高等数学(上册)-第一章教案

1、 / 16第一章：函数、极限与连续教学目的与要求.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。.掌握基本初等函数的性质及其图形。.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。.掌握极限的性质及四则运算法则。.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。.了解连续

2、函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。所需学时：18 学时（包括：6 学时讲授与2 学时习题）第一节：集合与函数一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、 B、C、表示集合，用小写拉丁字母a、 b、c表示集合中的元素。如果a是集合 A中的元素，就说a 属于A，记作：a A，否则就说a不属于 A，记作：a A。 TOC o

3、1-5 h z 、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N +或N+。、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“”括起来表示集合、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系、子集：一般地，对于两个集合A、 B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合 B 的子集，记作A B（或 BA）。相等：如何集合A 是集合 B 的子集，且集合

4、B 是集合 A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合 B 相等，记作A B。、真子集：如何集合A 是集合 B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合 B 的真子集。、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：、任何一个集合是它本身的子集。即A A、对于集合A、B、 C，如果 A 是 B 的子集，B 是 C 的子集，则A 是 C 的子集。、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算、 并集： 一般地， 由所有属

5、于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与 B 的并集。 记作AB。 （在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即 A Bx|xA，或x B。、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与 B 的交集。记作A B。即A Bx|x A，且x B。、补集：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U 。补集：对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集。简称为集合 A 的补集，记作CUA。即CUAx|x U，且x A。集合中元素的个数、有限集：我们把

6、含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。、用 card 来表示有限集中元素的个数。例如Aa,b,c，则card(A)=3。、一般地，对任意两个集合A、 B ，有 card(A)+card(B)=card(A B)+card(A B)我的问题：1、学校里开运动会，设Ax|x 是参加一百米跑的同学，B x|x是参加二百米跑的同学，Cx|x 是参加四百米跑的同学。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。、A B；、A B。2、在平面直角坐标系中，集合C (x,y)|y=x 表示直线y x，从这个角度看，集合D=

7、(x,y)| 方程组：2x-y=1,x+4y=5 表示什么？集合C、 D 之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。3、已知集合A=x|1 x 3， B x|(x-1)(x-a)=0 。试判断B 是不是 A 的子集？是否存在实数a 使A B 成立？4、对于有限集合A、 B、 C，能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢？5、无限集合A1，2，3，4，n，B2，4，6，8，2n，你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？2、区间、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为 常量 ；有的量在

8、过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量 。 注： 在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间 来表示其变化范围。在数轴上来说，区间 是指介于某两点之间 的线段上点的全体。区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示闭区间axba ， b开区间a x b( a， b)半开区间axb或axb(a， b 或 a ， b)以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：a ， + )：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a x +；(- ， b)：表示小于b的

9、实数的全体，也可记为：-xb；(- ，+ )：表示全体实数，也可记为：-x 0. 满足不等式x - 1 时 , 在区间(0,1) 的值为负；在区间 (- ,+ )的值为正；在定义域内单调增.幂 函 数a 为任意实数这里只画出部分函数图形的一部分。令 a=m/na): 当m为偶数n 为奇数时,y 是偶函数;b): 当 m,n 都是奇数时,y 是奇函数;c): 当m奇n 偶时 ,y 在 (- ,0) 无意义.三角函数( 正弦函数)这里只写出了正弦函数a): 正弦函数是以2为周期的周期函数b): 正弦函数是奇函数且反三角 函数( 反正弦函数)这里只写出了反正弦函数a): 由于此函数为多值函数, 因此

10、我们此函数值限制在- /2, / 2 上 , 并称其为反正弦函数的主值.、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.5、双曲函数及反双曲函数(补充)、双曲函数：在应用中我们经常遇到的双曲函数是：( 用表格来描述)函数的 名称函数的表达式函数的图形函数的性质双曲 正弦a） ：其定义域为:（- ,+ ）；b）：是奇函数；c） ：在定义域内是单调增双曲 余弦a） ：其定义域为:（- ,+ ）；b）：是偶函数；c）：其图像过点（0,1） ；双曲 正切a） ：其定义域为:（- ,+ ）；b）：是奇函数；c） ： 其图形夹在水平直线

11、y=1 及 y=-1 之间；在定域内单调增；课后作业及小结：1 、学习了集合概念与函数概念2、掌握复合函数与反函数计算方法。作业： P9.1,7,8第二节：数列的极限1、引入、数列：若按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2，依次排列下去，使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数an，那末，我们称这列有次序的数a1， a2，an，为数列. 数列中的每一个数叫做数列的项。第n 项an叫做数列的一般项或通项.注： 我们也可以把数列an 看作自变量为正整数n 的函数，即：an=，它的定义域是全体正整数、极限：极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的

12、面积。设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A1；再作圆的内接正十二边形，其面积记为A2；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A3；依次循下去（ 一般把内接正62n-1 边形的面积记为An） 可得一系列内接正多边形的面积：A1，A2，A3，An，它们就构成一列有序数列。我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，An 也无限接近某一确定的数值（ 圆的面积 ） ，这个确定的数值在数学上被称为数列A1， A2， A3，An，当n（读作 n 趋近于无穷大）的极限。注： 上面这个例子就是我国古代数学家刘徽（ 公元三世纪） 的割圆术。2、数列极限的概念（ 1 ）、数列的极限：一般地，对于数列x

13、1， x2， x3，xn，来说，若存在任意给定的正数 （不论其多么小） ，总存在正整数N，使得对于n N 时的一切xn 不等式都成立，那末就称常数a 是数列 xn的极限，或者称数xn收敛于a .记作：或注： 此定义中的正数 只有任意给定，不等式才能表达出xn 与a 无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数 是有关的，它是随着 的给定而选定的。( 2)、数列的极限的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。数列 xn 极限为 a 的一个 几何解释：将常数a 及数列x1， x2， x3，xn在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的

14、 邻域即开区间(a- ，a+ )，如下图所示：与不等式等价， 故当 n 与不等式等价， 故当 n N时， 所有的点xn都落在开区间(a- ，a+ )内，而只有有限个 ( 至多只有N 个 ) 在此区间以外。注： 有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。例：数列(-1) n+1， 是有界的，但它是发散的。3、数列极限的计算(课本例子)1 ， -1 ， 1， -1 ，课后作业及小结：1、学习了数列极限概念2、掌握数列极限运算方法。作业： P15.2前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取1内的正整数，若自变量不再限于 TOC o 1-5

15、h z 正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况：a) ：自变量无限增大；b) ：自变量无限接近某一定点x 0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢?下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!1、函数的极限( 分两种情况)a): 自变量趋向无穷大时函数的极限定义 ： 设函数 y=f(x) ， 若对于任意给定的正数 (不论其多么小) ， 总存在着正数X， 使得对于适合不等式的一切x，所对应的函数值y=f(x) 都满足不等式那末常数A就叫做函数y=f(x) 当x时的极限，

16、记作：下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：数列的极限的定义函数的极限的定义存在函数y=f(x) 与常数A，任给一正数 0，总可找到一正数X，对于适合的一切 x，都满足存在数列an=f(x) 与常数A， 任给一正数找到一正数X，对于适合的一切 x，都满足整数N，对于n N的所有an都满足0；x 均满足不等式。A ，其证明方法是怎样的呢？b): 写出不等式 ；c): 解不等式能否得出去心邻域00，总能找出，当0 时， 成立，因此2、函数极限的运算规则前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算 规则相似。、函数极限的运算规则若

17、已知xx0( 或 x) 时，则：推论：推论：在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。例题： 求种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。解答：例题：此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在. 我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限，像这注： 通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了，应先把分式的分 子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。3、左右极限定义定义： 如果 x 仅从左侧(x x0) 趋近x0时，函数 f(x)与常量 A无限接近，则称 A为函数f(x)当时的右极限. 记：注： 只有当

18、xx 0时，函数f(x)的左、右极限存在且相等，方称f(x)在xx0时有极限课后作业及小结：1、学习了函数数列极限概念2、掌握函数数列极限运算方法。作业： P23.1 ， 2第四节：极限性质1、数列极限的性质定理1(极限的唯一性) 数列xn 不能收敛于两个不同的极限证明 假设同时有lim xn a 及 lim xn b 且 a0 存在充分大的正整数按极限的定义对于ba2a 0 存在充分大的正整数N 使当 nN 时 同时有 |xn a|ba2及|xn b|N 时的一切xn 不等式|xn a|N 时|xn| |(xn a) a| | xn a| |a|0 N N+ 当 n N 时 有 |xn a|

19、 取 K N 则当 k K时nk k K N 于是 |xnk a|这就证明了lim xnaknk2、函数极限的性质定理 1(函数极限的唯一性)如果极限lim f (x) 存在 那么这极限唯一x x0定理 2(函数极限的局部有界性) 如果 f(x) A(x x0) 那么存在常数M 0 和 使得当 0 |x x0| 时 有 |f(x)| M证明 因为 f(x) A(x x0) 所以对于10 当 0 |x x0| 时 有 |f(x) A| 1于是 |f(x)| |f(x) A A| |f(x) A| |A| 1 |A| 这就证明了在x0的去心邻域x| 0 |x x0|内 f(x)是有界的定理 3(函

20、数极限的局部保号性) 如果 f(x) A(x x0) 而且 A 0(或A 0) 那么存在常数0 使当 0 |x x0| 时 有 f(x) 0(或f(x) 0)1定理 3 如果 f(x) A(x x0)(A 0) 那么存在点x0的某一去心邻域在该邻域内有 | f (x)| 1 |A|推论 如果在 x0 的某一去心邻域内f(x) 0(或 f(x) 0) 而且 f(x) A(x x0) 那么 A 0(或 A 0)证明 设 f(x) 0 假设上述论断不成立即设 A0 那么由定理1 就有x0 的某一去心邻域在该邻域内f(x) 0 这与 f(x) 0 的假定矛盾 所以 A 0 TOC o 1-5 h z

21、定理 4( 函数极限与数列极限的关系)如果当 xx0时f(x)的极限存在xn为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列且满足xnx0(nN ) 那么相应的函数值数列f(xn)必收敛 且 lim f(xn)lim f (x)nx x0证明 设 f(x) A(x x0) 则 00 当 0 |x x0|时 有 |f(x) A| 又因为xn x0(n) 故对 0 N N 当 n N 时 有|xn x0|由假设xn x0(n N ) 故当 n N 时 0 |xn x 0| 从而 |f(xn) A| 即 lim f (xn) lim f(x)nx x0课后作业及小结：1、学习了极限的相关定理与函数列相关定理

22、作业： P30.8第五节：两个重要的极限1、准则I如果数列xn、 yn及 zn满足下列条件(1) yn xn zn(n 1 2 3)(2) lim yn a limnnzn a那么数列 xn 的极限存在且 lim xn an证明lim yn na lim znna 以根据数列极限的定义0 N 10 当n N1时 有|yn a|又 N 20当 n N 2时有 |z na|现取 N maxN 1 N 2 则当 n N时有|yn a| 同时成立|zn a|即ayn a同时成立a zn又因yn xn zn 所以当nNayn xn即zn a|xna|这就证明了lim xn an即有这就证明了注意：简要证

23、明|yn(2)N0当 nN时 有(1)准则 Ia| 及 |znyn aa|zn ayn xn|xn a|lim xnnzn如果函数f(x)、 g(x)及h(x)满足下列条件(1) g(x) f(x) h(x)(2) lim g(x) A lim h(x) A那么 lim f(x)存在且 lim f(x) A注 如果上述极限过程是x x0定义要求函数在x0的某一去心邻域内有定义上述极限过程是x 要求函数当|x| M 时有准则 I 及准则 I 称为夹逼准则 2、第一重要极限下面根据准则I 证明第一个重要极限sinx limx0 x证明 首先注意到函数 sin x 对于一切 xx0 都有定义参看附图

24、图中的圆为单位圆BC OA DA OA 圆心角AOB x (0 x ) 显然sin x cb x AB tan xAD 因为S AOB S 扇形 AOB S AOD 所以1sin x21x 1tan x22sin x x tan x不等号各边都除以sin x 就有1x 1sin x cosx或cosx sinx 1x注意此不等式当x 0 时也成立而 lim cosx 1 根据准则I lim sin x 12x0 x0 x简要证明参看附图设圆心角AOB x ( 0 简要证明参看附图设圆心角AOB x ( 0 x )2显然 BC AB AD 因此 sin x x tan x 从而 cosxsinx

25、x1 （此不等式当x 0 时也成立）因为 lim cosx 1 根据准则 I lim sin x 1 x0 x0 x应注意的问题在极限 lim sin (x) 中 只要(x)是无穷小就有 lim sin (x) 1(x)(x)这是因为令 u (x) 则 u 0 于是 lim sin (x) lim sinu 1(x) u 0 usinx sin (x)lim 1 lim1 ( (x) 0) TOC o 1-5 h z x 0 x(x)tanx例 1 求 lim x0 x解 lim tanx lim sinx 1 lim sinx lim 11x 0 x x 0 x cosx x 0 x x 0

26、 cosx例 2 求 lim 1 co2sxx 0 x2lxim01 cosxx22x 2sin2lim 2 2x 0 x22x sin212 lim 22x12lximsinx12121 lim2x 0sin 2xx212123、准则 II单调有界数列必有极限xxn xn 1 就称数列xn是单调增加的单调增加和单调减少数列统称为单调数列如果数列x n满足条件x 1 x 2 x 3xn xn 1 就称数列xn是单调减少的如果数列 xn满足条件x 1 x 2 x 3在第三节中曾证明收敛的数列一定有界有界 并且是单调的那么这数列的极限必定存在在第三节中曾证明收敛的数列一定有界有界 并且是单调的那么

27、这数列的极限必定存在单调增加数列的点只可能向右一个方向移动 者情况发生但那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则II 表明 如果数列不仅也就是这数列一定收敛准则 II 的几何解释或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后4、第二重要极限根据准则II 可以证明极限lim (1 1)n存在nn设xn(1n1)n现证明数列xn 是单调有界的按牛顿二项公式xn1(1 n)n 1n1!1 n(n 1)2!1n2n(n 1)(n 2) 1n(n 1) (n n 1) 1121!(11n)31!(11n)(12n)3!n3n!nnxn11 121!(1n11)31!(1 n11)(1(n

28、1(1 1)!1n 1)(12n 1)比较 xnxn1xnn1!(11n)(1n2)n21)n1!(1(1n112n11)(1 n21)(1nn 11)n(1 n 1)的展开式可以看出除前两项外x n 的每一项都小于x n 1 的对应项并且 x n 1 还多了最后一项其值大于0 xn 1这就是说数列xn 是单调有界的这个数列同时还是有界的xn 的展开式中各项括号内的数用较大的数1 代替 得根据准则II 数列 xn必有极限xn 11112! 3! n!1 1212212n3112132n 1这个极限我们用来表示lim (1 n1)n n我们还可以证明lim (1 1 )x e e是个无理数xx它

29、的值是e7045指数函数y ex 以及对数函数y ln x 中的底 e 就是这个常数在极限 lim11(x) (x)只要(x)是无穷小就有 lim 1(x)1(x)这是因为令 u1(x)则u于是 lim11(x) (x)lim (1 uu1)ulim (1 x1)x e x1lim 1(x) (x) e (x) 0)例 3 求 lim (1x1xx)x解 令tx于是lim (1 xx)xlim (11t)tlim1(11t)t或 lim (1xx)xlim (1 x1)xx(1)lim (1x1x) x1课后作业及小结：1、学习了两个重要极限2、了解单调有界准则3、综合运用夹逼准则作业： P3

30、8.1,2,3第六节：无穷小与无穷大1、无穷小如果函数f(x)当 x x0(或 x)时的极限为零那么称函数f(x)为当 x x0(或 x )时的无穷小特别地 以零为极限的数列 xn称为n 时的无穷小例如11因为 lim 0 所以函数为当 x 时的无穷小xxx因为 lim(x 1) 0 所以函数为x 1 当 x 1 时的无穷小x111因为 lim 0 所以数列 为当 n 时的无穷小n n1n1讨论 很小很小的数是否是无穷小？0 是否为无穷小？提示 无穷小是这样的函数在 x x0(或 x)的过程中极限为零很小很小的数只要它不是零作为常数函数在自变量的任何变化过程中其极限就是这个常数本身不会为零无穷

31、小与函数极限的关系定理 1 在自变量的同一变化过程定理 1 在自变量的同一变化过程x x0(或x)中 函数 f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x) A其中 是无穷小证明 设 lim f (x) A 证明 设 lim f (x) A 0 x x00 使当 0 |x x0|时 有 |f(x) A|令 f(x) A 则 是 x x0时的无穷小且 f(x) A 这就证明了f(x)等于它的极限A与一个无穷小之和反之 设 f(x) A 其中 A 是常数是 xx0时的无穷小于是 |f(x) A| | |因 是 xx0 时的无穷小00 使当 0 |x x0|有 | | 或 |f(x) A| 这就证明了A

32、是 f(x) 当 xx0时的极限简要证明令 f(x) A 则 |f(x) A| | |如果00 使当 0 |x x0|有 f(x) A| 就有 | |反之如果00 使当 0 |x x0|有 | | 就有 f(x) A|这就证明了如果A 是 f(x) 当 xx0时的极限则 是 x x0时的无穷小如果 是 x x0时的无穷小则 A 是 f(x) 当xx0 时的极限类似地可证明x 时的情形1 x311例如 因为1 x112x31 x311例如 因为1 x112x322x3而 lim 0 所以 limx2x3x2x32、无穷大如果当 x x0(或x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大就称函数

33、f(x)为当xx如果当 x x0(或xlim f(x)(或 lim f (x)x x0 x应注意的问题当 x x0(或 x)时为无穷大的函数f(x) 按函数极限定义来说极限是不存在的但为了便于叙述函数的这一性态我们也说“函数的极限是无穷大”并记作lim f (x)(或 lim f(x) )x x0 x讨论 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大?提示 lim f (x) M 00 当 0 |x x0 | 时 有 |f(x)| M 正无穷大与负无穷大x x0lim f(x)lim f(x)x x0 x x0(x )(x )例 2 证明 lim1x证 因为 M 01 当 0 |x 1|

34、 时 有Mx11所以 limx 1x 1111提示 要使 | M 只要 例 2 证明 lim1x证 因为 M 01 当 0 |x 1| 时 有Mx11所以 limx 1x 1111提示 要使 | M 只要 |x 1|x 1 |x 1|M铅直渐近线如果 lim f (x)x x0铅直渐近线则称直线x x0 是函数y f(x)的图形的铅直渐近线1例如 直线 x 1 是函数 y 的图形的 x13、无穷小与无穷大的关系定理(无穷大与无穷小之间的关系) 在自变量的同一变化过程中如果f(x)为无穷大则 1 为无穷小反之 如果 f(x)f(x)为无穷小且 f(x) 0 则 1 为无穷大f (x)证明1如果

35、lim f (x) 0 且 f(x) 0 那么对于x x0M0 当 0 |x x0 | 时 有 | f(x)|1M 由于当 0 |x x0 | 时f(x) 0 从而|1f (x)|M1所以 1 为 x x0 时的无穷大f (x)如果 limx x0f (x)1那么对于M10 当 0 |x x0 | 时 有 | f(x)| M 即1| f(x)|所以为 x x 时的无穷小课后作业及小结：1、学习了无穷大与无穷小的概念 2、掌握无穷大与无穷小之间的关系作业： P45.4,5第七节：函数的连续性及其性质在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的. 这种现象在函数关系上的反映，

36、就是函数的连续性1、连续的概念在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念 增量设变量 x 从它的一个初值x1 变到终值x2，终值与初值的差x2-x 1 就叫做 变量 x 的增量 ，记为： x 即： x=x2-x 1 增量 x可正可负.我们再来看一个例子：函数 y=f(x) 在点 x0的邻域内有定义，当自变量x在领域内从x0变到x0+ x时， 函数 y 相应地从f(x0)变到，其对应的增量为：这个关系式的几何解释如下图：现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当 x 趋向于零时，函数y 对应的增量 y 也趋向于零，即：，那末就称函数y=f(x) 在点x0处连续。函数连续性的定义：设函数 y=f(x

37、)在点x0的某个邻域内有定义，如果有称函数 y=f(x)在点 x0处 连续 ，且称 x0为函数的y=f(x) 的 连续点 .下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：设函数y=f(x) 在区间 (a,b 内有定义，如果左极限存在且等于f(b)，即：= f(b)，那末我们就称函数f(x)在点b 左连续 . 设函数 f(x)在区间 a,b) 内有定义，如果右极限存在且等于f(a)，即：= f(a)，那末我们就称函数f(x)在点a 右连续 .一个函数在开区间(a,b) 内每点连续, 则为在 (a,b) 连续，若又在a 点右连续，b 点左连续，则在闭区间a ， b 连续，如果

38、在整个定义域内连续，则称为连续函数。注：一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续.注：连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的间断点2、函数的间断点定义： 我们把不满足函数连续性的点称之为间断点. 它包括三种情形： f(x)在x0无定义；： f(x)在 xx 0时无极限；： f(x)在xx0时有极限但不等于f(x0)；下面我们通过例题来学习一下间断点的类型：例 1： 正切函数y=tanx 在x= /2 处没有定义，所以点 x= /2 是函数 y=tanx 的间断点，因， 我们就称x= /2 TOC o 1-5 h z 为函数 y=tanx 的 无穷间断点；例 2： 函数 y=sin(1/x) 在点 x=0 处没有定义；故当x0时，函数值在-1 与 +1 之间