高中数学：各种不等式定理的汇总

1、不等式中级水平必备一、密平均不等式1、菲平均函数:设口小xn0,则密平均函数定义为:M(0) = Qx,*2斗;(/)/M(F)= (球(2)(/) (2)汶两个式子称为密平均函数.2、算平均不等式:黑平均函数在实数空间是连续且单调递增的.斗+廿+ .叮)利用其增减性得到的不等式称为斗+廿+ .叮)3、在心()点的证明:设ES数/(r) = ln则:/()= x/lnx； + */Inp + -+*/愉0.v/ +x2r +. + x,tr于忌八心站恤叼:灯I卢+时m J吃也注Q=恤沿忑K +斗n即:J皿g =如,斗/K f-v/ + .v/+.+x/V” )则:ln W(r) =Zinf 斗

2、 + 吋 + 二士乞=如r 71 ) r故:ln M(0) = lim In M(r) = lim- = lim )=厂(0)r- r Q F-0则:A/(fl) = e/，0)将代入得:M() = gig(“式证毕.二算平均不等式的推论|M I页在在点：由( 页由于H - A-；=叫 2 0 .所以几2 g则:应兀Z 应区LI丄丄必莎匚7 V 以“必由柯西不等式得：即:+(即:+(_(JF?+-+FI) J“ &分(士-卜(1、(/+/ + . + /)yf将式代入式得:I jf l 4+.+丄4仁 fTZ+., rrQ I几yjI儿儿丿v; y 心匚二-儿 | | J几 _儿7fi y：

3、ynyt y：k即：血玉+.+ ”-儿-*需I丄一丄s加 匚工_二H儿V几几 V 儿即式得证，本题得证.证毕.I练习勺设x Of 且x + / = 2t 求证:x2/(x2 + /)2.解析:平用“函数的增滩性二将x + j = 2规范化：号“利用式将待证式齐次化：”/(戏+ ”)2(字)6=号严即：32x2y2(x2 + /)(x + y)6 因为因为.v + y = 2.所以工不同时为久当工丿其中一个为时.不等式显然成立.当工*式.式两边同除以/得：32(与?(/+ (上$ TOC o 1-5 h z XXX设：心匚 则：fe(+oo)代入式得：32f2(/ + f2)s(/ + f)6X

4、即：32(匕乞) 叫即：32( + S(琴+祈)=(仃/ + 2)3trtyitt设：P = f + f 则：“w|2+oo)代入式得：32S(p + 2)即:(p + 2)- 32p式就是待证式.其中pw|2.w)构建函数：/() = (“ + 2F -32p函数的导数：八卩)=3(卩 + 2)2-32 = 3(卩-2 + 叭2-32=3(“一2)2 + 24(-2) + 3沪一32= 3(p-2)2 + 24(p-2)+当pw|2.+co)时.由式得：厂(刃，即/()单调递增:/(p)/(2) = tf,即:式成立，不等式获证.22I|练习6|设.且/,求证:市+帀订.解析：臬用柯西不等式

5、.f 2 h2|( + /) + (5+/)| + _- ( + *) “+/ b+1即:T)+ 2| 侖 + 茁 2(即:(“+卯即:(“+卯(“ + 0) + 2第“页将代入式得：竺证毕/+ / b + 1 3I练习 7| 设a.b.oO.且ahc = l.求证：一+/a+b+1 ft4-r+ / c + n + Z解析:将不等式磁化：ab-(abc)3 + c +(血c)0 .= /.代入式得：7+ + 1M X +-十可乂 yz + x -xyz 与需即：xyz+ J5 + .v*zX/ + ” + z) M (xJ + 十 +T + xyz )(z + J + xyz) or左边：f

6、 + 炉)(F + 2 + xyz)Of=+ xzx4yz + y6 4-jV + xy4zx)4zz4 + x2j?z?)吭【丿+(*b + y3z3 + z3x3)x2y2z2 + xyz(x3 + 2y3 + z3).vz|(.v6 + y6 + z6)3(xJyJ + yJzJ + zJxJ) 3x2y2z2 + 4xyz(x3 + y3 + zJ)| 右边:(卫 + y3 + xyzHy + zJ + 引讹” + 卫 + xyz)= |(x5 + /)(/ + zJ)+.vi:(xJ+2j i + zi)+2y?z2|(zl+-vJ 十= l(J + /)(jJ + z)(z + x

7、HAyz(x + 2_r + z)(z+x3)+vW(za2 a3 0, blb2b309at bt t。严aj +j +? =bt b2；设x.y.zOt则有：J 严丹叫严+严0 +严z药4+z角严04 ybi zb + 0 0 严 + 产 Xb： 0 + yb, zb： xb, + zb, xybi + zh, ybi xbf简写为：S H严严之X*V）VIIM5|IW对本题：“/=6, “2 = 3. a3-0t 析=4. d, = 7, b3 = 1干是.式正好就是缪尔海锤不等式.缪尔海德不等式的式子两边要求齐次化.故本题重要的就眾齐次化.I练习 8设x.y,z0 t SLxyzh 求

8、证：(/+yX/+z) + (/ + z)(/ + x) + (/ + x)(/ + y)解析:本跛采用均值定理分拆法:由均值定理得:+竺十竺“一竺竺(/ + R/+Z)88(/ + j)(/ + 2) 884x3 巴3*-/+-/七 仃+旳卩+ 2厂 8 T同理:y 、3y / + z / + x (“欣八剧r同理:z n 3z IX Iy (/ + .VX/ + J) G 8 T将上面三式相加得：.V3x + 丿 + z乙(/ + y)(/ + z产乙丁-乙-一乙 TOC o 1-5 h z -1S/ rn3/33I l/ V13厶4/厶2厶4证毕.练习9|设a.b.0 0.求证：_ +丄

9、了+畔.l-a 1-b* lc 2 解析:本毀采用均值定理分拆法: 法一:采用均值定理构造.由均值定理得:AtB + C23*AfiC： 代入式得：2a代入式得：2a2 1-a2 l-a2 32al-a2)(la2) 即:2巴3#2“一右2 .即：2判别函数尸F 几)卩_ &3丽 2&-3、甌-。莎(2-3石刀+ 3、厅77)_八 一 1-厂 22(/-0_2(/-/)当/T 时.F(0)T；当 FT/时.F(0)T8当虫(仇/)时石化单调递增，所以判别式(2-3石莎+ 3/少)可确定其极值.设:加)=2-30& + 3、$富在/ w /)区间求得的)的极小值，则在极小值巾处：#g) = 0即:*(/0)= -3VJ.(y#)+ 3/J.(、”0)= ,即：=1判别函数F的极小值在心处:由式：厂由式：厂(切=由式：厂()=字由式.I的最高次方系数大于判斷5 = j是判别函数F(/啲极小值処P的极小值为：由于当 fTO