（理） 第12讲 数列求和及数列应用 教案

1、第 PAGE21 页第十二讲 数列求和及数列应用适用学科数学适用年级高三（理）知识点1.求数列通项公式的方法2.求数列前n项和的方法3.数列的综合问题4.实际问题与数列教学目标1.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题教学重点数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问

2、题的能力，它们都属于中、高档题目.有关命题趋势：1数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点；2数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；3数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等；4有关数列的应用问题也一直备受关注.教学难点数列的综合运用教学过程一、知识讲解考点1数列前n项和Sn与通项an的关系讲解内容：数列前n项和Sn与通项an的关系式：an= .考点2.求通项常用方法讲解

3、内容：构造新数列法.作等差数列与等比数列；累差叠加法.最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1；归纳、猜想法（ 再用数学归纳法证明）.考点3数列前n项和讲解内容：重要公式：1+2+n=n(n+1)；12+22+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2；等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法.用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，

4、如：；=；nn！=(n+1)!n!、；Cn1r1=CnrCn1r；=等.错位相减法来源:对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法., 其中是等差数列， 是等比数列，记，则，并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn.注：数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法.通项分解法：考点4递归数列讲解内容：数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k1,an+k2,an)称为数列的递归关系.由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列.如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列即为递归数列.递归数列的通项的求法一般说来有以下几种

5、：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明.（2）迭代法.（3）代换法.包括代数代换，对数代数，三角代数.（4）构造新数列法.最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题.二、例题精析【例题1】【题干】已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：.【答案】=.【解析】因为，则=.【例题2】【题干】求【答案】见解析【解析】，【例题3】【题干】设a为常数，求数列a，2a2，3a3，nan，的前n项和【答案】Sn=.【解析】若a=0时，Sn=0；若a=1，则Sn=1+2+3+n=；若a1，a0时，Sn-aSn=a（1+a+an-1-nan），Sn=.【例题4】【题干】已知，数列是首项为a，公比也为a

6、的等比数列，令，求数列的前项和【答案】【解析】，-得：，【例题5】【题干】求.【答案】【解析】. 又. 所以.【例题6】【题干】设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：【答案】【解析】因为，【例题7】【题干】已知函数x3+x2，数列 | xn | （xn 0）的第一项x11，以后各项按如下方式取定：曲线y在处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn）两点的直线平行求证：当n时：（ = 1 * ROMAN I）；（ = 2 * ROMAN II）【答案】见解析【解析】（ = 1 * ROMAN I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以.（ = 2 * ROMAN II）因为函

7、数当时单调递增，而所以，即因此又因为令则因为所以因此故【例题8】【题干】已知,其中,设,.( = 1 * ROMAN I) 写出；( = 2 * ROMAN II) 证明:对任意的,恒有.【答案】( = 1 * ROMAN I) ；( = 2 * ROMAN II)见解析【解析】( = 1 * ROMAN I)由已知推得,从而有；( = 2 * ROMAN II) 证法1:当时，当x0时, ,所以在0,1上为增函数.因函数为偶函数所以在1,0上为减函数，所以对任意的，因此结论成立.证法2：当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数.因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的又因所以因

8、此结论成立.证法3：当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数.因为函数为偶函数所以在1,0上为减函数.所以对任意的由对上式两边求导得：因此结论成立.【例题9】【题干】某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？【答案】甲方案更好【解析】甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，甲方案获利：（万元），银行贷款本息：（万元），故甲方案

9、纯利：（万元），乙方案获利：（万元）；银行本息和：（万元）故乙方案纯利：（万元）；综上可知，甲方案更好.【例题10】【题干】自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN*，且x10.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.（）求xn+1与xn的关系式；（）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（）设a2，b1，为保证对任意x1（0,2），都有xn0，nN*，则捕

10、捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.【答案】（I）见解析（II）当且仅当ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变. （）1【解析】（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， nN*，从而由（*）式得：因为x10，所以ab.猜测：当且仅当ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.（）若b的值使得xn0，nN* 由xn+1=xn(3bxn), nN*, 知0 xn3b, nN*, 特别地，有0 x13b. 即0b0.又因为xk+1=xk(2xk)=(xk1)2+111又因为b1=2，所以（2）数列bn是

11、等比数列，故其前n项和：【巩固】求数列1，3，32，3n的各项的和.【答案】(3n13-n).【解析】其和为(133n)()=(3n13-n).设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=（nN*），（）求数列an与数列bn的通项公式；（）设数列bn的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rk4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；（）记cn=b2n-b2n-1（nN*），设数列cn的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n，都有Tn.【答案】（），；（）不存在（）见解析【解析】（）当n=1时，又，即，数列an成等比数列，其首项，公比，；（）不

12、存在正整数k，使得成立；下证：对任意的正整数n，都有成立，由（）知，当n为偶数时，设n=2m（mN*），；当n为奇数时，设n=2m-1（mN*），对于一切的正整数n，都有Rn4k，不存在正整数k，使得成立（）由得，又，当n=1时，；当n2时，.【拔高】1. 在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.（）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.【答案】见解析【解析】（）a1=3，a2=1，a3=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，a10=1.（）证明：根据定义，数列an必在有限项后出现零项.

13、证明如下：假设an中没有零项，由于an=|an-1-an-2|，所以对于任意的n，都有an1,从而 当an-1 an-2时，an = an-1 an-2 an-11（n3）； 当an-1 an-2时，an = an-2 an-1 an-21（n3）,即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1. 令cn=n=1，2，3，则0cncn-11（n=2，3，4）.由于c1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c10（n=1，2，3）矛盾.从而an必有零项.若第一次出现的零项为第n项，记an-1=A（A0），则自第n项开始，没三个相邻的项周期地取值O，A，A，即所以绝对等差数列an中有

14、无穷多个为零的项.课程小结来源:学#科#网1数列求和的常用方法（1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；（2）裂项相消法：适用于其中 是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等；（3）错位相减法：适用于其中 是等差数列，是各项不为0的等比数列.（4）倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.（5）分组求和法（6）累加（乘）法等.2常用结论（1） 1+2+3+.+n = （2）1+3+5+.+(2n-1) = （3） （4） （5） （6）3数学思想（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若，则；（2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方

15、法）若，则；（3）倒序相加（等差数列求和公式的推导方法）；（4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）.课后作业【基础】1数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17()A8 B9 C16 D17【答案】B【解析】S171234(1)17117=-8+17=92. 等比数列an的前n项和为Sn，若a11，且4a1,2a2,a3成等z以差数列，则S4()A7 B8 C15 D16【答案】C【解析】设数列an的公比为q，则4a24a1a3，4a1q4a1a1q2，即q24q40，q2.S4eq f(124,12)15.【巩固】已知数列an的首项为1，对任意的nN*，定义bn=a

16、n+1-an，（）若bn=n+1，求a4；（）若bn+1bn-1=bn（n2），且b1=a，b2=b（ab0），（）当a=1，b=2时，求数列bn的前3n项和；（）当a=1时，求证：数列an中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.【答案】（）；（）（）当n为偶数时，；当n为奇数时，； （）见解析【解析】（）解：，；（）（）解：因为，所以，对任意的nN*有，即数列bn各项的值重复出现，周期为6；又数列bn的前6项分别为，且这六个数的和为7；设数列bn的前n项和为Sn，则当时，；当时，；所以，当n为偶数时，；当n为奇数时，；（）证明：由（）知：对任意的nN*有，又数列bn的前6项分别为，且这六个

17、数的和为，设，（其中i为常数且），所以，所以，数列均为以为公差的等差数列；因为b0时，b0时，所以为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次，所以数列中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次.2. .（1）（2）；（3）设，若对于恒成立，试求实数的取值范围【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】（1）由得，.（2），.（3） =，令，；，又，【拔高】1. 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且其中A,B为常数.（）求A与B的值；（）证明数列an为等差数列；（）证明不等式对任何正整数m、n都成立【答案】（）A=20

18、，B=8（）见解析（）见解析【解析】（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18.由(5n8)Sn+1(5n+2)Sn=An+B知： 解得A=20，B=8.（）方法1由（1）得，（5n-8）Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8, 所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, -,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, 所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.-,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.因为 an+1=Sn+1-Sn来源:ZXXK所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.又因为 (5n+2),所以 an+3-2an+2+an+1=0,即 an+3-an+2=an+2-an+1, .又 a3-a2=a2-a1=5,