黎卡提方程的简单解法

1、例例1求方程yexy2 2yex 1 e2x 的解.黎卡提方程的简单解法1黎卡提方程的定义形如：dy P(x)y2 Q(x)y R(x)(1)dx其中P(x), Q(x), R(x)是某区间内的已知函数2黎卡提方程的解法一般情况下，没有初等解法特殊情况下，若已知yo(x)是方程(1)的一个解，则用初等积分法求解.设 y yo z,则曳 dyO dz dx dx dx TOC o 1-5 h z 所以普 dz P(x)(yo z)2 Q(x)(yo z) R(x) dx dx 22P(x)y0 2P(x)yoz P(x)zQ(x)y0 Q(x)z R(x)又因为 50 P(x)y。2 Q(x)y

2、0 R(x) dxdzc所以一 2P(x)yo Q(x) z P(x)z2(2)dx而方程形式为伯努利方程，故可解.3黎卡提方程的几种类型类型一形如：a2跑 dx g(x) f (x)有特解y9凶，故f(x)设y yo z,有曳蛆虫，所以蛆比四义z2尊 dx dx dxdx dx g(x)f (x)又因为6 位义2 g(凶，所以比 2f(yoz 3 z2故方程可解. dx g(x) f (x) dx g(x) g(x)类型二形如：电 y2 f (x)y f (x) dx有特解y f(x)故设y y z，有 dydy0dz,所以 dydz(yz)2f(x)(yz) f (x)dxdxdx dxd

3、xf(x)z故方程可解.又因为 dy0 y f(x)y0 f (x),所以3 z2 (2yf(x)z故方程可解.类型三形如：dy y2 -yi nr1 (n Z)dx x x1有特解y x设y yo z,有型 如dz,所以妫dz (y。z)2 11dx dx dx dx dxxn 1xn又因为也 yo2 普 二1,所以dz z2 (2y0qr)z故方程可解. dx x xdxx类型四形如：a y2 exy ex(为任意常数)dx有特解y e x设 y y。z,有也蛆 dz,所以蛆 dz (yo z)2 ex(y。z) dx dx dx dx dx又因为W0 y。2 exy0ex,所以dz z2

4、 (2y0z ex)z故方程有解.dxdx类型五形如：电 y2 y In x -dxx有特解y ln x2.zyoz In xz2 zlnx故方程有解.设y y2.zyoz In xz2 zlnx故方程有解.dyo2.1dyo dz又因为yo yo In x ,所以2yoz dxx dx dx类型六形如： 虫 y2 2ysin x sin2 x cosx dx有特解：y sin x 设y y z ,有dy蛆dz ,所以dx dx dxdyodz2-dyodz2-yo z 2 yoz sin xdx dx又因为 6yo2 2yosin x sin2xdx故方程有解.3例题sin2xcosx,co

5、sx所以dz dx22yoz z 2zsinx解：原式可化为yy2ex 2ye2x ex e3x,方程有特解y ex令 y yo z ex z,贝U y ex z ,故原式为 zex z 2ex 2 ex z e2x e3xz2ex即-dz2 exdx,两边积分得1 ex c即z -L zze c所以方程的解为y ex 3.e c例 2 求方程 y y2 2ysinx cosx sin2x 的解.解：原式可化为y y2 2y sin x cosx sin2 x,方程有特解yo sin x令 y y0 z sin x z ,贝U ycosx z故原式为 z sin x z 2 2 sin x z

6、 sin x sin2 xz2两边积分得1 x c ,即z , zx c所以方程的解为y sin x .x c例3求方程x2yx2y2 xy 1的解.解：原式可化为y y2 -y x人12令 y yo z z ,则 y x2故原式为z- z -x x1利用伯努利方程的解法可变为z 1x11 ,两边积分得一 x c ln xz一 1、一. . .11即z,所以方程的解为y 1 Jx c ln xx x c In x例4求方程4x2 y y21的解解：原式可化为c 1y2七，方程有特解yo4xz ,贝U yz 2x12x解：方程有特解解：方程有特解y0 1 ,令y y0 z 1 z,则y z解：方

7、程有特解解：方程有特解y0 1 ,令y y0 z 1 z,则y z故原式为z z2x147利用伯努利方程的解法可变为1,两边积分得- zInx12x例5求方程x12x例5求方程x2 3 y2的解解：原式可化为,方程有特解yo一 1即z,所以方程的解为x c ln x2z令 y y。z2z故原式为z利用伯努利方程的解法可变为2z 1，,，I 1两边积分得- 利用伯努利方程的解法可变为2z 1，,，I 1两边积分得- z2即z 1 3 c x3,所以方程的解为y2 x1 3-x31 2x3 c例6例6求方程x2y_ 2xy 20的解解：方程有特解V。V解：方程有特解V。V。z,则2zx。即z2zx。即z利用伯努利方程的解法可变为2z 1两边积分得故原式为x即z,即z,所以方程的解为y1 3c - xx31 4x c3x x c2x1 3 c