数理统计二2010第六章

1、 第四节正态总体的区间估计 （二） 本节讨论两个正态总体的区间估计. 在实际应用中经常会遇到两个正态总体的区间估计问题.例如: 考察一项新技术对提高产品的某项质量指标的作用把实施新技术前产品的质量指标看成一个正态总体 N(1,12),而把实施新技术后产品质量指标看成另一个正态总体N(2,22). 于是,评价此新技术的效果问题,就归结为研究两个正态总体均值之差1-2的问题. 比较甲乙两厂生产某种药物的治疗效果把两个厂的药效分别看成服从正态分布的两个总体N(1,12)和 N(2,22). 于是,评价两厂生产的药物的差异,就归结为研究对应的两个正态总体的均值之差1-2的问题. 下面讨论如何构造两个正

2、态总体均值之差1-2的区间估计. 设X1,X2 , ,Xm是抽自正态总体 X N(1,12)的样本. 它的样本均值,样本方差为:定理 Y1,Y2 , ,Yn是抽自正态总体 Y N(2,22)的样本. 它的样本均值,样本方差为: 则有以下结论:即为S12与S22的加权平均.证明:(1).根据第五章的定理,有:X1,X2 , ,Xm与Y1,Y2 , ,Yn抽自两个不同总体.X1,X2 , ,Xm与Y1,Y2 , ,Yn是独立的. (2).根据第五章定理和12=22 =2,有 12=22 =2,且由前面(1)中的 于是由t分布的定义,就得到: 欲比较甲乙两种棉花品种的优劣. 现假设用它们纺出的棉纱强

3、度分别服从XN(1,2.182)和Y N(2,1.762). 试验者从这两种棉纱中分别抽取样本 X1,X2 ,X200 和 Y1,Y2 ,Y100.其样本均值分别为:例1求: 1-2的置信系数为0.95的区间估计. 解:1-2的置信系数为1- 的区间估计是: 代入1=2.18,2=1.76,m=200,n=100,=0.05查得Z0.025=1.961-2的置信系数为0.95的区间估计是: -0.899,0.019. 某公司利用两条自动化流水线灌 装矿泉水.设这两条流水线所装矿泉水的体积(毫升)分别服从 XN(1,2) 和YN(2,2).现从生产线上分别抽取样本X1,X2 ,X12 和 Y1,

4、Y2 ,Y17.其样本均值样本方差分别为:例2求:1-2的置信系数为0.95的区间估计.解:1-2的置信系数为1- 的区间估计是:m=12,n=17,=0.05 查得t27(0.025)=2.051-2的置信系数为0.95的区间估计是: -0.101,2.901. 说明 基于上述认识,我们考虑这样一个问题应该如何处理. 有时我们面临判定这样一个问题:未知参数是否等于某个值0. 我们该怎么办呢?其实不妨这样来思考. 如果果真等于0的话,在这种情况下: 通常认为小概率事件在一次试验中几乎是不会发生的. 这时如果 那就让我们来做一次抽样,然后把样本值代入,算出 刚才分析了,果真等于0的话,以上小概率

5、事件几乎是不会发生的.但现实是在这次抽样试验中居然发生了.那我们可以认为这是由于0导致的.在这种情况下我们判决0. 而如果现实是 此时，我们判决 比较甲乙两种棉纱的强度是否有差异. 问题可以归结为判决假设: 1=2,即 1-2 = 0 是否成立的问题. 0-0.899,0.019.我们判决如下: 1=2成立.我们说甲乙两种棉纱的强度没有显著差异. 当然这样的判决方案不是不可能犯错误.但是统计上还是公认这种判决方案很好,所以通常都使用它.下一章我们继续讨论.例 1(续)解:第四节 0-1分布参数的区间估计大样本法：在样本容量比较大时，利用极限分布，主要是中心极限定理，建立统计量且其分布与任何未知参数无关，并根据上分位点的定义，找到置信区间。设有一容量n大于50的大样本，它来自0-1分布的总体X，X的分布律为其中，p为未知参数，求p的置信水平为1-的置信区间.已知0-1分布的均值和方差分布为：设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本，由中心极限定理知近似服从N(0,1)分布。记其中于是得到p的一个近似的置信水平为1-的置信区间 。例：在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现有16只次品，试求这批货物次品