辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等2021-2022学年高二数学第二学期期末检测模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的

2、概率为（ ）附：若随机变量，则，.A0.1359B0.7282C0.6587D0.86413(2x-3)1+A-55B-61C-63D-734已知圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率为（ ）ABCD5已知复数满足,则复数在复平面内对应点所在的象限是( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）A15B16CD7已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A108cm3B100cm3C92cm3D84cm38 “”是“”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件9

3、在去年的足球甲联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）平均来说一队比二队防守技术好；二队比一队防守技术水平更稳定；一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；二队很少不失球.A1个B2个C3个D4个10若，则( )A2B0C-1D-211已知函数满足对任意实数，都有，设，（ ）A2018B2017C-2016D-201512已知复数，则复数的模为（ ）A2BC1D0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，设，若存在不相等的实数同时满足方程和，则实数的取

4、值范围为_14已知实数x,y满足不等式组，则的最大值是_15从这十个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是6的概率为 _16已知方程有两个根、，且，则的值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知命题：.（）若为真命题，求实数的取值范围；（）设命题：；若“”为真命题且“”为假命题，求实数的取值范围.18（12分）设为关于的方程的虚根，虚数单位（1）当时，求、的值；（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围19（12分）已知函数（1）若，求函数的最大值；（2）令，讨论函数的单调区间；（3）若，正实数满足，证明.20（

5、12分）设函数.（1）化简：；（2）已知：，求的表达式；（3），请用数学归纳法证明不等式.21（12分）将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为，第二次出的点数为，且已知关于、的方程组.（1）求此方程组有解的概率；（2）若记此方程组的解为，求且的概率.22（10分）十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；(2)该河流的污水排放对沿河的经济

6、影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当X310，350)时，经济损失为60万元为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】对复数进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案.【详解】复数，所以复数在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面

7、对应点所在象限，属于简单题.2、D【解析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解.【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：故所求的概率为，故选：D【点睛】本题考查了正态分布的图像及其应用，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.3、D【解析】令x=1得到所有系数和，再计算常数项为9，相减得到答案.【详解】令x=1，得(2x-3)1+1x6=-【点睛】本题考查了二项式系数和，常数项的计算，属于常考题型.4、B【解析】由题意可得双曲线的渐近线方程为，根据圆心到切线的距离等于半径，求出 的关系，进而得到双曲线的离心率，得到答案【详解】由题意，

8、根据双曲线的渐近线方程为根据圆的圆心到切线的距离等于半径1，可得，整理得，即，又由，则，可得 即双曲线的离心率为故选：B【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)5、A【解析】把已知变形等式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由，得，复数z在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限故选：A【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.6、A【解析】首先确定具有伙伴集合的元素有，“和”，“和”等四种可能，它们组成的

9、非空子集的个数为即为所求.【详解】根据伙伴关系集合的概念可知：1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由1,1,3和，2和这“四大”元素所组成的集合的非空子集所以满足条件的集合的个数为24115.故选A.【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解，考查集合子集的个数以及非空子集的个数，属于基础题.7、B【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）据此即可得出体积解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）该几何体的体积V=663=1故选B

10、考点：由三视图求面积、体积8、A【解析】画出曲线和的图像，根据图像观察即可得结果.【详解】在平面直角坐标系中画出曲线和的图像，如图：表示的点是图中圆上及圆内部的点，表示的点是图中正方形上及正方形内部的点，所以“”是“”的充分非必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，找出集合包含关系是快速判断的重点，可以数形结合画出曲线图像，通过图像观察包含关系，本题是中档题.9、D【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4

11、，二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，二队很少不失球，故（4）正确.故选：D10、C【解析】令可得：，令，可得：，据此可得：-1.本题选择C选项.点睛：因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法11、D【解析】通过取特殊值，可得，进一步可得，然后经过计算可得，最后代值计算，可得结果.【详解】由题可知：令，可得

12、令，则所以又由， 所以又所以，由所以故选：D【点睛】本题考查抽象函数的应用，难点在于发现，考验观察能力以及分析问题的能力，属中档题.12、C【解析】根据复数的除法运算求出，然后再求出即可【详解】由题意得，故选C【点睛】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据奇偶性定义求得为奇函数，从而可得且，从而可将整理为：，通过求解函数的值域可得到的取值范围.【详解】 为上的奇函数又且 且即：令，则在上单调递增 又 本题正确结果：【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到奇偶性的判定、单调性的应用，关键是

13、能够将问题转化为的值域的求解问题；易错点是在求解的取值范围时，忽略的条件，错误求解为，造成增根.14、12.【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，平移，结合所画可行域，可求得的最大值.详解：作出不等式组表示的平面区域如阴影部分，分析知，当时，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数

14、求出最值.15、【解析】本题考査古典概型.从10个数中任取5个不同的数，有种方法，若5个数的中位数为6,则只需从0,1,2,3,4,5中选两个，再从7,8,9中选两个不同的数即可，有种方法，故这5个数的中位数为6的概率.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.16、或1【解析】对方程的两根分成实根和虚根两种情况讨论，再利用

15、韦达定理和求根公式分别求解【详解】当时，；当时，故答案为：或1【点睛】此题考查实系数二次方程根的求解，考查分类讨论思想的运用，求解的关键在于对判别式分大于0和小于0两种情况三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（） ；（）.【解析】（）若为真命题，结合对数函数的定义域可得，解不等式组求得答案；（）“”为真命题且“”为假命题，则真假或假真，解出命题，对真假和假真两种情况进行讨论，从而得到答案【详解】（）因为，所以可得 ，所以当命题为真命题时，解得；（）易知命题：.若为真命题且为假命题，则真假或假真，当真假时，方程组无解；当假真时，解得；综上，为真命题且为假命题时，实

16、数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用命题与复合命题的真假关系求变量的取值范围，属于一般题18、（1）,（2）【解析】（1）,则,则可确定方程两根为,由韦达定理即可求得;（2）可确定,为方程的两根,设,由韦达定理可得,即,用两点间距离公式可表示出,用三角函数的知识求得其范围.【详解】（1）当,则 方程的两根分别为:,即,（2）当时，方程为 ,为方程的两根设，则， 设， 故 复数所对应的点为,可得根据两点间距离公式:其中， 即的取值范围为:.【点睛】本题考查复数的定义,几何意义的应用,关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根,利用韦达定理建立等量关系.19、（1）f（x）的最大值为f（1）=1

17、（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（）代入求出值，利用导数求出函数的极值，进而判断最值；（）求出，求出导函数，分别对参数分类讨论，确定导函数的正负，得出函数的单调性；（）整理方程，观察题的特点，变形得，故只需求解右式的范围即可，利用构造函数，求导的方法求出右式的最小值.试题解析：（）因为，所以a=-2，此时f（x）=lnx-x2+x， f（x）=-2x+1， 由f（x）=1，得x=1， f（x）在（1，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， 故当x=1时函数有极大值，也是最大值，所以f（x）的最大值为f（1）=1 （）g（x）=f（x）-ax2-ax+1， g（x）=lnx-ax2-

18、ax+x+1 ， 当a=1时，g（x）1，g（x）单调递增； 当a1时，x（1，）时，g（x）1，g（x）单调递增；x（，+）时，g（x）1，g（x）单调递减； 当a1时，g（x）1，g（x）单调递增； （）当a=2时，f（x）=lnx+x2+x，x1， 由f（x1）+f（x2）+x1x2=1，即 lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=1 从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2）， 令t=x2x1，则由（t）=t-lnt得，（t）= 可知，（t）在区间（1，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增所以（t）1， 所以（x1+x2）2+（x1+x2）1，正实数x1，x2， 20、（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）利用组合数公式化简后可得出结果；（2）由（1）得出，令可得，化简得出，代入函数的解析式，利用二项式定理进行化简得出，于此可得出的表达式；（3）先由（2）中的结论，结合组合数的性质得出，然后再用数学归纳法证明出不等式成立即可.【详解】（1）；（2）由（1）得，令可得，即，所以，因此，；（3），所以，即，得，下面用数学归纳法证明.（i）当时，则有，结论成立；（ii）假设当时，那么当时，所以当时，结论也成立.根据（i）（ii）恒成立.【点睛】本题考查组合