定义】在x x0时，函数值f (x)无限接近于一 个确定的常数A ,称A为f (x)当x x0 时的极限.记为3.【单侧极限】【例如】右极限 当xx0且x x0时

3、，函数值f (x)无限接近于一个确定的常数A ,称A为f (x)当x x0 时的右极限.注意 函数的左、右极限与函数的极限是三个不同的概念, 但三者之间有如下重要定理: 左极限 当xx0且x x0时，函数值f (x)无限接近于一个确定的常数A ,称A为f (x)当x x0 时的左极限.左右极限存在但不相等,例1证极限存在定理注 一般而言, 分段函数的极限要分左右极限考察.2.1.3函数极限的性质1.唯一性定理22. 有界性局部3. 保号性定理32.2 极限运算法则定理推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论22.3 无穷小量与无穷大量定义:极限为零的变量称为无穷小.2.3.1无穷小例如,注意（

4、1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.无穷小与函数极限的关系:意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 无穷小的运算性质:定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小2.3.2无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量

5、,但是无界变量未必是无穷大.2.3.3无穷小与无穷大的关系定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限2.3.4 无穷小量的比较定义:意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如,常用等价无穷小:等价无穷小代换定理(等价无穷小代换定理)证例解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限2.4 极限存在准则1.夹逼准则注意:准则 I和准则 I称为夹逼准则.例1解由夹逼定理得2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:2.5 两个重要极限(1)例解(2)对数列有例解小结：2.6 求极限方法举例例1解小结:解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2解例3(消去零因子法)例4解(无穷小因子分出法)小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例5解先变形再求极限.例6解例7解左右极限存在且相等,1、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求