河南中考数学第22题命题规律与解题策略

1、河南中考数学第22题命题规律与解题策略河南中考数学第22题命题规律与解题策略在试题考查形式上一般都有三个小问题, 第一问是“问题发现二探索特殊情况下的结论； 第二同是“类比探究二探索一般情况下的结论; 第三问是“拓展延伸”,构造第二问中的数学模 型，探索满足条件的特殊位置中线段的长度或 与线段有关的其他量.基本上都需要分类讨论, 多数是两种情况.在考查内容方面,近三年都考查了线段之 间的数量关系,偶尔涉及线段的位置关系及求 知的度数，其中线段之间的数量关系大多集中 在两条线段相等、两线段之比、三条夏段灌雄的和差关系这三个方面，线段位置关系只有平行 或垂直，求角的度数集中在变化过程中“不变f 的

2、角度方面.考杳的基本图形及变换也相对集 中,都是特殊三角形“手拉手”模型的应用及特 殊三角形的旋转变换.一、中考真题解答思路分析例1 (2018年河南省中考数学第22题)(1)问题发现；如图1,在 AOAB和OCQ中J)A凡 O(：=()D. LAOB LCOD =40 , 连接ACIO交于点JL填空:电的值为 ； 图】的度数为.中孥生堂缴吸(2)类比探究：如图2,在LOAB 和0C0 中,AAOS = L COZ)=90, Z ()A B= Z OCD=30, 连接IC交即的延长线于点M 请判断的值及AAMB的度 图2 BD 数,并说明理由.(3)拓展延伸:在(2)的条件F,将00, 绕点0

3、在平面内旋转,一4刘。所在宜线交于点 .若0D=1 ,UB=5，请直接写出当点C与点 M重合时,4C的长,X汾8 (DAftlB和OCO有公共顶点(), 形象地称为“手拉手”模型.对应顶点连线AC、/?。与另外两组边构成 三角形及三角形OCABOD (依据是两边对应成比例且夹角相等的两个三 角形相似)，相似比是1：1.二中事生型数谡化A C=flO、L 0.4 C= L OBD.，江的值为L BDBD与OA的交点为、，在A.1.W_V和公。 也 利用三角形内角和定理得乙LIJ区乙4 0ZMOt (2)将等腰三角形变为直角三角形，还是 “手拉手”模型.此时.。也加(依据是两边对应成 比例且夹角相

4、等的两个三角形相似). r /)/-，一士二与= 3 tAAMB=A0B=90. BD OD(3)因为满足第2)间的条件，所以可以同理得到第(2)间的结论,即AAas ABOU.- = BD(U=VT,LXB=90Ob当满足点。与点If重合这个条件瞪薄俅线段,4 (：在KtA.4.1/;中,可以利用方程模型解决.难点是当 OCD绕点在平面内旋转时, 判断满足点C与点“重合的情况有几种，如何 确定这几种情况.因为是旋转间圈，并且满足乙，J 上乙4()B= 90，所以点A、M、。、8四点共圆，且9眇旁若继 OC。绕点。在平面内 旋转，所以点c在以点。为圆 心，以“C的长为半径的圆上.前秀夕 TOC

5、 o 1-5 h z 满足点c和点的重合时勿声3y 的位置，是上述两圆的交点处，一“如图3、图4.图3下面求点。与点M重合 二、/时式的艮又&)根据(2)的结论，北二VT,设 bd=l 则 a c=VT %. 在 Ri COO 和 Rt A4 OB 图 4中,()D= 1, ()B= V万，4 OA B= L 0co=300.可得CD=2、AB=2H如图3,在RiZXdJ”?中，根据勾股定理， 有(VT%)2+(2+t)2=(2T )2,解百能名舞&-3(不合题意，舍去).此时.4。=2/3 .如图4,同理可得(/3尸+(%-2)2= (2 V亍)解得”=3,%=-2(不合题意，舍去).此 时

6、 AC=3、/T.AC的长为3/T或2VT.例2 (2017年河南省中考数学第22题)如图 5,在 Rt A.4 BC 中，4A =90 . B=A C, 点D,E分别在边A8,.4C上,AO=4,连接DC, 点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.(1)观察猜想：图5中，线段与2V的 数量关系是，位置关系是.(2)探究证明：把/!绕点,1按逆时针 方向旋转到图6的位置，连接M/V,40,CE,判 断 PMN的形状，并说明理由. 中学一调化(3)拓展延伸：把A0E绕点.1在平面内 自由旋转，若/10=4,. 18= 10,请直接写出 PMS 面积的最大值.08点时、P、N分别为DE出供酚期(

7、1)一,上，(1)一,上，中点，可以联想到三角形中位线,这是常规思路.可以发现PM.PN分别是RDEC、RCDB 的中位线. PM=EC.PN=BD.PM/AC,PN/AB.22由.4 B- l C 和 A D=A E 得 BD=EC,则 PM=PN.又 A8L1C.PM PN.（2）第（2）问也是严格按照第（1）问的思路 进行分析.用到PV,P是DEC、ACDB的中位线的 结论，PV = 1 EC,P= 1 BD/E（P/DB.22第（1）向中BD=EC9BD 1 EC,第（2）阿中也 要证明BD=EC,BD工ECRtABC和RtZAO构成“手拉手”模型， 所以得到RD、EC分别所在的八Bb

8、彩建岁金等，得 80=EC.A4CE可以看作A3。绕点A旋转得到 的，旋转角为直角，所以801EC.综上可知区V是等腰直角三角形.PM= PN,PMLPN.（3）由第（2）问的结论可知 PMA为等帙 直角三角形，且pm=pn,所以5阴八二-P.U a=2PM2.当PM最大时， PVN的面积最大，而 2PM二，Ce,所以可求CE的最大值.2LADE绕点/I在平面内自由旋转，点E运 动的轨迹是以点/I为圆心的长为半径的 圆，如图7.如图7（1）,当点E在线段。1上时，CE最 小；如图7（2）,当点在线段CA的延长线上 时，CE最大.之“一姆化.CE 的最大值二.1C+A E=A 75+. l D=

9、 10+4= 14. 可得Sm八的最大值为?.例3 （2016年河南省中考数学第22题）（1）发现：如图8,点4为 /、线段3c外一动点，且BC%.43二 ）/、 填空；当点/I位于 时，山二一七 线段月。的长取得最大值，且最图大值为（用含ad）的式子表示）.（2）应用：点.4为线段8c外一动点，且8C二 3,48=1,如图9所示，分别以48,4。为边，作 等边三角形AB。和等边三角/形ACE,连接请找 出图中与3七相等的线段.并 说明理由直接写出线段尸 c 8E长的最大值.拜袅期，（3）拓展：如图10（1）,在平面直角坐标系 中，点4的坐标为（2,0）,点B的坐标为（5,0）, 点P为线段，

10、外一动点，且P4=2,PH=P& L =90。,请直接写出线段4M长的最大值 及此时点P的坐标.绚8（1）点运动的路径其实是一个以 点B为圆心“18的长为半径的圆，据此可以求 线段4C的最大值.如图11,当点.4在CB的延长线上时C4 最大，且最大值为a+b.二”切教化（2）显然出现广手拉手”模型,得到4。（2 ABE、则BE=DC,点A为线段5c外一动点, 且8c=3,A8= 1,根据第一问的结论,可知。存 在最大值，最大值为8C+BO=4,所以BE的最大 值是4.（3）根据第（2）间的思路及结论，求AM的 最大值，需要转化线段的“手拉手金峰溪蛰z以点尸为旋转中心，将点.4顺时针旋转90。

11、到点M连接BM如图10（1）.因为乙 3PJ/=90。，所以4 BPN= /.MPA.又因为PM=PB ,所以 J/P1妾3PV.得 AM=BX易知点N的运动轨迹是以点A为圆心.以 2VT为半径的圆.当点N在的延长线上 时，AV最大.RY的最大值为以+LV,即&-必+ /河+桥=3+2a/T.故AM长的最大值为3+ 2MT.此时，点P的位置如上页图10（2）所示, 易求得点产的坐标为（2-VT,3r）.二、解题策略分析L解题思路可以概括为“三找一搬”（1）找特征：找中点、特殊角、特殊三角形、 特殊四边形、折叠、旋转等.例如,2018年中考题（这里均特不特密序中考数学试题，下面不再一一说明）第2

12、2题第（I） 问中找到两个顶角都为40。的等腰三角形，片 也可以看作/1。C绕点旋转得到的.2 017年 中考题第22题第（1）问中找到中点这个特殊 点，进而利用三角形中位线定理解决问题.（2）找思路；借助各个小问题之间的联系. 从特殊到一般，先找到第（1）间的解决思路.第（1）问基本上都是特殊的情况,利用特 殊情况下的推理方法，形成解决问题的思路.例 如2018年中考题第22题中，根据特殊三角形 构造“手拉手”模型，得出三角形相似的特殊 情形三角形全等，推理出线段之比，以及利 用三角形内角和定理得出所求角的度数.解答 2017年中考题第22题时也是在特殊的情况 下,利用三角形中位线性质得出两

13、线段相等和 垂直的关系.之中的身组化（3）找模型：找全等结构模型、相似结构模 型等.证明线段之间的关系，比如证明两线段相 等.一般构造三角形全等的结构模型,利用全等 三角形的性质得出对应线段相等；而证明线段 长度之间的比例关系，大多要构造三角形相似 的结构模型，利用相似三角形对应运成喉绯幄立未知量与已知量的联系.2018年中考题第22 题中构造的是相似比为1的两相似三角形， 2017年中考题第22题中构造的是三角形中位 线，得出两线段的数量关系和位置关系一2018年中考题第22题第（3）问中，除了分 类讨论找满足条件的两种情况，解决问题时仍 然用到第（2）问的结论.2017年中考题第22题 第

14、（3）问中也需要分类讨论.找到满足条件的一 种情况，根据第（2）问的结论（ PMN是等腰直 角三角形）解决问题.2016年中考题第22题第 （3）问中利用第（2）问的“手拉手”模型，通过作 辅助线构造了全等结构模型.（4）照搬：照撤上一个问题的方法和思路 解决下一个问题.如照搬辅助线、照搬全等模 型、照搬相似模型等.2018年中考题第22题第（2）匕中薇救弟（1）问的三角形相似模型，求角的大小时照搬三 角形内角和定理的应用；2017年中考题第22题 第（2）问中照搬第（1）间的中位线模型；2016年 中考题第22题第（2）问中照搬第（I）问的模型.学会“三找一搬”的思路后，大家也要熟悉 常见的

15、三角形全等和三角形相似的结构模型.常用的“手拉手”结构模型全等型，手拉手，全等结构模型的特征：有公共顶 点的两个三角形中，存在等线段.连接对应顶 点，形成的共有顶点的三角形全等.全等结构模 型可以概括为以下几种情况.“平移”型，如图12.（2）“旋转”型，如图13.图13所渭“手拉手”旋转模型，就是把两个全等 或相似的三角形.绕着一对重合的邓庵座点进行旋转，在旋转的过程中，再次生成一对全等或 相似的三角形.一般需要通过证明得到另一组相等的角.(3)“三垂直”型，如图17.行旋转，在旋转的过程中，再次生成一对全等或 相似的三角形.一般需要通过证明得到另一组相等的角.(3)“三垂直”型，如图17.

16、常用的“手拉手”结构模型相似型“手拉手”相似结构模型的特征：有公共顶 点的两个三角形中.存在成比例线段.连接对应 顶点，形成的共有顶点的三角形相似.相似结构 模型可以概括为以下几种情况. 二中学生优血化两三角形有一个公共角或有公共部分 的两等角时，需要找另一对相等的角或角的两 边对应成比例的条件.(2)“X”型，如图 16.第(3)问分类讨论时常用“隐形圆”确定 特殊位置当题中出现满足圆的条件时，把隐形的圆 补充出来，利用圆的有关知识去解决，会达到事 半功倍的效果.(I)四点共圆模型.满足一定条件的四点共 圆.如图18,不在同一直线上的四点/1,5,C,0, 满足同一线段;15所对的两个角(两个角在该 线段同侧)相等,即乙4以二乙408,那么这四 点共圆.2018年中考第22期中用到此类隐形 圆.两三角形有一组隐含的等角(？3t然雅协(2)圆外一定点到网上所有点的距离中， 过圆心的线段的长度出现最值.如图19,点。是 0()外的一个定点，则点。到。上所有点的 距离中，P3最大，21最小.解答2016年、2017 年中考第22题时用到此类隐形圆.三、提分策略第(1)问可以根据图形猜想结论，也可以 用尺子量一量猜想线