《全等三角形》讲义(完整版)

1、全等三角形讲义一、知识点总结全等三角形定义：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。补充说明：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等全等三角形判定定理：（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等。（简称SSS）（2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（简称SAS）（3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（简称ASA）（4）角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（简称AAS）（5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相

2、等的两个直角三角形全等。（简称HL）角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.OP平分NAOB,PMLOA于M,PNLOB于N,.PM=PN角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.PMOA于M,PNLOB于N,PM-PNAOP平分NAOB三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三边的距离等。二、典型例题举例例1、如图AABAACNB和NC是对应角A由AC是对应边写出其他对应边和对应角例2、如图，AABC是一个钢架，AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.求证：ABD2AACD.例3、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CE,B

3、EDF,BE=DF.求证：4ABE2ACDF.例4、如图：D在AB上，E在AC上，AB=AC,NB=NC.求证AD=AE.例5、如图：例5、如图：Z1=Z2,Z3=Z4求证：AC=AD例6、如图，B、E、F、C在同一直线上，AFXBC于F,DEXBC于E,AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗？说说你的理由DCBDCBBBDC例7、如图的边4B、/。为边分别向外作正方形/BD石和正方形/CFG,连结石G,试判与/5C与/EG面积之间的关系，并说明理由.例8、如图，0C是NAOB的平分线，P是0C上的一点，PDLOA交0A于D,PELOB交OB于E,F是OC上的另一点，连接DF,EF,求

4、证DF=EFFF例9、如图，AABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PEAB交BC于E,PFAC交BC于F,求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等例10、如图，在48。中，40为NA4C的平分线，DELABE,DFLAC于F,48。面积是282,AB=2Qcm,/C=8cm,求DE的长.例10、已知：BECD,BE=DE,BC=DA，求证：BEC经NDAE；DFBC.例11、如图，已知：E是/AOB的平分线上一点，ECOB,EDOA,C,D是垂足，连接CD,求证：(1)NECD=NEDC；(2)OD=OC；(3)OE是CD的中垂线.三、专题版块专题一：全等三角形的判定和性质的应用例

5、1、如图，在4ABC中，AB=AC,BAC=40，分别以AB、AC为边作两个等腰三角形八8口和ACE,使NBAD=NCAE=90.求NDBC的度数.(2)求证：BD=CE.例2、如图，ABCD,AFDE,BE=CF,求证：AB=CD.例3、如图在nABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE延长线上截取BM=AC,在CF延长线上截到CN=AB,求证：AM=AN。例4、如图，在nABC中，BE、CF分别是AC、AB边上两条高，在BE上截取BD=AC,4CF的延长线上截到CG=AB,连接AD、AG,则AD与AG之间有何关系？证明你的结论。GxA/ECC例5、如图，等边nABC和等边nCDE

6、,A、C、E三点在一条直线上，点M为AD中点，点N为BE中点，。（1）求证：nCMN是等边三角形（2）将nCDE绕点C旋转，则下列结论发生变化吗？nADMBE；nAD与BE相交所成的角的度数；nnCMN为等边三角形。题二：通过证明全等三角形，证明线段相等或平行、例1、如图，已知4ABCDEF且点D与点A对应.求证：（1）ABDE;（2）DC=AF例2例2、如图,已知:AD是BC上的中线，且DF=DE.求证:BECF.专题三：线段之间数量关系例1、已知：如图，口ABC中，口C=2口B,口1=口2,求证：AB=AC+CD.例2、如图，ZABC=90,AB=BC,D为AC上一点，分别过A.C作BD的

7、垂线，垂足分别为E.F,求证：EF=CFAE.BB例3、已知：如图所示，BD为NABC的平分线，AB=BC,点P在BD上，PMXAD于M,PNXCD于N,判断PM与PN的关系.例4、如图所示，P为NAOB的平分线上一点，PCLOA于C,Z0AP+Z0BP=180,若004cm,求AO+BO的值.例5、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分/BADCE1AB于E,ZB+ZD=180,求证：AE=AD+BE6、如图，ABnCD,ABE=nEBC,ECB=nECD,求证：BC=AB+CD。专题四：角平分线问题例1、如图，ADDC,BCDC,E是DC上一点，AE平分/DABNABC,求证：点E是DC中

8、点。CE相交于0点,例2、如图，已知BFMDDBC的平分线，CF是MCB的平分线，求证：点F在nBACCE相交于0点,例口、如图，已知在AABC中，ZBDDDD,ZkABC的角平分线AD、求证：AE+CD1AC若已知AE+CD1AC求证：ZBDDDDF点试比较BE+CFF点试比较BE+CF例4、在4ABC中D是BC中点EDXDF分别交AB、AC于E、与EF的大小例5、如图，ZkABC中，是NA的平分线，E、尸分别为A8、AC上一点，且NED厂+NBAR皿,求证：DEWDFD四、全等三角形练习试题基础题1、如图，在RtABC中，AB=AC,ADLBC,垂足为D,E,F分别为CD,AD上的点，且C

9、E=AF,如果NAED=62,则NDBF=()A.62B.38C.28D502、如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于E点，则NAEC+NDEB=3、如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于。点，/1=/2,Z3=/4.求证：(1)ABCADC；(2)BO=DO.4、如图，在RtABC中，N=90,BD平分/ABC,交AC于点D,AC=15cm,且CD:AD=2:3，求点D到AB的距离。5、如图，AD=BC,ADBC,AE=FC.求证:BEDF.6、如图，AB/CD,AD/BC,OE=OF,图中全等三角形共有对.7、在数学活动课上，小明提出这样一个问题：/B=NC=90,E是BC的

10、中点，DE平分/ADC,/CED=35,如图，则NEAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是，试说9、如图，8、如图，AD,AD，分别是锐角三角形ABC和锐角三角形AB，C中BC,BC边上的高，且AB=AB,AD=AD=若使ABC空、ArBC,请你补充条件.（填写一个你认为适当的条件即可），试说9、如图，明AD+AB=BE.1、如图，已知BELAD,交AD延长线于点E,CFLAD,且BE=CF,请你判断AD是AABC的中线还是角平分线，并说明你判断的理由.2、如图，CF,BE是4ABC高，且BP=AC,CQ=AB,试判断AP与AQ的数量关系，并证明.3、如图，P是NBA

11、C内一点，PEAB,PFLAC,垂足分别为点E和F,AE=AF.(1)求证：PE=PF；(2)NCAP与NBAP相等吗？为什么？4、如图，BFLAC于F,CELAB于E,BF和CE交于点D,且BE=CF,求证：AD平分/BAC5、如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEAC于E,BFAC于F，若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.(1)求证：MB=MD,ME=MF(2)当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由6、如图17所示，在NAOB的两边上截取AO=BO,OC=OD,连接AD、BC交于点P，连接OP,则下列结论正确的是

12、（）4APC/BPDADO/BCOAOP/BOPOCP/ODPA.B.C.D.1、如图13所示，在等腰RtABC中，NC=90,AC=BC,AD平分/BAC交BC1、如图13所示，在等腰RtABC中，NC=90,AC=BC,AD平分/BAC交BC于D,DELAB于E,若AB=10，求ABDE的周长.2aA、C、3、根据下列条件，能画出唯一4ABC的是（）AB=3,BC=4,CA=8B、AB=4,BC=3,NA=30NC=60,NB=45,AB=4D、NC=90,AB=6如图，四边形ABCD是矩形，APBC和AQCD都是等边三角形，形上方，点Q在矩形内求证：（1）NPBA=NPCQ=30；（2）PA=PQ4、如图，AABC和AADE是有公共顶点的等腰直角三角形.求证：BD=CE;NABD=NACE5、如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；NAOB=60恒成立的结论有（把你认为正确的序号都填上）.6、如图，在45。中，D为BC的中点，DEBC,交NBAC的平分线AE于