设受有k个几何约束的某力学体系处于平衡状态取体系中任一质点Pi课件

1、设受有k个几何约束的某力学体系处于平衡状态取体系中任一质点Pi课件设受有k个几何约束的某力学体系处于平衡状态取体系中任一质点P 分析力学是拉格朗日等人在十八世纪在牛顿力学基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的方法完全是数学分析，称之为分析力学。建立分析力学的目的是为了用数学方法解决复杂的力学问题，后来的研究发现，分析力学的体系和方法不局限于力学，对物理学的其他领域也非常有用。其原因是将物理规律抽象为数学原理和定理，揭示了物理规律背后更普遍的性质，掌握这些对今后的学习很重要。 这一章的重点是拉格朗日方程，哈密顿正则方程和正则变换在统计物理中有重要应用，泊松括号的概念在量子力学中非常重要。第五

2、章 分析力学 分析力学是拉格朗日等人在十八世纪在牛顿力学第莫培督哈密顿 拉格朗日泊松欧勒高斯莫培督哈密顿 拉格朗日泊松欧勒高斯拉格朗日拉格朗日Lagrange, Joseph Louis，1736-1813 法国数学家，主要研究力学，尤其分析力学。百年以来数学界仍受其理论影响。 于1736年1月25日在意大利西北部的都灵出生。少年时读了哈雷介绍牛顿有关微积分的文章，因而对分析学产生兴趣。他经常与欧拉书信往来，探讨数学难题等周问题的过程，当时只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法， 奠定变分法的理论基础。拉格朗日拉格朗日Lagrange, Joseph Loui1755年，19岁

3、的他就已当上都灵皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与创立都灵科学协会的工作，并于协会出版的科技会刊上发表大量有关变分法、概率论 、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些著作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。 到了1764年，他凭万有引力解释月球天平动问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题木星的四个卫星的运动问题而再度获奖。 同年，他应邀到柏林科学院工作，并在那里居住达20年。1788年，他写了继牛顿后又一重要经典力学著作分析力学。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起

4、来，使力学分析化。他于序言中更宣称：力学已成分析的一个分支。 1755年，19岁的他就已当上都灵皇家炮兵学校的数学教授。不分析力学与矢量力学的区别 在前面各章都是按“牛顿方式”研究力学问题，即为矢量力学。它和分析力学在观点和方法上都有区别。矢量力学所牵涉到的量大都是矢量。力和动量是它的两个基本量；而分析力学是拉格朗日和哈密顿等人所建立的变分原理为基础的，牵涉到的量为标量，基本量是能量。搞清矢量力学与分析力学的主要区别，对解决分析力学有关问题大有好处。分析力学与矢量力学的区别 在前面各章都是按“牛顿方式”研究1、处理有关约束问题时：在矢量力学中须用约束力代替约束条件，但往往由于约束力性质未知，所

5、以事先既要讨论对它作出的某些假设，事后又常常要将它从方程中消去；分析力学在承认这些条件的前提下进行讨论，而不追问需要在何处用什么力来维持这些条件。这样，解题就会方便得多，这是分析力学的一个优点。2、在建立运动微分方程时，在分析力学中可以根据统一的最小作用量原理求得。这样由极值原理所得方程与坐标系无关。当应用矢量力学寻找加速度时，尤其在空间问题中往往要用坐标系或柱坐标中的分量是去解题，这无疑会带来一些困难，这也是在矢量力学中很少使用柱，球坐标系的原因（除非迫不得已）；而在分析力学中这个困难就不复存在。1、处理有关约束问题时：在矢量力学中须用约束力代替约束条件，3、在处理质点组问题时，矢量力学是将

6、个别质点孤立出来，分析每个质点所受的力，再用牛顿定律建立它们的运动微分方程；而分析力学是将质点组看成一个整体，只需求出一个仅与各质点位置（速度）有关的标函数。单凭微分便能获得有关各力的知识，并得到整个质点组的运动微分方程。4、分析力学是以普通原理为基础（微分或积分的方法），采用分析手段导出系统整体的基本运动微分方程，并研究这些方程本身及积分的方法，与数学的关联更加紧密。因此，线性常微分方程组及非线性微分方程经常会碰到，数学上求泛函数的极值方法则是分析力学中哈密顿原理的基础了。所以，具有高等数学知识的读者不难解决较复杂的力学问题。3、在处理质点组问题时，矢量力学是将个别质点孤立出来，分析每约束与

7、广义坐标5.1.1约束的概念和分类在一个力学体系中常存在着一些限制各质点自由运动的条件，我们把这些条件叫做约束。力学体系约束对各质点位置限制的条件通常可以表示为力学体系中质点的坐标、速度和时间的方程。 按约束方程的特性可将约束分为以下几种：（1）稳定约束与不稳定约束如果限制系统位置的约束不是时间t的函数，则约束方程中不显含时间t，这种约束叫做稳定约束。反之，如果约束是时间t的函数，那么这种约束就称为不稳定约束。按约束方程的特性可将约束分为以下几种：（2）可解约束与不可解约束质点始终不能脱离的那种约束叫不可解约束。或如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在某一方向可以脱离，那种约束就叫可解约束。（2

8、）可解约束与不可解约束（3）几何约束与运动约束只限制质点在空间的位置，因而表现为质点坐标的函数的约束被称作几何约束，又叫完整约束。除了限制质点的坐标外，还要限制质点的速度的投影，这种约束叫做运动约束，又叫微分约束。（3）几何约束与运动约束 微分约束经过积分后可变为几何约束，如果它不能积分时，就被称为不完整约束。不能用等式表示的可解约束，是另外一种不完整约束。除了这两种外，其他约束都是完整约束。 微分约束经过积分后可变为几何约束，如果它不能积分时，完整约束与不完整约束COyxvCC*AxByBxAyAvA 约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为不完整约束。圆轮所受约束为完整约束。BOyx完整约束

9、与不完整约束COyxvCC*AxByBxAyAvA 稳定约束不稳定约束不可解约束可解约束（完整约束） 几何约束 运动约束（微分约束）可积不可积非完整约束稳定约束不稳定约束不可解约束可解约束（完整约束） 运5.1.2广义坐标对于n个质点所形成的力学体系，如果有k个几何约束那么独立坐标就减小为 个。这些独立坐标的数目叫做力学体系的自由度。把3n个坐标用s个独立 参数 及t表示这s个独立参量叫做拉格朗日广义坐标。在几何约束情况下，广义坐标的数目和自由度的数目相等。5.1.2广义坐标虚位移：不是由于质点的运动而实际发生的，它是所有想象中可能的位移，取决于质点在此刻的位置和约束条件。在给定瞬时，力系中各

10、质点所作的为约束所允许的、可能发生的无限小位移实位移和虚位移的区别: 在任意的t时刻，虚位移可不止一个，在稳定约束条件下，实位移是虚位移中的一个，当对于不稳定约束，它们并不一致。5.2 虚功原理实位移1.实位移和虚位移质点由于运动实际上发生的位移虚位移：不是由于质点的运动而实际发生的，它是所有想象中实位移虚位移只满足给定瞬时的约束条件，而真实位移除满足约束条件外，还取决于所受的主动力及运动的初始条件。虚位移反映了在约束条件下，体系可能的运动趋势。虚位移有无穷多个。对于稳定约束，实位移是众多虚位移中的一个。虚位移只满足给定瞬时的约束条件，而真实位移除满足约束条件外，对于非稳定约束虚位移应满足给定

11、瞬时的约束条件。虚位移位于给定瞬时约束曲面的切面上。非稳定约束情况下，实位移不是虚位移中的一种，由于曲面运动，不在曲面的切面上。 对于非稳定约束虚位移应满足给定瞬时的约束条件。xyOBAMF 力学体系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移虚位移（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；（2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；（3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；（4）在完整约束下，虚位移方向沿其速度方向。xyOBAMF 力学体系在给定瞬时，为约束所允许的无限5.2.2理想约束作用在质点上的力在任意虚位移中所作的功，叫做虚功。如果作用在一力学体系上诸约束反力在任意虚位移中所作的

12、虚功之和为零，即：那么这种约束叫做理想约束。光滑面、光滑曲线、光滑铰链、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。5.2.2理想约束设受有k个几何约束的某力学体系处于平衡状态取体系中任一质点Pi课件设受有k个几何约束的某力学体系处于平衡状态取体系中任一质点Pi课件设受有k个几何约束的某力学体系处于平衡状态取体系中任一质点Pi课件5.2.3虚功原理在不可解约束的情况下，设受有k个几何约束的某力学体系处于平衡状态。取体系中任一质点Pi，并设作用在此质点上主动力的合力为 ，约束反力的合力为 ，则因在此体系中每一质点都必须处于平衡状态中，故此必有现在让每一质点自它的平衡位置发生一虚位移 ，则由上式得：将n个

13、质点的表达式相加得：5.2.3虚功原理理想约束条件下， ，因此，如果力学体系处于平衡状态，则其平衡条件是由上式可知，受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力学体系的诸主动力在任意虚位移中所作的元功之和等于零。这个关系叫做虚功原理，也叫虚位移原理。或理想约束条件下， ，因此，如果力学体系处于ABPQabO问题：一杠杆在二力P、Q的作用下平衡根据平衡条件：设杠杆绕O点转过一个虚角度A、B 两点有相应的虚位移所以主动力P、Q的虚功之和为：因此：力系的平衡条件可以这样来表述主动力在约束容许的虚位移中的虚功之和为零力系平衡ABPQabO问题：一杠杆在二力P、Q的作用下平衡根据平衡条5.2.4广义力由前

14、面讨论我们知的 虚位移为所以，虚功原理在广义坐标下的表达式为式中称之为广义力。 5.2.4广义力虚功原理的应用 例题1 如图所示, 匀质杆OA, 质量为m1, 长为l1, 能在竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动, 此杆的 A端用光滑铰链与另一根质量为m2,长为l2的匀质杆 AB相连. 在 B端有一水平作用力 .求处于静平衡时, 两杆与铅垂线的夹角1和 2.Al1Bl2Oxy1、判断约束类型是否理想约束?2、判断自由度虚功原理的应用 例题1 如图所示, 匀质杆OA, 质量为m3、分析受力(主动力)ABOxy5、转化成广义坐标4、由虚功原理3、分析受力(主动力)ABOxy5、转化成广义坐标4、由虚功代入虚功原理代入得代入虚功原理代入得可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程: 所以 虚功原理主要用于求解：(1)系统的静平衡位置； (2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的关系.可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程: 所以 虚功应用虚功原理解题的主要步骤是：(1)明确系统的约束类型, 看是否满足虚功原理所要求的条件；(2)正确判断系统的自由度, 选择合适的广义坐标； (3)分析力系受到的主动力；(4)选取广义坐标并将各质点坐标表示成广义坐标的函数 ；(5)求主动力的虚功并令其为零，由