专题19 数列的求和问题（解析版）

1、十年十年高考+大数据预测 I）知，=，则=， =， -得=，= 12分3（2015浙江）已知数列和满足，（）求与；（）记数列的前项和为，求【解析】（）由，得当时，故当时，整理得所以（）由（）知，故，所以4（2013湖南）设为数列的前项和，已知，2，N()求，并求数列的通项公式；()求数列的前项和【解析】() -（） 上式左右错位相减：。5（2016年山东高考）已知数列 的前n项和，是等差数列，且 （）求数列的通项公式；（）令 求数列的前n项和Tn【解析】()因为数列的前项和，所以，当时，又对也成立，所以又因为是等差数列，设公差为，则当时，；当时，解得，所以数列的通项公式为()由，于是，两边同乘

2、以，得，两式相减，得6(2015湖北)设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为已知，()求数列，的通项公式；()当时，记，求数列的前项和【解析】（）由题意有， ，即解得 或，故或（）由，知，故，于是， -可得，故7（2013山东）设等差数列的前项和为，且，（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和,且（为常数），令（）求数列的前项和【解析】（）设等差数列的首项为，公差为， 由，得， 解得，因此 （）由题意知：所以时，故， 所以，则两式相减得 整理得，所以数列的前项和8（2017山东）已知是各项均为正数的等比数列，且，（）求数列的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系中，依次连接点，得到折线，

3、求由该折线与直线，所围成的区域的面积【解析】()设数列的公比为，由已知由题意得，所以，因为,所以，因此数列的通项公式为（）过，向轴作垂线，垂足分别为，,由()得记梯形的面积为由题意，所以+=+ 又+ 得= 所以9（2017天津）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和【解析】（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为由已知，得，而，所以又因为，解得所以，由，可得 由，可得 ，联立，解得，由此可得所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为（）设数列的前项和为，由，有，故，上述两式相减，得 得所以，数列的前项和为10（2015湖北）设

4、等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q已知，（）求数列，的通项公式；（）当时，记，求数列的前n项和 【解析】（）由题意有， ，即解得 或，故或（）由，知，故，于是， -可得，故11（2014四川）设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）（）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；（）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列 的前项和【解析】（）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为，所以因为点在函数的图象上，所以，所以又，所以（）由，函数的图象在点处的切线方程为所以切线在轴上的截距为，从而，故从而， 所以故12（2012浙江）已知数列的前项和为，且=，nN，数列满足，（）

5、求；（）求数列的前项和【解析】（）由=，得当=1时，；当2时，由，得，（）由（1）知，所以，考点64并项法与倒序求和法1（2011安徽）若数列的通项公式是,则=A15 B12 C12 D15【答案】A【解析】考点65数列综合问题1（2017新课标，理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂那么该款软件

6、的激活码是A440B330C220D110【解析】设该数列为，设，则，由题意可设数列的前项和为，数列的前项和为，则，可知当为时，数列的前项和为数列的前项和，即为，容易得到时，项，由，可知，故项符合题意项，仿上可知，可知，显然不为2的整数幂，故项不符合题意项，仿上可知，可知，显然不为2的整数幂，故项不符合题意项，仿上可知，可知，显然不为2的整数幂，故项不符合题意故选2（2016新课标，理12）定义“规范01数列” 如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数，若，则不同的“规范01数列”共有A18个B16个C14个D12个【答案】C【解析】由题意可知，“规范01数列”有偶

7、数项项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1共14个，故选3（2013新课标，理12）

8、设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1 eq f(cnan,2)，cn1 eq f(bnan,2)，则( )ASn为递减数列 B。Sn为递增数列 QUOTE CS2n1为递增数列，S2n为递减数列 DS2n1为递减数列，S2n为递增数列【答案】B【解析】=，=，=，=，+=，+-=，=，由余弦定理得=，=，=，=（），故为递增数列，故选B4（2019浙江10）设a，bR，数列an中an=a，an+1=an2+b， ,则A当b=时，a1010 B当b=时，a1010 C当b=-2时，a1010 D当b

9、=-4时，a1010【答案】A【解析】对于B，令 QUOTE x2-+14=0 ，得 QUOTE =12 ，取 QUOTE a1=12 ，所以 QUOTE a2=12,an=1210 ，所以 QUOTE 当 QUOTE b=14 时， QUOTE a1010 ，故B错误；对于C，令 QUOTE x2-2=0 ，得 QUOTE =2 或 QUOTE =-1 ，取 QUOTE a1=2 ，所以 QUOTE a2=2 ，所以 QUOTE 当 QUOTE b=-2 时， QUOTE a1010 ，故C错误；对于D，令 QUOTE x2-4=0 ，得 QUOTE =1172 ，取 QUOTE a1=1+

10、172 ，所以 QUOTE a2=1+172 ， QUOTE ， QUOTE an=1+17210 ，所以当 QUOTE b=-4 时， QUOTE a101 ， QUOTE an+1-an0 ， QUOTE an 递增，当 QUOTE n4 时， QUOTE an+1an=an+12an1+12=32 ，所以 QUOTE a5a432a4a532a10a932 ，所以 QUOTE a10a4(32)6 ，所以 QUOTE a107296410. 故A正确故选A5(2015湖北)设，若p：成等比数列；q：，则Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的

11、充分必要条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A【解析】对命题p：成等比数列，则公比且；对命题，当时，成立；当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以是的充分条件，但不是的必要条件6（2020全国文17）设等比数列满足（1）求的通项公式；（2）设为数列的前项和若，求【答案】（1）；（2）【思路导引】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果【解析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以（2）令，所以，根据，可得，整理得，

12、因为，所以7（2014浙江）设函数，记，则A B C D 【答案】B【解析】在上单调递增，可得，=在上单调递增，在单调递减， =在，上单调递增，在，上单调递减，可得因此8（2013新课标，理16）等差数列前n项和为，=0，=25，则的最小值为 【答案】-49【解析】由题知，解得，=，=，设=，=，当06时，0，当7时，0，=-49=24，故的最小值为-499.(2018江苏)已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 【答案】27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列 中，前面有16个正奇数，即，当时，不符合题意；当时，不符

13、合题意；当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，= 441 +62= 503=540，符合题意故使得成立的的最小值为2710（2015陕西）中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为 【答案】5【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为11（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”（1）已知等比数列an满足：，求证：数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足：，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有成立，求m的最大值【解析】（1）设等比数列an的公

14、比为q，所以a10，q0由，得，解得因此数列为“M数列”（2）因为，所以由，得，则由，得，当时，由，得，整理得所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列因此，数列bn的通项公式为bn=n由知，bk=k，因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q0因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有设f（x）=，则令，得x=e列表如下：xe(e，+) +0f（x）极大值因为，所以取，当k=1，2，3，4，5时，即，经检验知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在因

15、此所求m的最大值小于6综上，所求m的最大值为512（2014广东）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足（）求的值；（）求数列的通项公式；（）证明：对一切正整数，有【解析】（），所以（）（）当时， 13（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”（1）已知等比数列an满足：，求证：数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足：，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有成立，求m的最大值【解析】（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0由，得，解得因此数列为“M数列”（2）因为，所以由，得，则

16、由，得，当时，由，得，整理得所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列因此，数列bn的通项公式为bn=n由知，bk=k，因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q0因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有设f（x）=，则令，得x=e列表如下：xe(e，+) +0f（x）极大值因为，所以取，当k=1，2，3，4，5时，即，经检验知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在因此所求m的最大值小于6综上，所求m的最大值为514(2018江苏)设是首项为，公差

17、为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列(1)设，若对均成立，求的取值范围；(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）【解析】(1)由条件知：,因为对=1，2，3，4均成立，即对=1，2，3，4均成立，即11，13，35，79，得因此，的取值范围为(2)由条件知：,若存在，使得(=2，3，+1)成立，即(=2，3，+1)，即当时，满足因为，则，从而，对均成立因此，取=0时，对均成立下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）当时，当时，有，从而因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为设，当时，所以单调递减，从而当时，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为因此，的取值范围为15

18、（2016年四川高考）已知数列的首项为1，为数列的前n项和， ，其中q0， （I）若 成等差数列，求的通项公式；()设双曲线的离心率为，且，证明：【解析】（）由已知， 两式相减得到又由得到，故对所有都成立所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列从而由成等比数列，可得，即，则，由已知,，故 所以（）由（）可知，所以双曲线的离心率 由解得因为，所以于是，故16（2015陕西）设是等比数列，的各项和，其中，（）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且； （）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明【解析】（）则所以在内至少存在一个零点又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点因为是的零点，所以，即，故（）解法一：由题设，设当时, 当时, 若,若,所以在上递增，在上递减，所以，即综上所述，当时, ；当时解法二 由题设，当时, ；当时, 用数学归纳法可以证明当时, 所以成立假设时，不等式成立，即那么，当时，又令，则所以当,在上递减；当,在上递增所以，从而故即，不等式也成立所以，对于一切的整数，都有解法三:由已知，记等差数列为，等比数列为，则，所以,令当时, ,所以当