概率计算好题分享（包含概率最值求导）

1、（2020山东省仿真联考2）2020年4月8日，武汉市雷神山医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳性，现有份核酸样本，有以下两种检测方式：（1）逐份检测，则需要检测次；（2）混合检测，将其中(，且)份核酸样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，这份核酸样本全为阴性，因而这份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这份核酸样本究竟哪几份为阳性，就要对这份样本再逐份检测，此时这份核酸样本的检测次数总共为次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.（1）假设有5份核酸样本，其中只有2份样本为阳性，若采用

2、逐份检测方式，求恰好经过4次检测就能把阳性样本全部检测出来的概率.（2）现取其中(，且)份核酸样本，记采用逐份检测方式，样本需要检测的总次数为，采用混合检测方式，样本需要检测的总次数为.试运用概率统计的知识，若，试求关于的函数关系式；若，用混合检测方式可以使得样本需要检测的总次数的期望值比逐份检测的总次数期望值更少，求的最大值.参考数据：【答案】（1）；（2）(，且)；.【解析】（1）由题意可知，故恰好经过4次检测就能把阳性样本全部检测出来的概率为. （2）由已知得的所有可能取值为1，. 若，则，即，故关于的函数关系式为(，且).由题意可知，得，设，则，当时，即在上单调递减. .的最大值为4.

3、18（2021届广东高三月考）在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜

4、局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率p（x）.【答案】（1）（2）x的取值为2或4, .【解析】（1）甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为，（2）根据比赛规则，x的取值只能为2或4,对应比分为两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为；两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球

5、乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为.30（2021山东威海市高三期末）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病对于份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验次.二是混合检验，将份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则份血液检验的次数共为次.已知每位体检人未患有该

6、疾病的概率为，而且各体检人是否患该疾病相互独立.（1）若，求位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;（2）某定点医院现取得位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:方案一:采用混合检验;方案二:平均分成两组，每组位体检人血液样本采用混合检验.若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.【答案】（1）；（2）当或时，方案一更“优”； 当或时，方案一、二一样“优”；当时，方案二更“优”.【解析】（1）根据题意，3人混检样本为阴性的概率为，故根据对立事件得答案；（2）采取方案一，检验次数记为，可能取值为，进而列概率分布列，求期望；采取方案二，记检验次数为，可能取值为，进而列概率分布列，求期望得，再作差分情况讨论即可得答案.【详解】解：(1)该混合样本阴性的概率是，根据对立事件可得，阳性的概率为(2)方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为，则的可能取值为，其分布列为:则，方案二:由题意分析可知，每组份样本混合检验时，若阴性则检测