专题11：背靠背型解三角形（老师版）

1、专题11：背靠背型解三角形-2022年中考数学解题方法终极训练一、单选题1如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是()A海里B海里C120海里D60海里【答案】B【解析】过点C作CDAB于点D，先解RtACD，求出AD，CD，再根据BD=CD，即可解出AB【详解】如图，过点C作CDAB于点D，则ACD=30，BCD=45，在RtACD中，AD=CA=60=30（海里），CD=CAcosACD=60=（海里），BCD=45，BDC=90，在RtBCD中，BD=CD，AB=AD+B

2、D=AD+CD=（30+）海里，故选：B【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是作高线2如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30，看这栋高楼底部C点的俯角为60，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（）A60mB40mC30mD60m【答案】B【解析】作ADBC于D，由俯仰角得出ADB、CAD的值，则由AD的长及俯仰角的正切值得出BD、CD的长，BC的长即可求出【详解】过A作ADBC，垂足为D在RtABD中，BAD30，AD30m，BDADtan303010（m），在RtACD中

3、，CAD60，AD30m，CDADtan603030（m），BCBD+CD103040（m），即这栋高楼高度是40m故选择：B【点评】本题考查俯角与仰角的定义，要求学生能借助俯角与仰角构造直角三角形并会解直角三角形3如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角度数为，看这栋楼底部C处的俯角度数为，热气球A处与楼的水平距离为100m，则这栋楼的高度表示为（）A100(tan+tan)mB100(sin+sin)mCD【答案】A【解析】过点A作AHBC于点H，利用解直角三角形分别求出BH，CH的长，再根据BC=BH+CH，代入计算可求出BC的长.【详解】过点A作AHBC于点H， A

4、HB=AHC=90， 在RtABH中， BH=AHtanBAH=100tan； 在RtACH中， CH=AHtanCAH=100tan； BC=BH+CH=100tan+100tan=100（tan+tan）m. 故选：A.【点评】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确确定直角三角形是解题的关键.4如图，港口在观测站的正东方向，某船西东从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（）ABCD【答案】C【解析】过点A作ADOB于D先解RtAOD，得出AD=OA=1，再由ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，则AB

5、=AD=2【详解】如图，过点A作ADOB于D在RtAOD中，ADO=90，AOD=30，OA=2，AD=OA=1在RtABD中，ADB=90，B=CAB-AOB=75-30=45，BD=AD=1，AB=AD=即该船航行的距离（即AB的长）为km故选：C【点评】此题考查解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键5如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30，看这栋楼底部C的俯角为60，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（）A160米B（60+160）C160米D360米【答案】C【解析】过点A作ADBC于点D.根据三角函数关系求出BD

6、、CD的长，进而可求出BC的长.【详解】如图所示，过点A作ADBC于点D.在RtABD中，BAD30，AD120m，BDADtan30120m； 在RtADC中，DAC60，CDADtan60120m.BCBDDCm.故选C.【点评】本题主要考查三角函数，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的有关知识，并牢记特殊角的三角函数值.二、填空题6如图，小明与小华利用三角板测量教学楼前雕塑AB的高度小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30，底部B点的俯角为45；小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60已知CD为10米，则雕塑AB的高度是_（，结果精确到0.1米）【答案】6.

7、8米【解析】利用题目中的仰俯角将其转化为题目直角三角形的内角，分别在RtACE中和RtBCE中求得AC和BE的长，两者相加即为雕塑的高【详解】解：过点C作CEAB于EFDA=60，ACE=30ADC=90-60=30，ACD=90-30=60，CAD=180-30-60=90，CD=10，AC=CD=5在RtACE中，AEC=90，ACE=30，AE=AC=，cosACE=，CE=ACcosACE=5cos30=，在RtBCE中，BCE=45，CBE=90-BCE=45，BCE=CBE，BE=CE=，AB=AE+BE=（+）6.8（米）所以，雕塑AB的高度约为6.8米，故答案为6.8米【点评】

8、本题考查了解直角三角形的应用，解决此类题目的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识解答问题7如图，河宽CD为100米，在C处测得对岸A点在C点南偏西30方向、对岸B点在C点南偏东45方向，则A、B两点间的距离是_米（结果保留根号）【答案】100+100【解析】根据正切的定义求出AD，根据等腰直角三角形的性质求出BD，进而得到AB的长【详解】在RtACD中，tanACD，则ADCDtanACD100100（米），在RtCDB中，BCD45，BDCD100（米），ABAD+BD（100+100）米，故答案为：（100+100）【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问

9、题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键8如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30，测得底部B的俯角是60 ，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为_米（结果保留根号）【答案】【解析】由题意可得CAD=30，BAD=60，然后分别解RtADC 和RtADB，求出CD和BD的长，进一步即可求得结果【详解】解：由题意，得CAD=30，BAD=60，则在RtADC中，米，在RtADB中，米，米故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解直角三角形的知识是解题关键9某拦水坝的横截面为梯形， 迎水坡的坡角

10、为，且， 背水坡的坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，坝面宽，坝高则坝底宽_【答案】【解析】添一条辅助线，作BFCD，AE=12m，根据，可得CF的长，根据背水坡AD的坡度，可得DE的长，且AB=EF，坝底CD=DE+EF+FC，可得出答案【详解】解：如图所示，添一条辅助线，作BFCD，AE=12m，且，而，m，又背水坡AD的坡度，故DE=30m，且EF=AB=3m，坝底CD=DE+EF+FC=30+3+16=49m，故答案为：49m【点评】本题主要考察了用正切值求边长，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值为对边斜边，掌握定义就不会算错10如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60方向

11、上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是_（结果保留一位小数，）【答案】20.8【解析】证明ABP是等腰三角形，过P作PDAB，从而求得PD的长即可【详解】解：过P作PDAB于D，AB=24，PAB=90-60=30，PBD=90-30=60，BPD=30，APB=30，即PAB=APB，AB=BP=24，在直角PBD中，PD=BPsinPBD=24=20.8.故答案为：20.8.【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的

12、关键三、解答题11如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东方向与包装公司北偏西方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：，）【答案】不会【解析】过点P作于D，根据角的正切值表示出MD和ND的长，然后列方程求解PD的长度，从而做出判断【详解】解：如图，过点P作于D由题意得在RtPMD中，即在RtPND中，即，即，答：这条公路不会穿越这个住宅小区【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键12如图，为了测量

13、河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在中，测得，米，求河宽（即点A到边的距离）（结果精确到0.1米）（参考数据：，）【答案】河宽约为33.6米【解析】过A作ADBC于D，并设AD=x米，则由已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到河的宽度 【详解】解：如图，过A作ADBC于D，并设AD=x米， C=45，DAC=90-45=45，CD=AD=x，B=64，BD=，BC=50 米，解之得：x33.6，答：河宽约33.6米【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义并结合方程思想求解是解题关键13第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至1

14、6日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度（参考数据：sin53，cos53，tan53）【答案】钟楼AB的高度约为56m【解析】作DFAB于F，根据矩形的性质得到FBDE10，DFB

15、E，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案【详解】解：作DFAB于F，设ABxm，FBEB，DEEB，DFAB，四边形FBED为矩形，FBDE10，DFBE，AF10 x，在RtAFD中，ADF45，DFAFx10，在RtABC中，ACB53，tanACB，BC，由题意得，BEBCCE，即x10 x4，解得，x56，答：钟楼AB的高度约为56m【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键14为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温

16、区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表名称红外线体温检测仪安装示意图技术参数探测最大角：OBC=73.14探测最小角：OAC=30.97安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.140.957，cos73.140.290，tan73.143.300，sin30.970.515，cos30.970.857，tan30.970.600）【答案】该设备的安装高度OC约为2.9m【解析】根据题意可得OCAC，OBC=73.14

17、，OAC=30.97，AB=4m，所以得AC=AB+BC=4+BC，根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可【详解】根据题意可知：OCAC，OBC=73.14，OAC=30.97，AB=4m，AC=AB+BC=4+BC，在RtOBC中，BC=，在RtOAC中，OC=ACtanOAC(4+BC)0.6，OC=0.6(4+)，解得OC2.9（m）答：该设备的安装高度OC约为2.9m【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数得到关于OC的方程是解题的关键15热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0

18、.1m，参考数据：）【答案】【解析】过点A作于点D，根据仰角和俯角的定义得到和的度数，利用特殊角的正切值求出BD和CD的长，加起来得到BC的长【详解】解：如图，过点A作于点D，根据题意，【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握利用特殊角的三角形函数值解直角三角形的方法16如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67方向，距离A地520 km，C地位于B地南偏东30方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）参考数据：（sin67；cos67；tan67；1.73）【答案】地到地之间高铁线路的长约为【解析】过点B作BDAC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论【详解】解：如解图，过点作于点，地位于地北偏东方向，距离地， 地位于地南偏东方向，答：地到地之间高铁线路的长约为【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形17如图，平台AB高为12m