2022-2023学年北京中关村中学分校高三数学理联考试题含解析

1、2022-2023学年北京中关村中学分校高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知命题，使为偶函数；命题：函数在上单调递减，则下列命题为真命题的是( )A. B. C. D. 参考答案：D2. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为() 参考答案：D略3. 已知,则“”是“函数 在上为减函数”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：B4. 已知双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一

2、象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且MF2N=60，则双曲线C的离心率为（）ABCD参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由MF2N=60，可得F1PF2=60，由余弦定理可得4c2=16a2+4a22?4a?2a?cos60，即可求出双曲线C的离心率【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|PF2|=2a，|PF1|=4a，|PF2|=2a，MF2N=60，F1PF2=60，由余弦定理可得4c2=16a2+4a

3、22?4a?2a?cos60，c=a，e=故选：B5. 若函数f（x）=sin（2x）的图象向左平移个单位后，得到y=g（x）的图象，则下列说法错误的是（）Ay=g（x）的最小正周期为By=g（x）的图象关于直线x=对称Cy=g（x）在，上单调递增Dy=g（x）的图象关于点（，0）对称参考答案：C【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用y=Asin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数单调性以及它的图象的对称性，得出结论【解答】解：把函数f（x）=sin（2x）的图象向左平移个单位后，得到y=g（x）=sin（2x+）的图象，故g（x）的最小正周期为=，故A正

4、确；令x=，可得g（x）=1，为最大值，故y=g（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；在，上，2x+，故y=g（x）在，上没有单调性，故C错误；x=，可得g（x）=0，故y=g（x）的图象关于点（，0）对称，故D正确，故选：C6. 已知P是圆上异于坐标原点O的任意一点，OP的倾斜角为，则函数的大致图像是（）参考答案：D略7. 已知函数关于原点对称，则函数的对称中心的坐标为( )A B C D参考答案：C略8. 已知直线交于P，Q两点，若点F为该椭圆的左焦点，则取最小值的t值为 A B C D参考答案：B椭圆的左焦点，根据对称性可设，,则，所以，又因为，所以，所以当时，取值最小，选B.9. 在

5、区间内随机取出一个实数，则的概率为（ ）A0.5 B0.3 C0.2 D0.1参考答案：D 【知识点】几何概型K3解析：因为所求事件对应的区间长度为1，所以的概率为，则选D.【思路点拨】由已知条件可知所求概率为几何概型，分别求出所求事件对应的长度区间与总体对应的长度区间，代入公式求值即可.10. 已知函数f(x)=(x-a)(x-b) (其中ab),若f(x)的图像如右图所示,则函数g(x)=ax+b的图像是（ ） A B C D参考答案：答案：A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知两非零向量，满足，则向量与夹角的最大值是 .参考答案：12. 设mR，过定点A的动直

6、线x+my=0和过定点B的直线mxym+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值是参考答案：2【考点】两点间距离公式的应用【分析】由直线过定点可得AB的坐标，由直线垂直可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，由基本不等式可得【解答】解：由题意可得动直线x+my=0过定点A（0，0），直线mxym+3=0可化为（x1）m+3y=0，令可解得，即B（1，3），又1m+m（1）=0，故两直线垂直，|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，由基本不等式可得10=|PA|2+|PB|2=（|PA|+|PB|）22|PA|PB|（|PA|+|PB|）22（）2=（|PA|+|PB|）2

7、，（|PA|+|PB|）220，解得|PA|+|PB|2当且仅当|PA|=|PB|=时取等号故答案为：213. 是虚数单位，能使得成立的成立的最小正整数是 ；【解析】由，得，所以，即,所以最小的正整数为3。参考答案：由，得，所以，即,所以最小的正整数为3。【答案】3 14. 已知函数.（）若点在角的终边上，求的值； （）若，求的值域.参考答案：略15. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y28x+15=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 参考答案：考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：由于

8、圆C的方程为（x4）2+y2=1，由题意可知，只需（x4）2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可解答：解：圆C的方程为x2+y28x+15=0，整理得：（x4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需圆C：（x4）2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可设圆心C（4，0）到直线y=kx2的距离为d，则d=2，即3k24k0，0kk的最大值是故答案为：点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x4）2+y2=4与直线y=kx2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题16.

9、在ABC中，C=90，点M满足，则sinBAM的最大值是 参考答案：17. 已知数列中，若数列单调递增，则实数的取值范围为 ， 参考答案：(0,1) 2n2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S， 已知 （）求证：a、b、c成等差数列； （）若，求b参考答案：（）由正弦定理得：即 即 即 成等差数列。 （） 又 由（）得： 19. 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为（）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交

10、于A，B两点，试求的值参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（）根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方程，运用cos=x，sin=y，即可普通方程；（）求出过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程，代入到圆的方程中，得到关于t的方程，运用韦达定理，以及参数t的几何意义，即可求出结果【解答】解：（）由，可得=4cos4sin，2=4cos4sin，x2+y2=4x4y，即（x2）2+（y+2）2=8；（）过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程为代入（x2）2+（y+2）2=8得t2+2t4=0，A，B对应的参数为t1、t2，则t1+t2=2，t1t2=4，由t的

11、意义可得=+=20. （本小题满分10分）选修4：已知直线经过点，倾斜角。（1）写出直线的参数方程；(4分)（2）设与圆相交于两点、，求点到、两点的距离之积（6分）参考答案：解：（1）直线的参数方程为，5（2）因为A、B都在直线上，所以可设它们对应的参数分别为则，。以直线的参数方程代入圆的方程整理得到 因为是方程的解，从而8所以，10略21. 用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：从这100个螺母中，任意抽取1个，求事件A（6.92d6.94）事件B（6.906.96）、事件D（d6.89）的频率.参考答案：事件A的频率P（A）=0.43，事件B的频率P（B）=0.93，事件C的频率P（C）