这个空间的几何学就叫做黎曼几何学课件

1、这个空间的几何学就叫做黎曼几何学课件这个空间的几何学就叫做黎曼几何学课件题目：从欧氏几何谈起 Thus Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true. Bertrand Russell(quoted by Chern)9/14/20222题目：从欧氏几何谈起 Thus Mathematics m一、欧氏几何 公元前300年，Euclid总结前人的成果基础上，写出了巨著几何原本（Ele

2、ments,对人类的发展产生了巨大的影响。美国时代周刊主编在一本书中，列出对人类发展最有影响的一百位人物中，Euclid 排在二十二位。欧氏的公理化方法对科学产生了重大影响，一直为后来科学巨匠们所推崇。比如牛顿在写巨著数学原理时，就遵循欧氏的思想和方法。 9/14/20223一、欧氏几何 公元前300年，Euclid总结前人的成欧氏五条基本公理：过两点可连一直线直线可无限延长以一点为中心，任意长为半径可做一个圆所有直角都相等过直线外一点，有只有一直线与已知直线平行9/14/20224欧氏五条基本公理：过两点可连一直线9/10/20226 从这五条公理出发，可演绎出欧氏几何系统，其中第五条就是著

3、名的第五公设。第五条是不是前四条的推论，这是著名的第五公设问题。长达二千多年的时间里，这个问题折磨了一代又一代数学家，直到18世纪中期才被德国数学家Gauss、匈牙利数学家Bolyai、俄罗斯数学家Lobachevsky彻底解决，即第五假设是独立存在的。9/14/20225 从这五条公理出发，可演绎出欧氏几何系统，其中第五条 把第五条改为过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行导出非欧氏几何，即罗氏几何，非欧氏几何直到意大利数学家Beltrami建立了模型之后才被人们所接受。9/14/20226 把第五条改为过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行二、罗氏几何罗氏几何满足如下公理过两点可连一直

4、线直线可无限延长以一点为中心任意长为半径可做一个圆所有直角相等过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行9/14/20227二、罗氏几何罗氏几何满足如下公理9/10/20229 Poincar上半平面模型：取上半平面 按如下的方式 9/14/20228 Poincar上半平面模型：9/10/202210求曲线长度。 若 是 中曲线，长度为 在欧氏平面上，两点之间最短的曲线即测地线，是直线段。在这里，连接两点最短的曲线是中心在 轴上圆弧。半圆弧是最短的曲线，它与欧氏平面中直线段地位一样。9/14/20229求曲线长度。9/10/202211 可验证这里的几何模型满足罗氏的五个假设过两点存在一条“直

5、线”“直线”无限延长（测地）圆存在所有直角相等过一点至少有两“直线”于已知“直线”平行9/14/2022109/10/202212ABYX9/14/202211ABYX9/10/202213YX9/14/202212YX9/10/202214三、球几何 继 Gauss 和 Lobachevsky 之后，Riemann 也研究了几何的基础问题。1854年在 Gtingen 大学，Riemann 做了“关于作为几何学基础的假设”的学术报告，提出了一种更为广泛的几何理论的初始概念，给出了另一种简单的非欧氏几何，即椭圆几何学。 9/14/202213三、球几何 继 Gauss 和 Lobachevs在

6、 中取单位球面 ZYXAB9/14/202214在 中取单位球面ZYXAB9/10/202216在球面上连接两点 与 的曲线中，最短的是过两点的（大圆中短的一段)劣弧,大圆地位与直线在平面中的地线一样，是测地线。满足如下假设过两点至少可连一“直线”（有问题）“直线”可无限延长（测地）圆存在（有问题）直角相等过“直线”外一点没有“直线”与之平行 9/14/202215在球面上连接两点 与 的曲线中，最短的是过两点的（大圆中 把球面上对径点粘起来，不改变原来曲线的长度，这个新的几何模型，就是 Riemann 的一个非欧氏几何,椭圆几何。9/14/202216 把球面上对径点粘起来，不改变原来曲线的

7、长度，这个新的几何球面几何上一些基本结论 球面上三点 ，任何两点不是对径点，连接三点的三条劣弧围成图形称为球面三角形。 定理1 三角形 三角之和为 其中 是三角形的面积。 9/14/202217球面几何上一些基本结论 球面上三点 ABCcba9/14/202218ABCcba9/10/202220定理2 （正弦定理）三角形三个角 与对应三边 关系为定理3 （余弦定理）三角形三个角 与对应三边 关系为 9/14/202219定理2 （正弦定理）三角形三个角 与对应三边 对于罗氏几何也有类似的结论定理1 三角形 三角之和为 其中 是三角形的面积。 9/14/202220对于罗氏几何也有类似的结论9

8、/10/202222定理2 （正弦定理）三角形三个角 与对应三边 关系为定理3 （余弦定理）三角形三个角 与对应三边 关系为9/14/202221定理2 （正弦定理）三角形三个角 与对应三边 四、Riemann 几何 Riemann 在他的报告中，提出了一般的几何学，欧氏几何、罗氏几何、椭圆几何，都是它的特例。这个一般几何学的思想是：在空间中，给出决定任何已知点到任何与之无限接近的点之间的距离法则，这个法则叫做度量。在无限小的范围内欧氏几何关系在其中成立，但并非精确成立。只是区域越小，精确度越大，当空间的距离变大时，就不能按欧氏方法度量距离，这个空间就叫做黎曼空间，这个空间的几何学就叫做黎曼几

9、何学。因此，无限小范围之内，黎曼几何与欧氏几何几乎是一样的。9/14/202222四、Riemann 几何 Rieman 具有内蕴几何的任何光滑曲面，是二维的黎曼几何。实际上光滑曲面在其每一点附近与切平面相差很少，所以在微小的区域里，它的几何与平面欧氏差异很小，可以用平面线近似代替曲面线。 黎曼几何被Einstein用于相对论之后，受到了数学家们的广泛重视，黎曼几何在上世纪初期得到了迅速的发展。Hilbert、Cartan、Hopf、Chern以及Weil等人对几何学的发展都做出了贡献。从那时起，微分几何学在数学发展上起到了核心的推动作用。有一个事实能说明这一点，Wolf奖项从1978开始颁奖

10、到1990有24位数学家有10位，因他们在几何学中的突出贡献而获奖。9/14/202223 具有内蕴几何的任何光滑曲面，是二维的黎曼几何 几何学的发展与物理学发展是密切相关的，杨振宁提出规范场理论，黎曼几何中有联络理论，后来发现这两者本质是一回事，只是用不同的语言对事物的同一个本质的刻划。杨振宁认为数学与物理是“殊途同归”。9/14/202224 几何学的发展与物理学发展是密切相关的，杨 现实空间中，尺度与天文尺度相比很小时，空间是欧氏几何的，当尺度大到天文尺度时，与欧氏的几何有明显的差别了。物理学家认为宇宙不是欧氏空间，是双曲空间。光在宇宙中走的是测地线。（不一定是直线） 现代超弦(Supe

11、rstring)理论认为物质存在的世界是10维的（不是四维），其中四维是时空，还有六维被紧化了，被紧化的那一部分是实六维Calabi-Yau流形。要相建立严密而系统的超理论，必须弄清六维Calabi-Yau流形的分类，这是当前几何学领域中最为重要的研究方向，有很多世界一流的数学家投入工作。9/14/202225 现实空间中，尺度与天文尺度相比很小时，空五、陈省身的贡献 Chern在几何学上做出了巨大贡献，最为重要的是Gauss-Bonnet定理高维推广的内蕴证明纤维丛的陈类（Chern Class)9/14/202226五、陈省身的贡献 Chern在几何学上做出了两维的Gauss-Bonnet

12、定理局部公式整体公式9/14/202227两维的Gauss-Bonnet定理局部公式9/10/2022六、欧拉示性数与可定向紧曲面 三角剖分：图形被分成三角形的并，相邻三角形有相同的公共边，或公共顶点。 记图形 顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ，代数和 为整数与剖分无关，是拓数不变量，称为欧拉示性数。9/14/202228六、欧拉示性数与可定向紧曲面 三角剖分：图形被分成三角形平面图形的欧拉示性数9/14/202229平面图形的欧拉示性数9/10/202231球面的欧拉示性数9/14/202230球面的欧拉示性数9/10/202232环面的欧拉示性数9/14/202231环面的欧拉示性数9/10/202233双环面的欧拉示性数