高考数学疑点难点精讲E

1、难点25圆锥曲线综合题圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的 定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线 知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联 系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力， 要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过 程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.难点磁场()若椭圆4+=13/0)与直线/： x+y=l在第一象 限内有两个不同的交点，求所满足的条件，并画出点P(a,b) 的存在区域.案例探究例1 已知圆攵过定点A(q,0)(q0),圆心k在抛物线C：y2=2ax 上运动，MN为圆攵在y

2、轴上截得的弦.(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？(2)当IOAI是IOM与IONI的等差中项时，抛物线C的准线与圆k 有怎样的位置关系？命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵 活处理问题的能力，属 级题目.知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式， 一兀二次不等式等知识.错解分析：在判断d与R的关系时，沏的范围是学生容易忽略 的.技巧与方法：对第问，需将目标转化为判断d=%o+3与 R=ylx2+a 的大小.解：设圆心女(Xo,yo),且y(=2ax0,圆上的半径R=L4KI=向4)2 + ,0 = Qx。? + /MN=2 r2 -x02 = 2J. +

3、2 _而2 =2a(定值)弦MN的长不随圆心k的运动而变化.设 M(O,yi)、N(0j2)在圆 k： (xx0)2+(yyo)2=o2+2 中，令 x=O,得 J2yoy+%22=022力乃二必a二1041是IOMI与IONI的等差中项.：.OM+ON=y+y2=2OA=2a.又 IMNI=lyi 为1=2。一 1力用g1二坟1 一乃1乃乃0,因此为2/WO,即2ax0/WO.Oo/.圆心k到抛物线准线距离d=x()+ Wa,而圆k半径=/：+/ .a.且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.22例2如图，已知椭圆二+工=l(2Wm5),过其左焦点且斜 m m-l率为1的直线与椭圆及其准

4、线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D,设角72)=11451-ICDII(1)求八M的解析式；(2)求角h)的最值.命题意图：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系 式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合.属级题目.知识依托：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式， 利用单调性求函数的最值.错解分析：在第（1）问中，要注意验证当时，直线与 椭圆恒有交点.技巧与方法：第（1）问中，若注意到马,孙为一对相反数，则可 迅速将IL43IICQII化简.第问，利用函数的单调性求最值是常用方 法.解：（1）设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为。、b、c,则 a2=m,b2=m - l,

5、c=cTh2=l椭圆的焦点为尸1（-1,0）,尸2（1，。）.故直线的方程为广x+1,又椭圆的准线方程为4土，即x=m. C.*.A（m,m+l）,D（m,m+1）fy = X + 1考虑方程组，工2 V2 ，消去y得：（m1）/+2（%+1）2=2（加一1）+ - = 1I ni m 整理得：（2m1 ）x2+2mx+2mm=0/ =4m-4（2加一l）（2m/）=8川（机一I）2.2Wm0 恒成立，xB+xc=.2m-1又TA、B、C、。都在直线y=x+l上AB=xBXA=y/2=（XB%A） y/2 ,CD= （XqX（j）AB CD=y2xB-x+xDXcl=V2 l（xB+Xc） （

6、Xa+切）1又 .,=.办+切二 TOC o 1-5 h z ：.ABCD=xb+xc V2=l_| 拉=也（275） 1-2m2m故人根）二更况，2,5.2m（2）由人根）二孚，可知角力=当2/712m又 2 - 2 2 - 2m5次M 竽孚故人机）的最大值为半，此时机=2次的最小值为华，此时m=5.例3舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西 30且与8相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物 信号，4秒后从。同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动 物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是 秒咨千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问 舰A发

7、射炮弹的方位角和仰角应是多少？命题意图：考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题 转化成数学问题的能力，属级题目.知识依托：线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的 距离公式，斜抛运动的曲线方程.错解分析：答好本题，除要准确地把握好点P的位置（既在线 段5c的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上），还应对 方位角的概念掌握清楚.技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成 解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时 间差来建立方程.解：取A3所在直线为x轴，以43的中点为原点，建立如图 所示的直角坐标系.由题意可知，4、B、。舰的坐标为(3, 0)、(

8、一3, 0)、(-5, 2V3).由于8、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P,则IP8=IPCI. 于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为3)，+76=0.又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知IP8I I附1=4, 故知尸在双曲线二-q=1的右支上.45直线与双曲线的交点为(8, 56)，此即为动物P的位置，利用 两点间距离公式，可得1必1=10.据已知两点的斜率公式，得所以直线以的倾斜角为60 。，于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30 .设发射炮弹的仰角是，初速度v0=则&* =V 3g v0-cosffAsin2 8=萼=立,.仰角夕=30 . %2锦囊妙计解决圆锥曲线综

9、合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定 义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规 律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的 不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数 的目标函数，转化为函数的值域.(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和 结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题 目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函 数，再求这个函数的最值.歼灭难点训练一、选择题 TOC o 1-5 h z ()已知A、B、C三点在曲线产五上，

10、其横坐标依次 为1, m,4(l0,则(-v)?+(4二V 的最小值为()A.4B.2C.8D,2V2二、填空题.(*)A是椭圆长轴的一个端点，。是椭圆的中心，若 椭圆上存在一点P，使则椭圆离心率的范围是.()一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过抛物线形隧道, 拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为。米，则能使卡车通过 的a的最小整数值是.(*)已知抛物线产小一1上一定点5(1, 0)和两个 动点尸、Q,当尸在抛物线上运动时，BP_LPQ,则Q点的横坐标 的取值范围是.三、解答题.(*)已知直线 广攵九一1与双曲线f二1的左支交 于4、B两点,若另一条直线/经过点尸(-2, 0)及线段45的中点

11、 Q,求直线/在y轴上的截距b的取值范围.()已知抛物线 C： y2=4x.(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线I 分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；(2)若M(m,0)是x轴上的一定点，Q是所求轨迹上任一点， 试问IMQ有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.(*)如图，越昆为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OOL45, 0为线段0。LL 的中点，已知1451=4,曲线。过。点，动点尸在曲线C上运动且保 持IM+IPBI的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线。的方程；(2)过D点的直线/与曲线C相交于不同的两点M、N,且“在 D

12、、N之间，设也二求人的取值范围. DN学法指导怎样学好圆锥曲线圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手 段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家 笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始.高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有. 为此需要我们做到：.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥 曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命 题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系 数法、相关点法、参数法等.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高 考的热点.这类问

13、题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、 线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想 和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数 学各种能力的考查.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、 简化解题过程.(1)方程思想解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因 此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理， 就简化解题运算量.(2)用好函数思想方法对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联 系、相互制约的量，从而使一些线的长度及。力,c,e之间构成函数关 系，函数思想在处理这类问题时就很有效.(3)掌握坐标法坐

14、标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了 坐标法，因此要加强坐标法的训练.参考答案难点磁场y = l解：由方程组，/ y2消去招整理得(L+mf Z/x+ai 一b2)=0则椭圆与直线/在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是 方程在区间(0, 1)内有两相异实根，令“rAlL+Z/bf24入+/(1 一房),则有 =4- - 42储 +2)(1 一 2)0/(0) = a2(l-b2)0#1,f() = b2 -a2 +a2(-b2)020 10b0a2+b2a b0同时满足上述四个条件的点尸3力)的存在区域为下图所示的阴 影部分:歼灭难点训练一、1.解析：由题意知 A(l, 1

15、), B(m,V),C(4,2).直线4C所在方程为X3y+2=0,点B到该直线的距离为d=四半卫.VioSMBC =-AB-d=-xy/Wx1，n3E + 2-m-3y + 2=-(y -)2MBC 22Vio 2224加(1,4),当面=|时，Sy.有最大值,此时加二?答案：B2.解析：考虑式子的几何意义，转化为求圆，+9=2上的点与 双曲线外=9上的点的距离的最小值.答案：C22二、3.解析：设椭圆方程为彳+2=1(力0),以0A为直径的 a b圆：f。%+/=0,两式联立消 yx ax+b2=0.BP e2x2-ax+b2=O,a该方程有一解如一解为。，由韦达定理%2=4-a,0 x2

16、a,即0 4 ee e.2答案:JLeo故有再+X2=0- -k2解得一五k2 + g或b ,2=x l(x 1).(2)设。(羽y),则MQ=-m)2 + y2 = yl(x-m)2 +x-lx -(m- )2 +m -(x 1)(i)当小一即机|时，函数仁x(加g)2+m ：在(1 , +8)上递增，故才无最小值，亦即IMQI无最小值.(ii)当机一；1,即机1时，函数上f (加一：)2+/或一(在一；处有最小值机一3,. IMQImin=.8.解：(1)以A3、OD所在直线分别为X轴、y轴，O为原点、, 建立平面直角坐标系，V PA+PB=QA+QB=242=245AB=4.二曲线。为以

17、原点为中心，A、8为焦点的椭圆.设其长半轴为。，短半轴为。，半焦距为c,则2。=2石，a=y/5 ,c=2,b=l.曲线。的方程为1+=1.(2)设直线/的方程为y=kx+2,代入+/= 1,得(1 +5炉 *+20 履 +15=0./=(2(R)2-4X 15(1+5的0,得炉3 .由图可知也=工=A5DN x2由韦达定理得20kXi 由韦达定理得20kXi + X7 =T1 + 5小15X 工2 =5-1 + 522将尤尸代入得(1 +(1 +九)勺400小(1 + 51)2151 + 51两式相除得? = 1两式相除得? = 1801 W，,5 +型，即4 1X AM=FN,求证：MN平

18、面命题意图：本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与 性质，以及一些平面几何的知识，属*级题目.知识依托：解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面 外的一条直线平行，即线（内）线（外）n线（外）面.或转化为证两个平面 平行.错解分析：证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行, 正确的找出MN所在平面是一个关键.技巧与方法：证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转 化思想，通过证面面平行来证线面平行.证法一：作NQ1BE, P、Q 为垂足，贝ljNQ/AB.：.MP/NQ,又 AM=NF, AC=BF,:MC=NB, /MCP=/NBQ=45：.RtAMCP m RtANBQ故四

19、边形MPQN为平行四边形：.MN/PQPQu平面5CE, MN在平面5CE外，.A/N平面 BCE.证法二：如图过M作MH_LA8于“，则 AM AH =AC AB连结NH,由8AAe FN=AM,得到=丝BF AB：.NIJ /i AE / BE, MH / IH -由；斯平面MNH犷平而iX：E，.MN平面BCE.例2在斜三棱柱A.B.C-ABC中，底面是厂初方等腰三角形，45=AC,侧面3与GCJ_底面45c./(1)若。是BC的中点，求证：AZ)_LCG； c、VK、(2)过侧面BB.CC的对角线BCX的平面交侧棱于M,若4M=MAi，求证：截面侧面3SGC；O)AM=MAl是截面“3

20、。1_1_平面BBCiC的充要条件吗？请你 叙述判断理由.命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质， 属级题目.知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质.错解分析：(3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件 的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙 作辅助线.(1)证明：AB=AC,。是 3c 的中点，：.AD1BC底面 A3C_L平面 BBCC,.A。J_侧面 BBCCAADlCCi.(2)证明：延长5A与5M交于M 连结GN，：AM=MAl, ：.NAi=ABYA 向=4G，：.AC=AN=AB：.CN.

21、LClB底面 NBC|_L侧面 BB|CiC,，GN_L侧面 BBC.截面 GNBJj则面 BBiGC二.截面M5G_L侧面GC.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过用作MELBCX于E,截面M3G JJ则面BBC则面 BBCC,又/AZ)，侧面 BBCC.：.ME/AD, ：.M. E、D、A 共面侧面 551GC，-AM/DEV CCXLAM, ：.DE/CCX是的中点，是5G的中点：.AM=DE=cc=AA, ：.AM=MA.锦囊妙计垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关 系：1 .平行转化线线平行一线面平行 a 丽平行 r 2.垂直转化线线垂直二

22、三线面垂直台面面垂直每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一 垂直或平行最终达到目的.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内 作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.歼灭难点训练一、选择题）在长方体ABCDABiCD中，底面是边长为2 的正方形，高为4,则点4到截面的距离是（）A fB.。C4D.33834.（*）在直二面角a一I中，直线au a，直线bu 8,a、 b与/斜交，贝l（）A.a不和力垂直，但可能abB.”可能和b垂直，也可能a bC.a不和b垂直，a也不和b平行 D.a不和b平行，但 可能ab二、填空题.（*）设X、八Z是空间不同

23、的直线或平面，对下面 四种情形，使“乂,工且y_LZ=X为真命题的是（填序号）.x、y. z是直线 x、丫是直线，z是平面 z是直线， x、丫是平面x、八z是平面.（）设a,b是异面直线，下列命题正确的是.过不在a、b上的一点P 一定可以作一条直线和a、b都相交过不在。、人上的一点尸一定可以作一个平面和a、b都垂直过a一定可以作一个平面与b垂直过a一定可以作一个平面与b平行三、解答题5.(*m如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形, 侧棱以垂直于底面，E、尸分别是45、尸C的中点.求证：CDPD;(2)求证：石尸平面 山。；(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线E5_L平面

24、PCD?B6.(*幻如图，在正三棱锥A8C。中，N54C=30 ,AB=a, 平行于AO、8C的截面E/GH分别交AB、BD、DC、C4于点E、F、G、H.(1)判定四边形ErGH的形状，并说明理由.(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC_L平面EFGH,请给出证明.7.()如图，正三棱柱A5CA由iG的各棱长都相等,O、 E分别是CG和AS的中点，点尸在5C上且满足： 3.若M为A5中点，求证：551平面/加；(2)求证：EF1BC；(3)求二面角ABiDCi的大小.汝口图，已知平行六面体ABC。一A向CQ的底面是菱形且NGC3二ZCCD=ZBCD=60 ,证明：CiClBD；

25、假定CD=2, CC,=|,记面CXBD为面CBD为，求二面 角。一3。一的平面角的余弦值；当段的值为多少时，可使4。_1面。归。? c L I参考答案难点磁场1.(1)证明：A=6iCi，5是的中点，S)iL4同于 Di，又.平面Ap453|_L平面A向C, .。1。平面4百氏4,而45|u平面44B&,(2)证明：连结 DQ, ,。是 A5 中点,:.DDCC, :.CD /CD,由(1)得 COJLAS，又CNi_L平面A1A381，CXBLAB,由 三垂线定理得BDLABX,又.AO)i3, .A3_LAQ 而二.在以，平面 AXCD.(3)解：由(2)4&J_平面ACO于0,连结。0

26、|得/AC0为直线 AC 与平面 AC。所成的角，：ABi=3, AC=AlCl=2, .A0=l, sinOCAi，AC 2 NOCAT.6歼灭难点训练一、1.解析：如图，设 AiGGBQ尸Oi，B。 J_A4，与。平面AAQi，故平面4AQ|_LA5Qi，交线为A。1,在面44。1内过4作4HJ_A0于H,则易知AH长即是点4到平面ABiD的距离，在RtAAiA中，A。产及，40尸3人,由A0 AA=h AO,可得 AH=.答案：C2.解析：如图，在/上任取一点P,过P分别在。、月内作。 /a,b 在加上任取一点A,过A作AC_L/,垂足为C,则 AC_L ，过。作C8JL/交b于B,连4

27、8,由三垂线定理知A5 l.b,AAPB为直角三角形，故/APB为锐角.答案：C二、3.解析：是假命题，直线X、K Z位于正方体的三条共 点棱时为反例，是真命题，是假命题，平面X、八Z位于正 方体的三个共点侧面时为反例.答案：4.三、5.证明：（I”;外，底面43C。，AZ）是尸。在平面A5CZ） 内的射影，YCDu平面 45CZ)且 CZ)J_4O, ：.CDA_PD.(2)取 CO 中点 G,连 EG、FG,:E、尸分别是 43、PC 的中点，：.EG/AD, FG/PD二平面平面 山。，故石尸平面以O(3)解：当平面尸CO与平面43co成45角时，直线石方上面 PCD证明：G为C。中点，

28、贝ijG_LCQ,由(1)知尸G_LCO,故/EG/ 为平面PCD与平面45C。所成二面角的平面角.即/EGb=45 ,从 而得 NA。尸=45 , AD=AP由 RtAMRtACB,f# PE=CE又尸是PC的中点，：.EFPC,由CD1EG, CDFG,得 。_1_平面片/6, CZ)_LEF即EbJ_C。，故平面尸CD.证明：AD面 EFGH)面 ACDC1 面 EFGH-HG 1=ADZ7 H(；A DU 而 A CD同理石尸尸G,.GH是平行四边形：ABCD是正三棱锥，在底面上的射影0是ABCD的中 心，：.D01BC, J.ADLBC,J.HGLEH,四边形EFG”是矩形.(2)作

29、 CP_L4。于尸点，连结 5P, ：AD1BC, /.AD BCPG 4。，G J_ 面 5CP, Gu 面 EFGH.面 BCP _L 面 EFGH, 在 RtaAPC 中，ZCAP=30 , AC=a,：.AP=-a.(1)证明：连结EM、MF, E分别是正三棱柱的棱AB 和AB,的中点，：.BBX/ME,又 551tz平面 7的，.3&平面(2)证明：取3C的中点M 连结4N由正三棱柱得：ANLBC, 又 BF ： FC=1 ： 3,是 5N 的中点，WMFAN, J.MFLBC,而 5C_L55” BBJ/ME.：.MELBC,由于，BC_L平面 E尸M,又EF 平面石尸M, ：.B

30、CLEF.(3)解：取SG的中点O,连结A|O知，401_面3。向，由 点O作BD的垂线OQ,垂足为Q,连结4Q,由三垂线定理，4。 B1D,故N4QO为二面角ABXDC的平面角，易得N AI QO=arctan 岳.(1)证明：连结4G、AC, AC和30交于点O,连结GO,四边形43co 是菱形，BC=CD又,： /BCCk/DCCi，GC 是公共边，.C1BCACC, ：.CB=CD:DO=OB, ：.COLBD, flAClBD, ACHCO=O.5O_L平面 AG，又 GCu平面 AC” .CC1BD.(2)解：由(1)知 ACJ_3Z), COLBD,.NGOC 是二面角。3。一的

31、平面角.在GBC 中，BC=2, GC=3 N8CG=60 , AC+Cj)2 -2X2X2Xcos60 二史.24VZOCB=30 ,.OB=l,BC=l,CiO=,gp CXO=CXC.作C1HOC,垂足为H,则H是OC中点且0”=日， COSCQC=叵(3)解：由(1)知 3O_L平面 AG，AQu平面4G，当*=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证8G_LAC，又*；BDCBCi=B,，AC_L平面 G8D难点27求空间的角空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面 角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化 归的数学思想.难点磁场()如图，H为6

32、0。的二面角，等腰直角三角 形MPN的直角顶点尸在/上，Me a,NW尸,且MP与所成的角 等于NP与。所成的角.(1)求证：MN分别与所成角相等；(2)求；与所成角.案例探究例1在棱长为a的正方体A5CDA B C D中，E、 厂分别是3C、A D的中点.(1)求证：四边形尸是菱形；(2)求直线A。与OE所成的角；(3)求直线AO与平面夕EO尸所成的角；(4)求面夕EO尸与面A8CD所成的角.命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角 的一般求法，综合性较强，属级题目.知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作 二面角的平面角.错解分析：对于第(1)问，若仅由E=ED

33、=DF=FB就断定8 ED尸是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须 证明夕、E、D、歹四点共面.技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所 成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.证明：如上图所示，由勾股定理，得夕E=ED=DF=FB=存, 下证、E、D、尸四点共面，取AO中点G,连结A G、EG, 由B知，B EGA是平行四边形.：.B E/A G,又4 F &DG,：A GOE 为平行四边形.A G/FD,二次、E、D、歹四点共面故四边形夕EDF是麦形.(2)解：如图所示，在平面45C。内，过C作。尸OE,交直 线AZ)于P,则NA CP(或补角)为异

34、面直线A。与DE所成的角.在CP 中，易得A，C=4ia, CP=DE=-aA P=a 22由余弦定理得cosA。尸噜故A。与OE所成角为arccos噜.(3)解：乙4。氏：乙4。尸,4。在平面夕尸内的射影在NED尸的平分线上.如下图所示.又二次EDF为菱形,DB为N。厂的平分线，故直线与平面夕石。尸所成的角为夕在 RtZW AZ)中，AD=/2a, AB =G.a,B D=4ia则cosAO夕二23故A。与平面夕EZm所成的角是arccos4.(4)解：如图，连结石尸、B D,交于。点,显然。为夕。的 中点，从而0为正方形45C。一A B C。的中心.作OH_L平面A8CO,则为正方形ABC

35、。的中心， 再作垂足为M,连结OM,则OM_LOE,故NOMH为二面角夕 DE f 的平面角.在 Rt2Z)O石中，OE=a,OD=-a,i!l DE=-a, 222则由面积关系得0g嗡 =噜。在中，sinOMH= =我OM 6故面夕。厂与面45C。所成的角为arcsin叵. 6例2如下图，已知平行六面体48C。-Ai&GOi中，底面 ABCD是边长为a的正方形，侧棱AAi长为仇且AA与AB. AD的 夹角都是120 .求：(IMG的长；(2)直线BDi与AC所成的角的余弦值.命题意图：本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题，属 级题目.知识依托：向量的加、减及向量的数量积.错解分析：注意画

36、，获 =120而不是60 ,=90 .技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.W：(1)1 AC, l2= AC, AC =(AA+AC)(AA1+AC) =(AAi+AB + AD)(AAi+AB + AD)=AAt2 + AB I2 + AD 2 +2AAl AB + 2AAi AD + 2AB AD由已知得:l丽|2 = /,|诟|2=|而|2=。2=20,= 90AA , AB - h a cos 120 = -ab,AA1 - AD - b a cos 120 = -ab,AB - AD = 0,.-.I 记=2/ + . -2ab,：. AG 1= l2a2 +b2 -

37、2ab.(2)依题意得,I AC 1= 42a, AC =布+而BD = AD + BA = AA| + AD AB记函=(施+而)(布+而-丽=AB - A4 + AD - A4 + AB AO + AD2 - AB2 -AB-AD- -ahI西/=丽.西=(丽+而砺)(丽+诟Q)=1 福 F +|a。I2 +IA5 I2 +2 丽丽-2鼐丽-2丽而= 2/+/.-.I 西 1= yj2a2+b2cos=cos=BO| AC-b与4C所成角的余弦值为/ b .J4a 2+ 2/锦囊妙计空间角的计算步骤：一作、二证、三算.异面直线所成的角范围：0 PN不合理，舍去.5也，二,一知与所成角为30

38、。.歼灭难点训练一、1.解析：（特殊位置法）将尸点取为4，作OEL4。于E, 连结A4,则AE为04的射影，又：.AMOA,即 AM与O尸成90角.答案：D2.解析：作40_LC3的延长线，连0。，则0。即为AZ）在平面 5co上的射影，-AO=OD=-a,. ZADO=45 .2答案：B二、3.解析：在OC上取一点C,使。C=l,过C分别作C4_L 0C 交。4 于 A, CB_LOC 交 OB 于 B,则 AC=1, OA=收，BC=6,05=2, RtZS403 中，AB2=6, ABC 中，由余弦定理，得 cosAC3= _V3答案：4.解析：设一个侧面面积为S1，底面面积为S,则这个

39、侧面在 底面上射影的面积为？，由题设得U，设侧面与底面所成二面角 JJ J15为。，贝Ijcos e=J = L,：.夕=60 .S, 35 2答案：60三、5.(1)解：因为以_1 平面 AC, AB BC, ：. PB BC, BP ZPBC=90，由勾股定理得PB=4pa2+aba.PC= y/PB2+PC2 = V6 .(2)解：如图，过点。作CE3。交AO的延长线于E,连结PE,则尸。与8。所成的角为NPC石或它的补角.CE=BD V2,且 PE= Ipa2 + ae2 = V10由余弦定理得cgsPCE=pcCE二PE；旦 2PCCE 6PC与5。所成角的余弦值为与.6(3)证明：

40、设尸8、PC中点分别为G、F,连结/G、AG、DF,贝U G尸8CAO, Iae2 + ef2 V2T 广tan ADF = = ZADF = arctan DF DF 33即AD与BC所成的角为arctan容(3)解：VAElffi BCD,过后作EG_L8。于G,连结AG,由 三垂线定理知AG_LBO,AAGE为二面角ABDC的平面角V ZEBG=30 , BE=m,：.EG=m 24又 AE二旦 m, .，.tanAGE=2, ZAGE=arctan2. 2GE即二面角ABDC的大小为arctan2.(1)证明：连结 O”，*：C H_L平面 AB。，：,ZC DH 为 CO与平面45。

41、所成的角且平面C A_L平面45。，过。作。石 LAB,垂足为E,贝1。石_1_平面C HA.故NQC E为C。与平面C 4所成的角VsinDC7 E=W 四二sinDC H CD CD：.ADC EW/DC H,：.ADC E+ZC DEW/DC H+ZC DE=90(2)解：作HGJ_AO,垂足为G,连结C G,则C GLAD,故NC GH是二面角C 一4。一”的平面角 即 NU GH=60 ,计算得 tan54)=变.难点28求空间距离空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点 到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距 离.难点磁场()如图，已知45。是矩形

42、，45=。,4。二4以，平面 ABCD, PA=2c,Q 是 PA 的中点.求：。到BO的距离；Q）P到平面BQD的距离.案例探究例1把正方形45co沿对角线4c折起成直二面角，点以 方分别是A。、5c的中点，点O是原正方形的中心，求：（1）石尸的长；（2）折起后/石。尸的大小.轴、z轴两两互相垂直.技巧与方法：建系方式有多种，其中以0点为原点，以无、无、 历的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向最为简单.解：如图，以。点为原点建立空间直角坐标系0一%”,设正方 形ABCD边长为q,则A（0, 一日氏0）（亚氏0,0）,。（0,辛氏0）,。（0,0, 当 a）,E（O,一今a, a）,F（当 a

43、,枭0） TOC o 1-5 h z - a /V22 z V2V22 V22 3百(1) IEF r = ( a 0) + ( a H a) + (0 a) =EF = a444442*V2 2 ,y/2(2)OE = (0-a,a),OF = (a,ti,0)4444OE OF = 0 x a + ( ci)(- 6/)4- tz , 0 =44448OE h 而 1=cos=匹 百一= 22OEOF 2 ZEOF=120例2正方体A5CQ4丛。1。1的棱长为1,求异面直线AC1 与AS间的距离.命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属* 级题目.知识依托：求异面直线的距离，可求两异

44、面直线的公垂线，或 转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.错解分析：本题容易错误认为08是AC与AB1的距离，这主 要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂 直相交的直线上垂足间的距离.技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线, 故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.解法一：如图，连结AG，在正方体AG中，AiGAC, AiG平面ABC，.AiG与平面A&C间的距离等于异面直线AiG 与间的距离.连结 BQi、BD,设 BRn41G=0,8OCAC=OVAC1BD, ACVDD, C_L平面即。平面ABC_L平面BBQQ,连结Bx

45、0,则平面ASCG平面BB D D=B i O作。iG_L8Q 于 G,则 0G_L平面 ABCOiG为直线4G与平面ABC间的距离，即为异面直线AC1 与AS间的距离.在 RCOO同中，.,。向邛，。尸1,；OBi=So：+OiB：= .,.OiG二笔普咚 即异面直线41G与A5间距离为当.解法二：如图，在AC上任取一点M,作MNL4与于M 作 MRL415于 R,连结 RN,平面4向。1。1，平面A1AB81，.MR_L平面A1A8B1，MR1ABX：ABRN,设 4R=x，则/?8尸1一工VZC1Aii=ZAB01=45 ,MR=x,RN=NB 尸立(1 - x);MN = Hmr2 +

46、RN。= Jx2 + g(l _x)2 = Jg(x g)2 + ； (0Xy(a2 +b2)c2 +a2b2歼灭难点训练一、1.解析：过点M作JLE则MM，平面BCTZMBE=ZMBC:BM为NE3C为角平分线，A ZEBM =45 ,BM =&，从而 MN二字答案：A2.解析：交线/过5与AC平行，作CZ)_L/于。，连CQ,则 CjD为AiG与I的距离，而CD等于AC上的高，即丝,RtzGCO 中易求得。1。=葭=2.6答案：C二、3.解析：以A、B、。、。为顶点的四边形为空间四边形， 且为正四面体，取P、Q分别为A3、CO的中点，因为AQ=5Q二a, .尸。1_4民同理可得尸。_1。，

47、故线段PQ的 长为P、Q两点间的最短距离，在Rt APQ中， 耍衍前=停飞7亭答案：a4.解析：显然NE4O是二面角EABC的平面角，ZMD=30 ，过/作/G_L平面ABC。于G,则G必在4。上，由石尸平面 ABCD.二. FG为EF与平面ABCD的距离，即FG=.2答案：彳 2三、5.证明:由于8cl 皿,则5cl 平面4C5同理，48平面ACOi，则平面Ai5G平面ACQ(2)解：设两平行平面ABC与AC。间的距离为d,则d等于 Dr到平面ABCX的距离.易求4G=5, Ad=2有，Bg=A ,则 cosAIG=嚏，则sinA/G=粤，则S一二百,由于“加=%常自，则 765765|SM

48、1BC, d=ADC-55,代入求得仁萼，即两平行平面间的距 离为12a/T61(3)解:由于线段SA被平面43G所平分，则一、5到平面AlBCl的距离相等，则由(2)知点Bi到平面AG的距离等于坦画.61.解：(1)连结。5交AC于0,连结E0,底面A3co是正方形：.DOAC,又七。_1_面45。J.E0LAC,即NEOO=45又 DO二旦a, AC=/2a, EO D0 -a :. S4eac=&a 2cos4502(2)：44_底面43。，：.AAAC,又AA_LA5AA0是异面直线A11与AC间的公垂线又 EO/BDlf。为 50 中点，:DB=2EO=2a*.DD- V2ci, :

49、.与 4C 距离为近(3)连结与。交于P,交E0于Q,推证出5Q_L面E4cSQ是三棱锥与一E4C的高，得eQ二|qb-咨d=&beac 3 224.解：(DgJLAR CCiAiF, BB/CCX.33i，平面4片产即面/_1_面531cle在 RtAA,Bi 中，V ZAjBiE=45 , ABl=a：.AlE=a,A1F=a,EF=a, ：,AiE吟a同理Ai/二#a,又E/二。二.E4/为等腰直角三角形，NE4|A90过4作AiNJLER 则N为石尸中点，且A|N_L平面5CGS即AN为点儿到平面BCCIi的距离1心 2 2又AAi面BCCXB, A到平面BCCiBi的距离为葭，a=2

50、,，所求距离为2(2)设3C、51G的中点分别为。、D,连结A。、和AQi，则。1必过点N,易证为平行四边形.&CJOiGL4|N.5。1_1平面4。415C_L平面4。自1得平面A5CJ_平面4。自1，过 4 作AM_L平面43C,交,AD 于M,若4|M=AiM 又/Ap4M=NAZ)iN, /4AM产NAWA =90/. 4肪4八4百。|,.44=4。|=回即当44尸当时满足条件.8.解：(l)：3CAO,3Cu面 PBC,：.AD/ PBC从而AD与PC间的距离就是直线4。与平面尸3。间的距离.过 A 作 AE_LP3,又 AE_L3CAEJ_平面尸5C, AE为所求.在等腰直角三角形

51、布5中，PA=AB=a：.AE=a2(2)作 CM/AB,由已知 cosAC=|V5.,.taiL4)C=i,BP CM=DM二.4BCM 为正方形，AC=4ia,PC=6a过A作AH_LPC,在Rt以。中，得A二逅下面在上找一点凡 使PC_LC/取中点忆 ACM、/CM均为等腰直角三角形A ZACM+ZFCM=450 +45 =90.bC_L4C,即FC1PC：,AD上存在满足条件的点F.学法指导立体几何中的策略思想及方法立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和 空间想象能力的培养.题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有 发挥能力的余地.大题综合性强

52、，有几何组合体中深层次考查空间的 线面关系.因此，高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基 础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学 思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何问题 的有效的策略思想及方法.一、领悟解题的基本策略思想高考改革稳中有变.运用基本数学思想如转化，类比，函数观点 仍是考查中心，选择好典型例题，在基本数学思想指导下，归纳一 套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运 用，逐步内化为自己的经验，解决一般基本数学问题就会自然流畅.二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能 显露地“立”

53、起来.在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特 殊的辅助平面即基面.这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通 过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了.三、重视模型在解题中的应用学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、 线、面的关系，从而培养空间想象能力.而数学问题中许多图形和数 量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系.它引导我们以模型为依 据，找出起关键作用的一些关系或数量，对比数学问题中题设条件, 突出特性，设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、 形象的、直观的模型，利用其特征规律获取优解.难点29排歹1）、组合的应用问题排列、组合是每年高考必定考

54、查的内容之一，纵观全国高考数 学题，每年都有12道排列组合题，考查排列组合的基础知识、 思维能力.难点磁场（）有五张卡片，它们的正、反面分别写。与1, 2与 3, 4与5, 6与7, 8与9,将其中任意三张并排放在一起组成三位 数，共可组成多少个不同的三位数？案例探究例1 在ZAOB的0A边上取m个点，在OB边上取n个点（均 除。点外），连同。点共计+1个点，现任取其中三个点为顶点作 三角形，可作的三角形有（）命题意图：考查组合的概念及加法原理，属级题目.知识依托：法一分成三类方法；法二，间接法，去掉三点共线 的组合.错解分析：a中含有构不成三角形的组合，如：中，包 括0、Bi、鸟;C3a中，

55、包含0、Ap、M 其中4，、Aq,Bi、鸟分别 表示。4、0B边上不同于0的点；B漏掉AQB； D有重复的三 角形.如C C3中有AQ6c3c中也有AQB八技巧与方法：分类讨论思想及间接法.解法一：第一类办法：从04边上（不包括0）中任取一点与从 边上（不包括。）中任取两点，可构造一个三角形，有CLQ个； 第二类办法：从0A边上（不包括0）中任取两点与0B边上（不包括 0）中任取一点，与。点可构造一个三角形，有C：,C：个；第三类办 法：从04边上（不包括0）任取一点与0B边上（不包括O）中任取一 点，与0点可构造一个三角形，有C：,C：个.由加法原理共有 2V=C；C；+C；C, +C 个三

56、角形.解法二：从加+九+1中任取三点共有个，其中三点均在射 线04（包括0点），有C3个，三点均在射线。5（包括0点），有C3 个.所以，个数为C3C3个.答案：c例2四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名, 则不同的保送方案的总数是.命题意图：本题主要考查排列、组合、乘法原理概念，以及灵 活应用上述概念处理数学问题的能力，属*级题目.知识依托：排列、组合、乘法原理的概念.错解分析：根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生，常采 用先安排每学校一人，而后将剩的一人送到一所学校，故有3A：种. 忽略此种办法是：将同在一所学校的两名学生按进入学校的前后顺 序，分为两种方案，而实际题目中对进入

57、同一所学校的两名学生是 无顺序要求的.技巧与方法：解法一，采用处理分堆问题的方法.解法二，分两 次安排优等生，但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的.解法一：分两步：先将四名优等生分成2, 1, 1三组，共有 C；种；而后，对三组学生安排三所学校，即进行全排列，有A?3种. 依乘法原理，共有N=C： a； =36（种）.解法二：分两步：从每个学校至少有一名学生，每人进一所学 校，共有A；种；而后，再将剩余的一名学生送到三所学校中的一 所学校，有3种.值得注意的是：同在一所学校的两名学生是不考虑 进入的前后顺序的.因此，共有-3=36（种）.答案：36锦囊妙记排列与组合的应用题，是高考常见

58、题型，其中主要考查有附加 条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径：（1）以元素为主， 应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.（2）以位置为主考虑， 即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.（3）先不考虑附加条件, 计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.前两种 方式叫直接解法，后一种方式叫间接解法.在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答.解排列与组合应用题常用的方法有：直接计算法与间接计算 法；分类法与分步法；元

59、素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法 等八种.经常运用的数学思想是：分类讨论思想；转化思想；对称思想.歼灭难点训练一、填空题.()从集合0, 1, 2, 3, 5, 7, 11中任取3个元素分 别作为直线方程Ar+5y+C=0中的A、B、C,所得的经过坐标原点 的直线有 条(用数值表示).(*)圆周上有2n个等分点以其中三个点为 顶点的直角三角形的个数为.二、解答题.(*)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色 的2, 3张为不同花色的4,有5次出牌机会，每次只能出一种点数 的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？.()二次函数产af+bx+c的系数。、b、c,在集合 3, -2, -1

60、, 0, 1, 2, 3, 4中选取3个不同的值，则可确定坐 标原点在抛物线内部的抛物线多少条？5.(*)有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求 不同的排列方法总数.(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置.(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边.(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起.(4)全体排成一行，男、女各不相邻.(5)全体排成一行，男生不能排在一起.(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.(7)排成前后二排，前排3人，后排4人.(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人.(*)20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三 个盒子中，要求每