2022-2023学年上海市南汇区第一中学高三数学理期末试题含解析

1、2022-2023学年上海市南汇区第一中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则 （） A B C D参考答案：B2. 正四棱锥VABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，则AB两点的球面距为（ ）A B C D 参考答案：B3. 设，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值为（）A1,3 B1,1 C1,3 D1,1,3参考答案：A4. a是一个平面，a是一条直线，则a内至少有一条直线与a （ ）A垂直 B相交 C异面 D平行参考答案：A5. 数列an满足a1=1，S

2、n=n，则a2012=( )A1B2010C2011D2012参考答案：A【考点】数列的求和【专题】计算题；函数思想；等差数列与等比数列【分析】求出数列的通项公式，即可得到结果【解答】解：数列an满足a1=1，Sn=n，可得an=1，则a2012=1故选：A【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查计算能力6. 一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051125之间抽得的编号为（）A056，080，104B054，078，102C054，079，104D056，081，106参考

3、答案：d【考点】B4：系统抽样方法【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到006号，以后每隔=25个号抽到一个人，则以6为首项，25为公差的等差数列，即所抽取的编号为6，31，56，81，106，故选：D7. 已知集合，B=x|，则( )A. (0,1) B. (0,2 C. 2,4) D. (1,2参考答案：D8. 实数对（x，y）满足不等式组则目标函数z=kxy当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k的取值范围是 （ ） A B C D参考答案：C不等式组所表示的区域如图2所示，直线过时z取最大值，即直线在y轴上的截距最小，

4、由图可得直线的斜率，故选C. 9. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为ABCD参考答案：B10. 若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C. D(1,2) 参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,

5、共28分11. 圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为cm，半径为cm，则该圆锥的体积等于 参考答案：略12. (几何证明选做题) 如图，是的直径，是延长线上的一点，过作的切线，切点为，若，则的直径 参考答案：4略13. 已知，是空间中两条不同的直线，是空间中三个不同的平面，则下列命题正确的序号是 若，则； 若，则；若，则； 若，则参考答案：14. 若函数在(0,e)上是增函数，函数，当时，函数的最大值M与最小值m的差为，则a的值为 .参考答案：15. （文）设复数（为虚数单位），若对任意实数，则实数的取值范围为 .参考答案：TT，所以5a2+1-a(2cosq-4sinq)4， T，此式对任

6、意实数成立，等价于， 若a0，则TT； 若a0，则TT. 由知：.16. 已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 个 参考答案：217. 已知锐角、满足，则 参考答案：3 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f(x)=x21(x1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称(1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；(2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)h(x2)|a|x1x2|成立，则称函数y=h(

7、x)为A的利普希茨类函数试证明：y=g(x)是M上的利普希茨类函数参考答案：解析：(1)由y=x21(x1)，得y0，且x=，f1(x)=(x0)，即C2：g(x)= ，M=x|x0 (2)对任意的x1，x2M，且x1x2，则有x1x20，x10，x20|g(x1)g(x2)|=|=|x1x2|y=g(x)为利普希茨类函数，其中a=19. (本小题满分14分)已知数列的前n项和 (n为正整数)。(I)令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；()令，试比较与的大小，并予以证明参考答案：（）在中，令n=1，可得，即.1当时，.2. 又数列是首项和公差均为1的等差数列.4于是.6(II)由（I）

8、得，所以由-得 911于是确定的大小关系等价于比较的大小猜想：当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由猜想显然成立（2）假设时猜想成立即则时，所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时1420. （14分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=CC1=2，ACB=90，E、F分别是BC、的中点。（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值。 参考答案：【答案解析】（1）见解析（2） 解析：（1）证：取CC1的中点M，连接ME，MF，则ME，MF，所以平面MEF平面，又EF平面MEF，EF平面7分 （也可以用线面平行的方法来求证）（2）解

9、；过E做AB的垂线，交AB于点H，连接HF，则EFH即为所求之线面角.10分，14分【思路点拨】（1）取CC1的中点M，连接ME，MF，然后利用面面平行的性质定理可得线面平行；（2）过E做AB的垂线，交AB于点H，连接HF，则EFH即为所求之线面角，再求出其正切值即可.21. 生产，两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件81240328元件71840296（）试分别估计元件、元件为正品的概率；（）生产一件元件，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件，若是正品可盈利100

10、元，若是次品则亏损20元，在（）的前提下（i）求生产5件元件所获得的利润不少于300元的概率； （ii）记为生产1件元件和1件元件所得的总利润，求随机变量的分布列和期望参考答案：解析：（I）由题可知元件为正品的概率为，元件为正品的概率为（2分）（II）（i）设生产的5件元件中正品数为，则有次品件，由题意知,解得，设“生产的5件元件所获得的利润不少于300元”为事件，则（6分）（ii）随机变量的所有取值为150,90,30，-30则所以随机变量的分布列为：1509030-30所以，随机变量的期望为：（12分）略22. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面,，D是棱AA1的中点.（1）证明：平面BDC1平面BDC；（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.参考答案：证明：（1）由题意知BCCC1，BCAC，CC1AC=C，BC平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，DC