近世代数基础

1、近世代数基础第1页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三序：课 程 说 明第2页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等.其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。 群、环、域、模是本课程的基本内容.第3页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 集合论初步与高等代数（线性代数）是学习本课程的准备知识。本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学等。第4页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三

2、近世代数课程的讲授为一个学期 ，共72学时，内容包括第1章到第4章的内容。 近世代数是理论性较强的课程，由于教学时数所限，本课程的理论推证体例较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式和定理的运用，从而达到消化、掌握所学知识、体会近世代数的思想和方法的目的.由此可知，独立完成作业是学好本课程的重要手段.第5页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 近世代数是一门十分活跃又发展迅速的学科，它的概念众多、内容丰富，作为一门基础课，又限于教学时数，教学时只能择其最基础的概念和基本的内容。因此，有的课本就名曰近世代数基础。第6页，共73页，2022年，5月20日

3、，18点43分，星期三 高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因此，在本课程的学习中，大家要多注意实例,以加深对概念的正确理解。 近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，应适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意教材内容和方法以及习题课内容。第7页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 （中文）近世代数 （英文）Abstract Algebra 教材1：，张禾瑞 ，高等教育出版，1978年修订本。教材：,徐德余、唐再良等编著，川大出版社，年月第8页，共73页，2022年，5月20日，

4、18点43分，星期三主要参考书1BL瓦德瓦尔登著：代数学、卷，科 学出版社1964年版2N贾柯勃逊著：抽象代数1、2、3卷，科学 出版社1987年出版3刘绍学著：近世代数基础，高等教育出版社 1999年出版4石生明著：近世代数初步、高等教育出版社 2002年出版 第9页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三5.近世代数，吴品山，人民教育出版社，1979。6.抽象代数学，谢邦杰，上海科学技术出版社， 1982。7.抽象代数基础，刘云英，北京师范大学出版 社，1990年。8. ,杨子胥,高等教育出版社,2003年.第10页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三

5、在学习近世代数这门课之前，有必要了解一下有关近世代数的由来，这有利于这门课程的学习。概述第11页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三1 近世代数理论的三个来源 (1) 代数方程的解 (2) Hamilton四元数的发现 (3) Kummer理想数的发现下一页第12页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三（1） 代数方程的解两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开 方法解二次方程ax2+bx+c=0 。16世纪初欧洲文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题。1545年意大利数学家 G.Cardano(1501-1576)在他的著作大术（

6、Ars Magna）中给出了三、四项多项式的求根公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五次方程的一般求解方法，但是都失败了。第13页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel (1802-1829) 才证明五次和五次以上的一般代数方程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。 最终解决这一问题的是一位法国年青数学家E.Galois(18111832)，Galois引入了扩域以及群的概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数方程可解

7、的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的一个最重要的来源。第14页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三加罗华阿贝尔返回第15页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三(2)Hamilton四元数的发现长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2= -1。二元数按(a,b)(c,d)=(ac,bd)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理

8、论产生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来源。返回第16页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 （3）Kummer理想数的发现17世纪初法国数学家费马(P.Fermat 1601-1665）研究整数方程时发

9、现当n3时，方程 xn+yn=zn 没有正整数解，费马认为他能够证明这个定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一个非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为费马问题或费马大定理，此定理直到1995年才被英国数学家A.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半世纪内从未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对此作出过重要贡献。但最重大的一个进展是由E.Kummer作出的。第17页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 Kummer的想法是：如果上面的方程有正整数解，假定是一个n次本原单位根，那么 xn+yn=zn 的等式两边可以作因子分解 zn=(x+y)(x+y)(x+n-1y)

10、,象整数中的因子分解一样，如果等式右边的n个因子两两互素，那么每个因子都应是另外一个“复整数”的n次方幂,进行适当的变换之后有可能得到更小的整数x1,y1,z1使 xn+yn=zn 成立，从而导致矛盾。如果上面等式右边的n个因子有公因式，那么同除这个公因式再进行上面同样的讨论。第18页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 Kummer方法的前提是形如a+b的复整数也象整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+b都具有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解称为理想数的分解。 用这种方法 Kummer证明了n100时费马大定理成

11、立,理想数的方法不但能用于费马问题研,实际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学家R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的研究领域。第19页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三理想数的诞生库麦尔 Ernst Edward Kummer (1810 - 1893)德国人1845 至 1847 年间，提出了理想数的概念。又提出正规质数的概念，并证明当 n 为正规质数时，费尔马最后定理成立。返回第20页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来的数学分支。

12、1930年荷兰数学家范德瓦尔登（B.Lvan der Wearden 1930-1996） 根据该学科领域几位创始人的演讲报告,综合了当时近世代数的研究成果, 编著了近世代数学(Moderne Algebra）一书,这是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代数的教科书。 第21页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三第22页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三代数学（Algebra）简介 代数学包括： 抽象代数、 布尔代数、关系代数、 计算机代数。下一页第23页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 （1）抽象代数（Abstract

13、Algebra），也叫近世代数，研究的主要内容涵盖群、环、域。抽象代表的是将研究对象的本质提炼出来，加以高度概括，来描述其形象。“欧式环”就是在将整数和多项式的一些相同的特点加以综合提炼引入的。抽象代数提供的一些结论为我们研究一些具体问题时所需使用的一些性质提供了依据。返回第24页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 （2）布尔代数（Boolean Algebra）是代数系统中最为基础的部分，也是最核心的基本理论。主要包括了集合的基本概念与运算，自对偶的公理系统。是数据表示的重要基础。相信大家都很清楚它的在计算机科学中有很重要地位。 （3）关系代数（Relational A

14、lgebra）应用也是极为广泛，比如数据库技术中的关系数据库的构建就要用到关系代数的相关理论。 返回第25页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 （4）计算机代数（Computer Algebra）大家可能比较生疏，其实它研究的主要内容即是围绕符号计算与公式演算展开的。是研究代数算法的设计、分析、实现及其应用的学科。主要求解非数值计算，输入输出用代数符号表示。计算机代数的开发语言主要有： ALTRAN,CAMAL,FORMAL。 主要应用于：射影几何，工业设计，机器人手臂运动设计等。返回第26页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三课后作业：简述近世代数的

15、起源和发展概况简述本课程的基本内容和逻辑结构第27页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三第 1 讲 13 集合、映射及代数运算 （2课时） （Sets mapping and algebra operation ）第一章 基本概念第28页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三一、集合 定义1：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。例1：师院级数学与应用数学专业的全体学生组成一个集。而每个学生就称为这个集中的元素。第29页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三定义2：没有

16、元素的集合叫做空集，记为，且是任一集合的子集。例2：一切满足方程x2+1=0的实数组成的集合是空集。（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。例3：“由我院胖子组成的集合”这不能组成一个集合。（违反了确定性）第30页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三例4：集合中的元素要求两两互异。即：1，2，2，3=1，2，3。（2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A，B，C表示集合； 习惯上用小写拉丁字母a，b，c表示集合中的元素。 若a是集合A中的元素，则记为第31页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三表示集合通常有三种方法：1、枚举法（列举法）：例5：A=1，2

17、，3，4，B=1，2，3，,100。2、描述法：元素具有的性质。例6： A=a|aZ且1a4。显然例6中的A就是例5的A。第32页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三3、绘图法：用文氏图可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系。例7：利用例5的A和B，可构制出文氏图：第33页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三（3）集合的蕴含（包含） 定义3：若集B中每个元素都属于集A，则称B是A的子集记为，记为.思考题1：如何用语言陈述“”？ ， 否则说B不是A的子集第34页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三设，且存在 ，那么称B是A的真子集，否

18、则称B不是A的真子集。思考题2：若 ，但B不是A的真子集，这意味着什么？定义4：真子集第35页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三若集合A和B含有完全一样的元素，那么称A与B相等，记为A=B.显然，.定义5：集合的相等第36页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三（4）集合的运算 集合的并： 集合的交：第37页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三集合的差：集合在全集内的补：第38页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三集合的布尔和（对称差）：集合的卡氏积：第39页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三

19、注：卡氏积的推广： 中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点。第40页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三问题：回忆数的四则运算，由此猜测集合的运算应该具有什么性质。思考?第41页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三（1） （2） （3） （4） （5） （6） 对上述集合运算，可以得到一批基本公式：第42页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三（7）（8）（9）（10）（11）（12） 。 第43页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 上述基本性质都是常用的，其中（9),(10)两式通常称为德摩根（De Mo

20、rgan ）法则，它们的证明也是容易的。第44页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三思考题3：（1） ； ； ； ；第45页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三（2）证明等式：（3）设有集合A，B： 若，则A与B有什么关系？ 若，则A与B有什么关系？第46页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 定义6： 二、 映 射 是集合A到B的一个对应法则：如果对A中任一元素a，关于 都有B中的元素b与其对应，那么称法则是由A到B的一个映射。，b是a关于的象，a是b在下的逆象。设其中，记第47页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星

21、期三设映射的分类：第48页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三（1）单射（一对一映射）:第49页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三（2）满射（映上的）：第50页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三若 f 既是单射又是满射，则 f 是双射。 思考题4： 试说一说：当 f 不是单射；不是满射时该怎样叙述？ （3）双射（一一对应）或第51页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三第52页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三第53页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三第54页，共73页

22、，2022年，5月20日，18点43分，星期三第55页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三第56页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三（4）说明: 1、 映射是两个集合之间的。特别的，若这两个集合是同一集合，这时的映射叫该集合的一个变换。 2、 区分变换和恒等变换：变换是集合X到自身的映射，而恒等变换是指集合X中每个元素与自身对应的变换。第57页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三（5）映射的相等：第58页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三设给定 如果n=2时，f 就叫做代数运算。一般地有定义8：任一个事实上，我

23、们都接触过代数运算。三、代数运算：的映射都叫做的一个代数运算。第59页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 例13： 为方便起见，以后凡是代数运算都不用映射符号 等。第60页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 每一个代数运算都可以用运算表来表示。设代数运算表：当都是有限集时，那么的 ，则运算表为：第61页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三0b1b2bna1d11d12 d1na2d21d22 d2namdm1dm2dmn 其中dij=aibj。 这个表通常称为运算表或凯莱（Cayley）表。 第62页，共73页，2022年，5月2

24、0日，18点43分，星期三定义9. 把集合A上的二元映射AAA也称为A上的代数运算或A上的二元运算 。此时我们也说集合A对于代数运算来说是封闭的。如果A上的运算用来表示，则也称为代数系统。第63页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 一个代数运算可以用“ 例14一个 ”来表示（当然也可用其它运算符号，如 “”, “” ，“”，“”等表示）。：是 ，这就是普通数的除法。第64页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三 例15 普通加法，减法与乘法都是Z、Q、R、C的代数运算。 例16 法则 例17 设A是一个非空集合，则集合的并与交是幂集是的代数运算。的两个代数运算。第65页，共73页，2022年，5月20日，18点43分，星期三1.设 ，问下列各命题是否正确？（1） ； (2） ；（3） ； (4） ；（5）