2022年福建省厦门松柏中学数学高二第二学期期末检测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知奇函数在上是单调函数，函数是其导函数，当时，则使成立的的取值范围是（）ABCD2已知的三边满足条件，则（ ）ABCD3已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）ABC

2、D4复数z满足，则复数z在复平面内的对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5函数fx=aexx，x1,2，且x1A-,4e2B4e6函数的图象可能是（ ）ABCD7幂函数y=kxa过点（4，2），则ka的值为A1BC1D8一个口袋内有12个大小形状完全相同的小球，其中有n个红球，若有放回地从口袋中连续取四次（每次只取一个小球），恰好两次取到红球的概率大于，则n的值共有（ ）A1个B2个C3个D4个9设aR，则“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的A充分不必要B必要不充分C充要条件D既不充分也不必要10等差数列an的前n项和Sn，且4S26

3、，15S421，则a2的取值范围为（ ）ABCD11如图，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于（ ）ABCD12如图，矩形的四个顶点依次为，记线段、以及的图象围成的区域（图中阴影部分）为，若向矩形内任意投一点，则点落在区域内的概率为( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，则的值为_14各棱长均相等的正三棱锥，其任意两个相邻的面所成的二面角的大小为_.15满足不等式组的点所围成的平面图形的面积为_16已知函数则的最大值是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知是抛物线上一点，为的焦点（1）若，是上的两点，证

4、明：，依次成等比数列（2）若直线与交于，两点，且，求线段的垂直平分线在轴上的截距18（12分）已知双曲线，为上的任意点（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值.19（12分）如图，是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M，N两地之间的铁路线是圆心在上的一段圆弧，若点M在点O正北方向3公里；点N到的距离分别为4公里和5公里.（1）建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O的正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4公里，并且铁路上任意一点到校址的距离不能小于公里，求该校址距点O的最短

5、距离（注：校址视为一个点）20（12分）已知曲线.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求与直线平行的曲线的切线方程.21（12分）某工厂拟生产并销售某电子产品m万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销费用x（万元）满足（其中，为正常数）已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？22（10分）已知命题p：函数的定义域为R；命题q：双曲线的离心率，若“”是真命题，“”是假命题，求实数a的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在

6、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】将不等式变形，并构造函数，利用导函数可判断在时的取值情况；根据奇函数性质，即可判断当时的符号，进而得解.【详解】当时，即；令，则，由题意可知，即在时单调递减，且，所以当时，由于此时，则不合题意；当时，由于此时，则不合题意；由以上可知时，而是上的奇函数，则当时，恒成立，所以使成立的的取值范围为，故选：A.【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，利用构造函数法分析函数单调性，奇函数性质解不等式，属于中档题.2、D【解析】由题意首先求得的值，然后确定的大小即可.【详解】由可得：，则，据此可得.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查余弦定

7、理及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3、C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解4、A【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解：由，得复数z在复平面内的对应点的坐标为，位于第一象限故选A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题5、A【解析】构造函数Fx=fx

8、-x，根据函数的单调性得到Fx0在1,2【详解】不妨设x1x2，令Fx=fx-x，则Fx在1,2Fx当x=1时，aR，当x1,2时，ax2所以gx在1,2单调递减，是gxmin【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，构造函数Fx=f6、A【解析】求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项.【详解】解：当时，则，若，若，则恒成立，即当时，恒成立，则在上单调递减，故选：A.【点睛】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题.7、B【解析】先根据幂函数的定义得到k=1,再根据幂函数y=kxa过点（4，2）求出a的值，即得ka的值.【详解】幂函数y=

9、kxa过点（4，2），2=k4a，且k=1，解得k=1，a=，ka=1故选B【点睛】本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8、C【解析】设每次取到红球的概率为p，结合独立事件的概率的计算公式，求得，再由，即可判定，得到答案.【详解】由题意，设每次取到红球的概率为p，可得，即，解得，因为，所以，所以或6或7.故选：C.【点睛】本题主要考查了独立事件的概率的计算公式及其应用，其中解答中正确理解题意，合理利用独立事件的概率的计算公式，求得相应的概率的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9、C

10、【解析】先由两直线平行解得a的值，再通过检验是否重合可得a=3，从而得两命题的关系.【详解】若直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行，可得：aa-1=23，解得当a=3时，两直线分别为：3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，满足平行；当a=-2时，两直线分别为：x-y+3=0和x-y+3=0，两直线重合；所以“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的充要条件.故选C.【点睛】本题主要考查了两直线平行求参数值的问题。已知两直线的一般方程判定两直线平行的一般方法为：已知l1:A1x+10、B【解析】首先设公差为，由题中的条件可得和，利用待

11、定系数法可得，结合所求的范围及不等式的性质可得.【详解】设公差为，由，得，即；同理由可得.故可设，所以有，所以有，解得，即，因为 ，.所以，即.故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的性质及等差数列的运算，利用不等式求解范围时注意放缩的尺度，运算次数越少，范围越准确.11、A【解析】试题分析：因为，=0时，x=1，所以，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于，故选A考点：本题主要考查定积分的几何意义及定积分的计算点评：简单题，图中阴影面积，是函数在区间1,2的定积分12、D【解析】分析：利用定积分的几何意义求出阴影部分的面积，由几何概型的概率公式，即可得结果.详解：阴影部分的面积是，矩

12、形的面积是，点落在区域内的概率，故选D.点睛：本题主要考查定积分的几何意义以及几何概型概率公式，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】，解得，故，故答案为.14、【解析】取AB中点D，连结SD、CD，则SDAB，CDAB，从而SDC是二面角的平面角，由此能求出结果【详解】解：取A

13、B中点D，连结SD、CD，三棱锥SABC是各棱长均相等的正三棱锥，SDAB，CDAB，SDC是二面角的平面角，设棱长SC2，则SDCD，cosSDC，SDCarccos故各棱长均相等的正三棱锥任意两个相邻的面所成的二面角的大小为arccos故答案为：arccos【点睛】本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题15、.【解析】分析：画出约束条件表示的可行域，利用微积分基本定理求出可行域的面积详解：画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分，由题意不等式组，表示的平面图形的面积为：故答案为点睛：用定积分求平面图形的面

14、积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积16、【解析】分别在、和三种情况下求解在区间内的最大值，综合即可得到结果.【详解】当时，此时：当时，此时：当时，此时：综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查分段函数最值的求解，关键是能够通过函数每一段区间上的解析式分别求解出在每一段区间上的最值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】（1）由在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得，的长度，从而证得依

15、次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去，根据韦达定理求解出，从而可得中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得垂直平分线所在直线方程，代入求得结果.【详解】（1）是抛物线上一点 根据题意可得：，依次成等比数列（2）由，消可得， 设的中点，线段的垂直平分线的斜率为故其直线方程为当时，【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.18、（1）证明见解析（2）的最小值为【解析】试题分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，设点利用点到直线的距离公式，即可得到结论，写出距离的乘积，再利用点在双曲线上得出定值；（2）用点点

16、距公式表示出|PA|，利用配方法，求得函数的最值，即可求得结论（1）设点，由题意知双曲线的两条渐近线方程分别为和，则点到两条渐近线的距离分别为和，则，得证；（2）设点，则当时，有最小值.19、（1）（；（2）.【解析】（1）以垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标为，由圆心到两点的距离相等求出，即圆心坐标，再求出半径，可得圆方程，圆弧方程在圆方程中对变量加以限制即可。（2）设校址坐标为，根据条件列出不等式，由函数单调性求最值解决恒成立问题。【详解】（1）以直线为轴，为轴，建立如图所求的直角坐标系，则，设圆心为，则，解得。即，圆半径为，圆方程为，铁路线所在圆弧的方程为（。（2）设校址为，是

17、铁路上任一点，则对恒成立，即对恒成立，整理得对恒成立，记，在上是减函数，即，解得。即校址距点最短距离是。【点睛】本题考查求点的轨迹方程、求圆的方程，考查不等式恒成立问题。不等式恒成立可转化为通过求函数的最值得以解决，属于中档题。20、 (1) (2)或.【解析】(1)由题意可得，切线的斜率为，据此可得切线方程为.(2)设与直线平行的切线的切点为，由导函数与切线的关系可得，则切线方程为或.【详解】(1)，求导数得，切线的斜率为，所求切线方程为，即.(2)设与直线平行的切线的切点为，则切线的斜率为.又所求切线与直线平行，解得，代入曲线方程得切点为或，所求切线方程为)或)，即或.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线方程及其应用，导数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21、（1）（2）当时，利润最大值为17万元，当时，最大利润万元【解析】（1）利润为单价乘以产品件数减去促销费用再减去投入成本；（2）可有对