大学数学(高数微积分)第十章线性函数第三节(课堂讲解)

1、主要内容双线性函数的定义举例第三节 双线性函数度量矩阵非退化双线性函数对称双线性函数一、双线性函数的定义定义 5 V 是数域 P 上一个线性空间，f (, )是 V 上一个二元函数，即对 V 中任意两个向量 , ，根据 f 都唯一地对应于 P 中一个数 f (, ) .如果 f (, ) 有下列性质：1) f (, k11 + k22) = k1 f (, 1) + k2 f (, 2); 2) f (k11 + k22 , ) = k1 f (1, ) + k2 f (2, ), 其中 , 1 , 2 , , 1 , 2 是 V 中任意向量， k1 , k2 是 P 中任意数，则称 f (

2、, ) 为 V 上的一个双线性函数.这个定义实际上是说对于 V 上双线性函数f ( , )，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.二、举例例 1 欧氏空间 V 的内积是 V 上双线性函数.例 2 设 f1()， f2() 都是线性空间 V 上的线性函数，则f ( , ) = f1() f2()， , V是 V 上的一个双线性函数.例 3 设 P n 是数域 P 上 n 维列向量构成的线性空间.X , Y P n , 再设 A 是 P 上一个 n 级方阵.令f (X , Y ) =XTAY , (1)则 f (X , Y ) 是 P n 上的一个双线性函数.如果设 XT = (x1,x2,

3、 ,xn) , YT = (y1, y2,yn) , 并设则(1) 或 (2) 实际上是数域 P 上任意 n 维线性空间 V 上的双线性函数 f ( , ) 的一般形式.事实上取 V 的一组基 1 , 2 , , n .设则令aij = f (i , j) , i , j = 1 , 2 , , n .则 (3) 就成为 (1) 或 (2) .三、度量矩阵定义 6 设 f ( , ) 是数域 P 上 n 维线性空间 V 上的一个双线性函数.1 , 2 , , n 是 V 的一组基，则矩阵叫做 f ( , ) 在 1 , 2 , , n 下的度量矩阵.上面的讨论说明，取定 V 的一组基 1 ,

4、2 , , n 后，每个双线性函数都对应于一个 n 级矩阵，就是这个双线性函数在基 1 , 2 , , n 下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的.反之，任给数域 P 上一个 n 级矩阵对 V 中任意向量 = (1 , 2 , , n )X 及 = (1 , 2 , , n)Y ，其中 XT = (x1 , x2 , , xn) , YT = (y1 , y2 , , yn)，用定义的函数是 V 上一个双线性函数.容易计算出f ( , ) 在 1 , 2 , , n 下的度量矩阵就是 A .因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数

5、与P 上全体 n 级矩阵之间有一个双射.在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间有什么关系呢？设 1 , 2 , , n 及 1 , 2 , , n 是线性空间V 的两组基：(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n ) C. , 是 V 中两个向量 = (1 , 2 , , n )X = (1 , 2 , , n ) X1 ， = (1 , 2 , , n )Y = (1 , 2 , , n ) Y1 .那么X = CX1 , Y = CY1 .如果双线性函数 f ( , ) 在 1 , 2 , , n 及1 , 2 , , n 下的度量矩阵分别为 A

6、, B .则有f ( , ) = XTAY = (CX1)TA(CY1)= X1T(CTAC)Y1 .又 f ( , ) = X1TBY1 . 因此B = CTAC .这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.四、非退化双线性函数定义 7 设 f ( , ) 是线性空间 V 上一个双线性函数，如果f ( , ) = 0，对任意 V , 可推出 = 0 , f 就叫做非退化的.可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是非退化的.设双线性函数 f ( , ) 在基1 , 2 , , n 下的度量矩阵为 A ，则对 = (1 , 2 , , n )X ， = (1 , 2 , , n )Y

7、 ，有 f ( , ) = XTAY .如果向量 满足f ( , ) = 0， 对任意 V , 那么对任意 Y 都有XTAY = 0 .因此XTA = 0 .而有非零向量 XT 使上式成立的充要条件为 A 是退化的，因此易证双线性函数 f ( , ) 是非退化的充要条件是其度量矩阵 A 为非退化矩阵.对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵我们已有较完整的理论.以下我们就转向这种特殊的也是重要的情形.五、对称双线性函数定义 8 f ( , ) 是线性空间 V 上的一个双线性函数，如果对 V 中任意两个向量 , 都有f ( , ) = f ( ,

8、 ) ，则称 f ( , ) 为对称双线性函数.如果对 V 中任意两个向量 , 都有f ( , ) = - f ( , ) ，则称 f ( , ) 为反对称双线性函数.设 f ( , ) 是线性空间 V 上的一个对称双线性函数，对 V 的任一组基 1 , 2 , , n ，由于f (i , j ) = f (j , i ) ，故其度量矩阵是对称的，数 f ( , ) 在 1 , 2 , , n 下的度量矩阵是对称的，那么对 V 中任意两个向量 = (1 , 2 , , n )X ， = (1 , 2 , , n )Y ，有 f ( , ) = XTAY = YTATX = YTAX = f (

9、 , ) . 另一方面，如果双线性函因此 f ( , ) 是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵.同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数, 而且它在任一组基下的度量矩阵是正定矩阵.根据二次型一章中关于对称矩阵在合同变换下的标准形的理论，我们有下述定理.定理 5 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，f ( , ) 是 V 上对称双线性函数，则存在 V 的一组基 1 , 2 , , n ，使 f ( , ) 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.证明只要证明能找到一组基 1 ,

10、 2 , , n ，使f (i , j ) = 0 , i j .如果对 V 中一切 , 都有 f ( , ) = 0 , 则结论成立.如果 f ( , ) 不全为 0 ，先证必有 1 使f (1 , 1 ) 0 .否则，若对于所有 V 皆有 f ( , ) = 0，那么对任意 , V ，有矛盾，所以这样的 1 是存在的.现在对空间维数n 作归纳法.设对于维数 n - 1 的空间，上述结论成立.将 1 扩充成 V 的一组基 1 , 2 , , n ，令则f (1 , i ) = 0 , i = 2 , , n .易知 1 , 2 , , n 仍是 V 的一组基, 考察由2 , , n 生成的线

11、性子空间 L(2 , , n )，其中每个向量 都满足 f (1 , ) = 0 , 而且V = L(1) L(2 , , n ) .把 f ( , ) 看成 L(2 , , n ) 上的双线性函数，仍然是对称的，归纳法假设， L(2 , , n ) 有一组基 2 , , n 满足f (i , j ) = 0 , i , j = 2 , , n , i j . 由于 V = L(1) L(2 , , n ) ，故 1 , 2 , , n 是 V 的一组基，且满足要求.证毕但是 L(2 , , n ) 的维数小于 n，由如果 f ( , ) 在 1 , 2 , , n 下的度量矩阵为对角矩阵，那

12、么对f ( , ) 有表达式f ( , ) = d1x1y1 + d2x2y2 + + dnxnyn . 这个表示式也是 f ( , ) 在 1 , 2 , , n 下的度量矩阵为对角形的充分条件.推论 1 设 V 是复数域上 n 维线性空间f ( , ) 是 V 上对称双线性函数，则存在 V 的一组基 1 , 2 , , n ，对 V 中任意向量有f ( , ) = x1y1 + x2y2 + + xryr (0 r n) . 推论 2 设 V 是实数域上 n 维线性空间f ( , ) 是 V 上对称双线性函数，则存在 V 的一组基 1 , 2 , , n ，对 V 中任意向量有f ( ,

13、) = x1y1 + + xpyp - xp+1yp+1 - - xryr(0 p r n) .对称双线性函数与二次齐次函数是 1 - 1 对应的我们首先给出下述定义：定义 9 设 V 是数域 P 上线性空间， f ( , ) 是 V 上双线性函数，当 = 时，V 上函数f ( , ) 称为与 f ( , ) 对应的二次齐次函数.给定 V 上一组基 1 , 2 , , n ，设 f ( , ) 的度量矩阵为 A = (aij)n n .对 V 中任一向量有式中 xixj 的系数为 aij + aji . 因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为A = (aij)n n 及 B = (bij)n

14、n ,只要aij + aji = bij + bji i , j = 1 , 2 , , n ,那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果我们要求 A 为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从 (1) 看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是 1 - 1 对应的 ,而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数的度量矩阵.下面讨论反对称双线性函数.定理 6 设 f ( , ) 是 n 维线性空间 V 上的反对称双线性函数，则存在 V 的一组基1 , -1 , ,

15、r , -r , 1 , , s 使证明如果 f ( , ) 是零函数，那么 V 的任一组基都可取作 1 , , s 而满足要求.如果 f ( , ) 不是零函数，则必有 1 , 使f (1 , ) = 0 .因为 f (1 , ) = f (1 , ) 故可取 适当的 ，令 -1 = ，而使 f (1 , -1) = 1 .将1 , -1 扩充成 V 的一组基1 , -1 , 3 , n 令i = i - f (i , -1 ) 1 + f (i , 1 ) -1 ,i = 3, 4, , n ,f (i , 1 ) = f (i , -1 ) = 0 , i = 3, 4, , n .则显

16、然 1 , -1 , 3 , , n 仍是 V 的基.于是V = L(1 , -1 ) L(3 , , n ) ，并且 f ( , ) 看作 L(3 , , n ) 上的双线性函数仍是反对称的.因此应用归纳法，有 L(3 , , n ) 的基 2 , -2 , , r , -r , 1 , , s 满足 (2) .由于f ( 1, i ) = f ( -1, i ) = 0 , i = 3, 4, , n ，因此对任一 L(3 , , n ) 都有f ( 1, ) = f ( -1, ) = 0 ,故 1 , -1 , , r , -r , 1 , , s 也满足 (2) .证毕从定理 5 可

17、知, V 上的对称双线性函数 f (, ) 如果是非退化的，则有 V 上的一组基 1 , 2 , , n 满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做V 的对于 f ( , ) 的正交基.而从定理 6 可知，V 上的反对称双线性函数f ( , ) 如果是非退化的，则有 V 的一组基1 , -1 , , r , -r由于非退化的条件，定理 6 中的 1 , , s 不可能出现.因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间 V，我们也可以将这些双线性函数看成 V 上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难推广

18、进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.定义 10 设 V 是数域 P 上的线性空间，在 V上定义了一个非退化双线性函数，则 V 称为一个双线性度量空间.当 f 是非退化对称双线性函数时，V 称为 P 上的正交空间；当 V 是 n 维实线性空间， f 是非退化对称双线性函数时，V 称为准欧氏空间；当 f 是非退化反对称双线性函数时 ,称 V 为辛空间.有着非退化双线性函数 f 的双线性度量空间常记为 (V , f ) .本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束