连续时间系统的系统函数

1、连续时间系统的系统函数第1页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三要点：1. 梅逊公式2. 零极点分布3. 劳斯定理第六章 连续时间系统的系统函数第2页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三6.1 梅逊公式第3页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三 梅逊公式第4页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三 梅逊公式 负反馈 正反馈 系统函数第5页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三例6-1C(s)=R(s)1+1-G2G1G1G21+G1G2G2G1 (1 G2)= 梅逊公式第6页，共27页，2022年，

2、5月20日，19点20分，星期三 梅逊公式LiLi Lj Li Lj Lz = 1 + 2梅逊公式 回路内前向通道和反馈 通道传递函数的乘积。梅逊公式：回路传递函数： 特征式 各回路传递函数之和。 两两互不相接触回路的传 递函数乘积之和。 所有三个互不相接触回路 的传递函数乘积之和。 (s)=nk=1Pk kLiLi Lj Li Lj LzLiLi Lj Li Lj Lzk 将中与第 k 条前向通道相接触 的回路所在项去掉之后的剩余部 分，称为余子式。Pk 第k 条前向通道的传递(系统)函数。第7页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三 梅逊公式例6-1_G1+C(s)R(s

3、)G2解:(2)L1L1=-G1G2L2L2=G2P1=G11=1-G2=1+G1G2-G2C(s)R(s)1+G1G2G2G1 (1 G2)=第8页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三L1L2L3H1_+G1+C(s)R(s)G3G2例6-2 求系统的闭环传递函数 。解: L1=G3H1L2=G1H1L3=G1G2P1=G1G21=1 G3H1 =1 +G1G2+G1H1G3H1R(s)C(s)1+G1G2+G1H1G3H1G1G2 (1 G3H1)= 梅逊公式第9页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三G1(s)G2(s)G3(s)H1(s)_+R(s

4、)C(s)H2(s)求系统的传递函数解:L1L1=-G2H1L2L2=-G1G2H2P1=G1G2P2=G3G21 =12 =1R(s)C(s)=nk=1Pkk=1+G2H1+G1G2H21+G2H1+G1G2H2G2G1+G2G3 =例6-3 梅逊公式第10页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三3.系统稳定性LTI系统稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即对因果LTI系统稳定性，用冲激响应绝对可积条件判断与用冲激响应衰减条件 判断给出同一结果。 稳定性第11页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三tPi位于右半平面 零、极点分布第12页，共27页，2022

5、年，5月20日，19点20分，星期三系统稳定性（1）极点分布对系统稳定性的影响因果系统稳定的充要条件是：所有极点都在s左半平面。当虚轴上没有重极点，并且s右半平面无极点时，系统临界稳定；当s右半平面有极点或虚轴有重极点时，系统不稳定。稳定系统的因果条件是所有极点都在s左半平面。系统零点只影响部分分式展开式中各分量的加权系数，因此它只影响冲激响应的各分量的幅度和相位，对系统稳定性无影响。各分量的幅度和相位要受到系统零极点的共同影响。 稳定性第13页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三求系统的零、极点，并绘制零、极点分布图，并判断系统的稳定性 。 例6-4解：系统的零点为 ：系

6、统的极点为：系统的零、极点分布图为： 稳定性第14页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三例6-5第15页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三解: 第16页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三4、根据稳定的充分与必要条件,求得特征方程的根,就可判定系统的稳定性.但对于高阶系统求解方程的根比较困难。 劳斯稳定判据是根据闭环传递函数特征方程式的各项系数,按一定的规则排列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符号的变化情况来判别系统的稳定性。下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。 劳斯稳定判据第17页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期

7、三 根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：设系统的特征方程为a0sn +a1sn-1 + +an-1s+an=0 a0 a2 a4 a1 a3 a5 b42 sn-3 s0 sn sn-1 sn-2 b31 b32 b33 b31= a1a2 -a0a3 a1 b41 b32= a1a4 -a0a5 a1 b41= b31a3 -b32a1 b31 b42= b31a5 -b33a1 b31 b43 bn+1 系统稳定的条件： (1) 特征方程式各项 系数都大于零。 (2) 劳斯表中第一列 元 素均为正值。 第一列元素符号改变的次数等于不稳定根的个数。 劳斯稳定判据第18页，共27页，2022年

8、，5月20日，19点20分，星期三例6-6 已知系统的特征方程，试判断该系统 的稳定性。解： s4+2s3+3s2+4s+5=0劳斯表如下： 1 3 5 s1 s0 s4 s3 s2 b31 b32 b41 b51 2 4 b31= 2*3 -1*4 2 =11 b32= 2*5 -1*0 2 = 55 b41= 1*4 -2*5 1 =-6-6 b51= -6*5 -1*0 -6 = 55有两个正实部根，系统不稳定。 劳斯稳定判据第19页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三例6-7 已知闭环系统的特征方程式，试用劳斯判据判断系统的稳定性。(1) s3+20s2+9s+10

9、0=0解： 劳斯表如下：s1 s0 s3 s2 1 9 20 100 4 100系统稳定。(2) s4+8s3+18s2+16s+5=0 1 18 5 s4 s3 8 16 劳斯表如下：s2 16 5 s1 216 16 s0 5系统稳定。 劳斯稳定判据第20页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三例6-8 系统如图所示，试确定系统稳定放大倍数K的取值范围。Ks(0.1s+1)(0.25s+1)-R(s)C(s)闭环传递函数(s)=s(0.1s+1)(0.25s+1)+KK特征方程:s3+14s2+40s+40K=0解： 劳斯表: 1 40 s3 s2 14 40K s1 b

10、31 b31= 14*40 -1*40K 14 s0 b41 40K 系统稳定的条件:0560-40K040K014K0 劳斯稳定判据第21页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三 如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中有纯虚根，系统不稳定。下面举例说明: 该行中其余各元素不等于零或没有其他元素，将使得劳斯表无法排列。 此时，可用一个接近于零的很小的正数来代替零，完成劳斯表的排列。 劳斯稳定判据第22页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三例6-9 已知系统的特征方程，试判断系 统的稳定性。劳斯表为:系统有一对纯虚根 s3+2s2+s+2=0解： 1

11、1 s3 s2 2 2 s1 b31 =0 s0 b41 2 通过因式分解验证:s3+2s2+s+2=0(s+2)(s2+1)=0s1=-2s2.3=j b31= 2*1 -2*1 2 ( ) =2 b41= -2*0 2* 不稳定 劳斯稳定判据第23页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三 例6-10 已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定 方程的根在s平面上的分布。解：s3-3s+2=0方程中的系数有负值，系统不稳定。劳斯表为: 1 -3 s3 s2 0 2 s1 b31 b31= s0 b41 2 通过因式分解验证:s3-3s+2=(s-1)2(s+2)=0s1.2=1s

12、3=-2-2-30 b31 - = - 第一列元素的符号变化了 两次,有一对不稳定根。 劳斯稳定判据第24页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三 如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统中含有不稳定的实根或复数根。系统不稳定。下面举例说明: 此时，应以上一行的元素为系数，构成一辅助多项式，该多项式对s求导后，所得多项式的系数即可用来取代全零行。同时由辅助方程可以求得这些根。 劳斯稳定判据第25页，共27页，2022年，5月20日，19点20分，星期三例6-11 已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。由为零上一行的元素 组成辅助多项式：s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0解：劳斯表为: 1 8 20 16 s6 s5 2 12 16 s4 2