题型归纳：平面向量在解析几何中的运用

1、公众号品数学高中数学资料共享群QQ群号284110736平面向量在解析几何中的运用向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命中的热点问题。它们具体结合体现在夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将向量语言坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题【例1】已知椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若是线段上一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围为_.【答案】【解析】试题分析：由题意得，设，取的中点，由，则，解得点，又，所以，

2、由三角形的中位线可知，即，整理得，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆上，所以使得圆与椭圆有公共点，则，所以椭圆的离心率为【方法归纳】本题的解答中设出点的坐标，取的中点，可转化为，代入点的坐标，可得点的轨迹方程，只需使得圆与椭圆有交点即可得到的关系，求解椭圆离心率的取值范围.【变式练习】已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （ ）A B C D 【答案】B【解析】由题意得，设，由，得，因为在的渐近线上存在点，则，即 ，又因为为双曲线，则，故选B题型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】已知圆，点是直线l：上的动点

3、，若在圆C上总存在不同的两点A，B使得，则的取值范围是_【答案】【解析】在圆上总存在不同的两点使得，四边形OAPB是菱形，直线垂直平分OP当直线的斜率为0时，由直线得，此时在圆上不存在不同的两点满足条件当直线的斜率不存在时，由直线可得，此时直线的方程为，满足条件当直线的斜率存在且不为0时，直线的方程为，即，由题意得圆心到直线的距离，即，又，解得的取值范围是【方法归纳】解答本题的关键有两个：一个是根据题意得到四边形OAPB是菱形，于是垂直平分，进而转化为坐标运算处理二是针对直线的斜率的取值情况进行分类讨论，在每种情况下判断是否满足条件，最后将问题转化为圆心到直线的距离小于半径求解考查转化和计算能

4、力，具有综合性和难度【变式练习】已知抛物线：的焦点为，点，直线与抛物线交于点（在第一象限内)，与其准线交于点，若，则点到轴距离为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为根据三角形相似可得直线的倾斜角为，从而斜率为，进而可求得，于是可求得点的纵坐标，根据点在曲线上可得其横坐标，即为所求【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为，设准线与y轴交于点过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则，,直线的倾斜角为，解得又由得，即，设，则，又点在第一象限，即点到轴距离为故选B题型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程【例3】（2020荆州模拟）已知对任意平面向量，把绕其

5、起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点设平面内曲线上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线，则原来曲线的方程是（ ）A B C D 【答案】A【解析】设平面内曲线上的点，则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点，点在曲线上，整理得 故选A【方法归纳】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出

6、点的轨迹方程【变式练习】以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左右焦点分别是，已知点的坐标为，双曲线上的点，满足，则 （）A2B4C1D【答案】A【解析】作出简图如下椭圆，其顶点坐标为 焦点坐标为（，双曲线方程为 由，可得在与方向上的投影相等， 直线的方程为即：，把它与双曲线联立可得 ，轴，又，所以，即是 的内切圆的圆心， 故选A题型四 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例4】设，分别是椭圆的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为ABCD【答案】A【解析】因为F1是椭圆的左焦点，直线过F1交y轴于C点所以 ，即 因为，所以又因为，所以在三角形AF1F2中，根据余弦定理可得 ，代入得，化简得 所以离心率为 ，所以选A【变式练习】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点， 为右焦点，延长与交于点，若为钝角，