解答-华南农业大学2013高等代数1期末试卷

1、 . 计算行列式解：行列式特点：每一行的和相等为111x111x1111113. 求向量组111x11x11111x1112. 计算行列式解：行列式特点：每一行的和相等为111x111x1111113. 求向量组111x11x11111x111x111x1111x，c1ci(i2,3, 4)11x111x111x11112 分）1x111x1111r2 r1r3 r1r4 r11000 x15 分）10004x.7 分）1 (2,1,3, 1),2 (3, 1,2,0),3 (1,3,4, 2),4 (4, 3,1,1)解 将向量 按列排 成矩阵A ，并对它作等行变换 化为行 最简形 矩阵 .

2、23141133A1133r1r22314r2 2r1r3 3r1r4 r1324132411021102111331133102105510r2 1 250112r1 r2011205510r3 5r2r4 r200000000011200000000最简形所以 ,R 1,2,所以 ,R 1,2,3,421, 2是所求的一个极大无关组，6 分）且 3=2 1且 3=2 1-2,4=- 1 +2 2 .7 分)注意： “求极大无关组，并将极大无关组以外的向量用极大无关组线性表示”这种题目的解题步骤：将向量按列排成矩阵A，对 A 作等行变换化为行最简形矩阵，再根据最简形矩 TOC o 1-5 h

3、 z x1 x2 kx31,讨论 k 取何值时，线性方程组x1 x2 2x31,2x1 kx2 x3 k有唯一解；(2) 无解； (3) 有无穷多个解，并求出此方程组的通解.解 对增广矩阵作行变换化为阶梯形 .k1r32 r2r3 k1r32 r2r3 211k* 2k2k(k 1)(4 k)k1k2kk110k2 1102(k 1)(k 1)2 分)(1)(2)(3)k 1 时，R(A) R(A) 2 3 n, 方程组有无穷多个解.5 分)(1)(2)(3)k 1 时，R(A) R(A) 2 3 n, 方程组有无穷多个解.5 分)此时1232 0 x11最简型 ，得一般解x232 x3x3

4、x312 x3( x3 为自由未知量)，令x3k,得通解为x1x2xx1x2x31 0k 012122k 为任意常数.7 分）注意： 此题和 12 年四（3） ， 11 年四（ 3）为同类型题。13年和 11 年答案是同一种做法；12年是一种做法。作非退化线性替换X CY 化实二次型f (x1, x2, x3 ) x12 x22 4x2x3为规范形 .解 二次型的矩阵为A(1)分r3 +2r2c3+2c21r32312C00 对角矩阵c3+2c21C 2作非退化线性变换X CY，得所求实二次型的规范形为f ( x1 , x2 , x3 ) 201126 分）可逆矩阵C22y1- y2 +. y

5、37分）说明：化二次型为规范形的方法：A 作相同的 行 ,列 变换， E 作相同的 列变换 ，当 A 化为对角元为“ 1， -1”的对角阵时，E 化为 “ C” . TOC o 1-5 h z 五、证明题（本大题共4 小题，共25 分）（ 本小题 7 分） 证明： n 维向量组1, 2, n线性无关的充要条件是任一n维向量都可由1, 2 , n 线性表出.证 明 必 要 性 . 设1, 2, , n 线 性 无 关 ， 对 任 一 n 维 向 量 ， 因 为2, n, 是 n 1 个 n 维向量，必线性相关，而1, 2, n 是线性无关的，故可由 1, 2, n线性表出.（ 4分）充分性 .

6、设任一 n 维向量都可由1, 2, , n 线性表出，则单位向量组装2, n 可由 1, 2, n 线性表出，又1, 2, n 可由 1, 2, n线性表出，所以向量组1, 2, n与向量组1, 2, n 等价， 故有相同的订秩 n ，即1, 2, , n 线性无关.（ 7 分）（本小题6分）设 A是 n级方阵且A 0，证明：存在一个非零矩阵B 使得AB O .证明： 由 A 0知，齐次线性方程组AX 0有非零解1，（ 2 分）线 TOC o 1-5 h z 作 B （ 1, 2, , n） , 其中 2, n均为零向量, 则 B 0，（ 4分）于是AB A（ 1, 2, , n） （ A 1

7、, A 2, , A n） =（0, 0, , 0） O （ 6分）（本小题6分）设 A是 n 级方阵且A 0， B是 n m矩阵，证明 : R AB R B .证明 因为 R AB R B ，（ 2分）又由 A 0知，方阵A可逆. 所以B A 1AB=A 1 AB ，从而 R（B） RA 1 AB R（AB），综合可知R AB R B .另法证明：由 A 0知，方阵A可逆，再由课本180页定理4R A B R B （与可逆矩阵相乘不改变矩阵的秩）A1 OB1 O（本小题6分）设 A 1, B 1. 证明： 如果A1 与 B1 合同，A2与O A2O B2B2合同，则A与 B合同 .证明 由于A1 与 B1合同，A2与 B2合同，存在可逆阵C1,C2 使得B1CT1AC1,1B 2CTA2C ，22分）C1令C 1OOC2C 可逆，且3分）CTACC1O T A1OC1OC2 OA2OOC2C1T