高考真题数学分项详解-专题18-等差数列与等比数列（解析版）

1、专题18等差数列与等比数列年份题号考点考查内容2011文17等差数列与等比数列综合问题等比数列的通项公式、前项和公式及等差数列的前项和公式，逻辑思维能力、运算求解能力2012理5等比数列问题等比数列通项公式及性质文14等比数列问题等比数列项和公式2013卷2文17等差数列问题等差数列通项公式、前项和公式、性质，方程思想卷2理3等比数列问题等比数列的通项公式与前项和公式及方程思想卷1文6等比数列问题等比数列前项和公式2014卷2文5等差数列问题等比中项、等差数列通项公式及前项和公式卷2理17等比数列问题等比数列概念、通项公式、前项和公式及数列不等式证明，放缩思想2015卷2文5等比数列问题等比数

2、列通项公式及方程思想卷2文5等差数列问题等差通项公式、性质及前项和公式卷2理16等差数列问题数列前项和与关系、等差数列定义及通项公式卷2理4等比数列问题等比数列通项公式及方程思想卷1文13等比数列问题等比数列定义及前项和公式卷1文7等差数列问题等差数列通项公式、前项和公式，方程思想2016卷2文17等差数列问题等差数列通项公式及对新概念的理解与应用，运算求解能力卷1文17等差数列与等比数列综合问题等差数列通项公式、等比数列定义、前项和公式，运算求解能力卷1理3等差数列问题等差数列通项公式、前项和公式、性质卷1理15等差数列与等比数列综合问题等比数列通项公式、等差数列前项和公式及二次函数最值问题

3、，函数与方程思想2017卷3理14等比数列问题等比数列通项公式及方程思想卷3理9等差数列问题等差数列通项公式及前项和公式、等比数列概念，方程思想卷2文17等差数列与等比数列的综合问题等差数列通项公式及前项和公式、等比数列通项公式及前项和公式，方程思想卷2理3等比数列问题等比数列定义及前项和公式及传统文化卷1文17等差数列与等比数列的综合问题等比数列通项公式、前项和公式及等差数列定义，方程思想卷1理4等差数列问题等差数列的通项公式及前项，方程思想2018卷3理文17等比数列问题等比数列通项公式、前项和公式，方程思想与运算求解能力卷2理文17等差数列问题等差数列的通项公式及前项和公式及前项和的最值

4、，方程思想卷1文17等比数列问题等比数列定义、通项公式，运算求解能力卷1理4等差数列问题等差数列通项公式与前项和公式，方程思想2019卷3文14等差数列问题等差数列通项公式与前项和公式，方程思想卷3理5等比数列问题等比数列通项公式与前项和公式，方程思想卷2文18等差数列与等比数列综合问题等比数列的通项公式、等差数列定义及前项和公式，方程思想卷2理19等差数列与等比数列的综合问题等比数列的定义及通项公式、等差数列定义与通项公式，运算求解能力卷1文14等比数问题等比数列通项公式与前项和公式，方程思想卷1文18等差数列问题等差数列通项公式与前项和公式及数列数列不等式问题，方程思想卷1理14等比数列问

5、题等比数列通项公式与前项和公式，方程思想卷1理9等差数列问题等差数列通项公式与前项和公式，方程思想2020卷1理文10等比数列问题等比数列的性质，等比数列基本量的计算，方程思想卷2理4等差数列问题等差数列通项公式、前项和公式，方程思想，数学文化理6等比数列问题等比数列通项公式、前项和公式，方程思想文6等比数列问题等比数列通项公式与前项和公式，方程思想大数据分析*预测高考考点出现频率2021年预测考点58等差数列问题15/372021年高考仍将考查等差数列与等比数列定义、性质、前项和公式，题型为选择填空题或解答题的第1小题，难度为基础题或中档题考点59等比数列问题13/37考点60等差数列与等比

6、数列的综合问题9/37十年试题分类*探求规律考点58等差数列问题1（2020全国理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）A块B块C块D块【答案】C【思路导引】第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差

7、数列，设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即，即，解得，所以，故选C2（2020浙江7）已知等差数列的前项和，公差记，下列等式不可能成立的是（）ABCD【答案】B【解析】A由等差数列的性质可知，成立；B，若，则，即，这与已知矛盾，故B不成立；C，整理为：，故C成立；D，当时，即，整理为，即，方程有解，故D成立综上可知，等式不可能成立的是B，故选B3（2019新课标，理9）记为等差数列的前项和已知，则ABCD【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由，得，故选4（2018新课标，理4）记为等差数列的前项和若，则ABC10D12【答案】B【解析】为等差

8、数列的前项和，把，代入得，故选5（2017新课标，理4）记为等差数列的前项和若，则的公差为（）A1B2C4D8【答案】C【解析】由题知，解得，故选6（2017新课标，理9）等差数列的首项为1，公差不为0若，成等比数列，则前6项的和为ABC3D8【答案】A【解析】等差数列的首项为1，公差不为0，成等比数列，且，解得，前6项的和为，故选7（2016新课标，理3）已知等差数列前9项的和为27，则A100B99C98D97【答案】C【解析】由题知，=，又=，故选8（2015新课标，文7）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】公差，解得=，故选B9（2

9、015新课标，文5）设是等差数列的前项和，若，则（）ABCD【答案】A【解析】，故选A10（2014新课标，文5）等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（）ABCD【答案】A【解析】成等比数列，即，解得=2，故选A11（2017浙江）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，当，可得；当，可得所以“”是“”充分必要条件，选C12（2015重庆）在等差数列中，若，则（）A1B0C1D6【答案】B【解析】由等差数列的性质得，选B13（2015浙江）已知是等差数列，公差不为零，前项和是若成等比数列，

10、则（）ABCD【答案】B【解析】由成等比数列可得：，即，所以，所以，又14（2014辽宁）设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则（）ABCD【答案】C【解析】数列为递减数列，等式右边为关于的一次函数，15（2014福建）等差数列的前项和，若，则（）A8B10C12D14【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，所以，解得，所以16（2014重庆）在等差数列中，则（）ABCD【答案】B【解析】由等差数列的性质得，因为，所以，选B17（2013辽宁）下面是关于公差的等差数列的四个命题：其中的真命题为ABCD【答案】D【解析】设，所以正确；如果则满足已知，但并非递增所以错；如果若，则满足已知，但，

11、是递减数列，所以错；，所以是递增数列，正确18（2012福建）等差数列中，则数列的公差为（）A1B2C3D4【答案】B【解析】由题意有，又，19（2012辽宁）在等差数列中，已知，则该数列前11项和（）A58B88C143D176【答案】B【解析】，而，故选B20（2011江西）设为等差数列，公差，为其前项和，若，则（）A18B20C22D24【答案】B【解析】由，得，21（2011天津）已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为A110B90C90D110【答案】D【解析】因为是与的等比中项，所以，又数列的公差为，所以，解得，故，所以22（2020北京8）在等差数列中，

12、记，则数列（）A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项【答案】A【解析】设公差为d，a5-a1=4d，即d=2，an=2n-11，1n5使，an0，n6时，an0，所以n=4时，Tn0，并且取最大值；n=5时，Tn0；n6时，Tn0，并且当n越来越大时，Tn越来越小，所以Tn无最小项故选A23（2020上海7）已知等差数列的首项，且满足，则【答案】【解析】由条件可知，故答案为：24（2019新课标，理14）记为等差数列的前项和，若，则【答案】4【解析】设等差数列的公差为，则由，可得，25（2015新课标，理16）设数列的前项和为，且，则【答案】【解析】，

13、又，即，数列是以首项是、公差为的等差数列，26（2015安徽）已知数列中，()，则数列的前9项和等于_【答案】27【解析】，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和27（2019江苏8）已知数列是等差数列，是其前n项和若，则的值是 【答案】16【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以28（2019北京理10）设等差数列的前n项和为，若，则_的最小值为_【答案】0，-10【解析】由题意得，解得，所以因为是一个递增数列，且，所以的最小值为或，29(2018北京)设是等差数列，且，则的通项公式为_【答案】14【解析】解法一设的公差为，首项为，则，解得，所以解法二，所以故，故30(

14、2018上海)记等差数列的前几项和为，若，则=【答案】【解析】设等差数列的公差为，31（2015广东）在等差数列中，若，则【答案】10【解析】由得，所以，故32（2014北京）若等差数列满足，则当_时的前项和最大【答案】8【解析】数列是等差数列，且，又，当=8时，其前项和最大33（2014江西）在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_【答案】【解析】由题意可知，当且仅当时取最大值，可得，解得34（2013广东）在等差数列中，已知，则_【答案】20【解析】依题意，所以35（2012北京）已知为等差数列，为其前项和若，则；=【答案】1，【解析】设公差为d，则，把代入得，=

15、36（2012江西）设数列都是等差数列，若，则_【答案】35【解析】因为数列都是等差数列，所以数列也是等差数列故由等差中项的性质，得，即，解得37（2012广东）已知递增的等差数列满足，则=_【答案】【解析】38（2011广东）等差数列前9项的和等于前4项的和若，则=_【答案】10【解析】设的公差为，由及，得，所以又，所以，即39（2019新课标，文18）记为等差数列的前项和，已知（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围【解析】（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，若，则，变形可得，即，若，则，则，（2）若，则，当时，不等式成立，当时，有，变形可得，又由，即，则有，即，则有，又由

16、，则有，则有，综合可得：，40（2018新课标，理（文）17）记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值【解析】（1）等差数列中，解得，；（2），当时，前项的和取得最小值为41（2016新课标，文17）等差数列中，（）求的通项公式；（）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，【解析】（）设等差数列的公差为，解得：，；（），故数列的前10项和42（2013新课标，文17）已知等差数列的公差不为零，且成等比数列（）求的通项公式；（）求；【解析】（）设的公差为，由题意，=，即，=0（舍去）或=-2，；（）令=由（）知，=，是首项为25，公差为-6的等差数列，

17、=43（2014浙江）已知等差数列的公差，设的前n项和为，（）求及；（）求（）的值，使得【解析】（）由题意，将代入上式得或，因为，所以，从而，（）（）由（1）知，所以，由知，所以，所以44（2013福建）已知等差数列的公差，前项和为（）若成等比数列，求；（）若，求的取值范围【解析】（）因为数列的公差，且成等比数列，所以，即，解得或（）因为数列的公差，且，所以；即，解得45（2011福建）已知等差数列中，=1，（）求数列的通项公式；（）若数列的前项和，求的值【解析】（）设等差数列的公差为，则由解得=2从而，（）由（I）可知，所以进而由即，解得又为所求46（2013江苏）设是首项为，公差为的等差数

18、列，是其前项和记，其中为实数（）若，且，成等比数列，证明：；（）若是等差数列，证明：【证明】（）若，则，又由题，是等差数列，首项为，公差为，又成等比数列，（）（）由题，若是等差数列，则可设，是常数，关于恒成立整理得：，关于恒成立，考点59等比数列问题1（2020全国文10）设是等比数列，且，则（）ABCD【答案】D【思路导引】根据已知条件求得的值，再由可求得结果【解析】设等比数列的公比为，则，故选D2（2020全国文6）记为等比数列的前项和若则（）ABCD【答案】B【思路导引】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可【解

19、析】设等比数列的公比为，由可得：，因此，故选B3（2020全国理6）数列中，若，则（）ABCD【答案】C【思路导引】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值【解析】在等式中，令，可得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，则，解得故选：C4（2019新课标，理5）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A16B8C4D2【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则由前4项和为15，且，有，故选5（2017新课标，理3）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？

20、”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A1盏B3盏C5盏D9盏【答案】B【解析】设塔顶的盏灯，由题意是公比为2的等比数列，解得，故选6（2015新课标，理4）已知等比数列满足，则A21B42C63D84【解析】，故选7（2015新课标，文9）已知等比数列满足，则（）【答案】C【解析】由题意可得，所以，故，选C8（2013新课标，文6）设首项为1，公比为的等比数列的前n项和为，则=【答案】D【解析】=，故选9（2013新课标，理3）等比数列的前n项和为，已知，=9，则=ABCD【答案】C【解析】由题知=，即，即，又9=，=，故选C10（

21、2012新课标，理5）已知数列为等比数列，=2，=8，则=7557【答案】D【解析】=8，=2，=4，=2，或=2，=4，当=4，=2时，=，=-7，当=2，=4时，=2，=7，故选D11（2013大纲）已知数列满足，则的前10项和等于ABCD【答案】C【解析】，是等比数列，又，故选C12(2018北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为ABCD【答案】D【解析】

22、从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率为，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为，公比为的等比数列，记为，则第八个单音频率为，故选D13(2018浙江)已知，成等比数列，且若，则A，B，C，D，【答案】B【解析】因为()，所以，所以，又，所以等比数列的公比若，则，而，所以，与矛盾，所以，所以，所以，故选B14（2014重庆）对任意等比数列，下列说法一定正确的是A成等比数列B成等比数列C成等比数列D成等比数列【答案】D【解析】由等比数列的性质得，因此一定成等比数列15（2012北京）已知为等比数列下面结论中正确的是ABC若，则D若，则【

23、答案】B【解析】取特殊值可排除A、C、D，由均值不等式可得16（2011辽宁）若等比数列满足，则公比为A2B4C8D16【答案】B【解析】由，得，两式相除得，可知公比为正数，17（2019新课标，理14）记为等比数列的前项和若，则【答案】【解析】在等比数列中，由，得，即，则18（2019新课标，文14）记为等比数列的前项和，若，则【答案】【解析】等比数列的前项和，整理可得，解可得，则19（2015新课标，文13）数列中为的前n项和，若，则【答案】6【解析】，数列是首项为2，公比为2的等比数列，n=620（2017新课标，理14）设等比数列满足，则【答案】【解析】设等比数列的公比为，解得，则21

24、(2012新课标，文14)等比数列的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比=_【答案】-2【解析】当=1时，=，=，由S3+3S2=0得，=0，=0与是等比数列矛盾，故1，由S3+3S2=0得，解得=222（2017江苏）等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，则=【答案】32【解析】设的公比为，由题意，由，所以，由，得，所以23（2017北京）若等差数列和等比数列满足，则=_【答案】1【解析】设的公差为，的公比为，由题意，所以，所以24（2016年浙江）设数列的前项和为若，则=，=【答案】【解析】由于，解得，由，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以25（2015安徽）

25、已知数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于 【答案】【解析】由题意，解得或，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和26（2014广东）等比数列的各项均为正数，且，则_【答案】5【解析】由等比数列的性质可知，于是，由得，故，则27（2014广东）若等比数列的各项均为正数，且，则 【答案】50【解析】因是等比数列，由得，=5028（2014江苏）在各项均为正数的等比数列中，则的值是【答案】4【解析】设等比数列的公比为，则，即为，解得（负值舍去），又，所以29（2013广东）设数列是首项为，公比为的等比数列，则【答案】15【解析】，1530（2013北京）若等比数列满足=20，=

26、40，则公比q= ；前n项和= 【答案】【解析】由=得；=20，得；31（2013江苏）在正项等比数列中，则满足的最大正整数的值为 【答案】12【解析】设正项等比数列首项为，公比为q，则：，得：，q2，记，则，化简得：，当时，当n12时，当n13时，故32（2012江西）等比数列的前项和为，公比不为1若，且对任意的都有，则=_【答案】11【解析】由，可得，由可知，求得公比，可得=1133（2012辽宁）已知等比数列为递增数列，若，且，则数列的公比 【答案】2【解析】因为数列为递增数列，且34（2012浙江）设公比为的等比数列的前项和为若，则【答案】【解析】依题意可得，两式相减可得，即，解得（舍

27、）或或因为，所以35（2011北京）在等比数列中，则公比=_；_【答案】2【解析】得，解得，36（2017新课标，文17）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，（1）若，求的通项公式；（2）若，求【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，可得，解得，或，（舍去），则的通项公式为，；（2），可得，解得或，当时，；当时，37（2018新课标，文17）已知数列满足，设（1）求，；（2）判断数列是否为等比数列，并说明文由；（3）求的通项公式【解析】（1）数列满足，则：（常数），由于，故：，数列是以为首项，2为公比的等比数列整文得：，所以：，（2）数列是为等比数列，由于（常数）；（3）由

28、（1）得：，根据，所以：38（2018新课标，理文17）等比数列中，（1）求的通项公式；（2）记为的前项和若，求【解析】（1）等比数列中，解得，当时，当时，的通项公式为，或（2）记为的前项和当，时，由，得，无解；当，时，由，得，解得39（2014新课标，理17）已知数列满足=1，（）证明是等比数列，并求的通项公式；（）证明：【解析】（），即：又，是以为首项，3为公比的等比数列，即（）由（）知，故：40(2013天津)已知首项为的等比数列的前n项和为，且成等差数列()求数列的通项公式；()证明【解析】()设等比数列的公比为，因为，成等差数列，所以，即，可得，于是又，所以等比数列的通项公式为()，

29、当为奇数时，随的增大而减小，所以当为偶数时，随的增大而减小，所以故对于，有41（2011江西）已知两个等比数列，满足（）若，求数列的通项公式；（）若数列唯一，求的值【解析】（）设的公比为，则由成等比数列得即所以的通项公式为（）设的公比为，则由得由，故方程（*）有两个不同的实根由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得42（2013湖北）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且（）求数列的通项公式；（）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由【解析】（）设数列的公比为，则，由题意得即解得故数列的通项公式为（）由（）有若存在，使得，则，即当为偶数时，上式不成立；

30、当为奇数时，即，则综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为考点60等差数列与等比数列的综合问题1（2020江苏11）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是_【答案】【解析】的前项和，当时，；当时，从而有2（2016课标卷1，理15）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为【答案】64【解析】由5=，解得=，所以，解得=8，所以数列是递减数列，因为，所以，当或4时，表达式取得最大值：3（2013重庆）已知是等差数列，公差，为其前项和，若成等比数列，则【答案】64【解析】由且成等比数列，得，解得，故4（2011江苏）设，其中成公比

31、为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是_【答案】【解析】设，则，由于，所以，故的最小值是5（2017新课标，文17）记为等比数列的前项和已知，（1）求的通项公式；（2）求，并判断，是否成等差数列【解析】（1）设等比数列首项为，公比为，则，则，由，整理得：，解得：，则，的通项公式；（2）由（1）可知：，则，由，即，成等差数列6（2019新课标，理19）已知数列和满足，（1）证明：是等比数列，是等差数列；（2）求和的通项公式【解析】（1）证明：，；，；即，；又，是首项为1，公比为的等比数列，是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：，；，7（2019新课标，文18）已知的各项均

32、为正数的等比数列，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和【解析】（1）设等比数列的公比为，由，得，即，解得（舍或；（2），数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列的前项和8（2016新课标，文17）已知是公差为3的等差数列，数列满足，（）求的通项公式；（）求的前项和【解析】（）当时，又是公差为3的等差数列，（）由知：即即数列是以1为首项，以为公比的等比数列，的前项和9（2011课标，文17）已知等比数列中，=，公比=（）为的前项和，证明：=；（）设=，求数列的通项公式【解析】（）因为=（）所以的通项公式为10（2018天津）设是等差数列，其前项和为()；是等比数列，公比大于0，其前项和为()已知，(1)求和；(2)若，求正整数的值【解析】(1)设等比数列的公比为，由，可