函数导数解题方法计划知识点技巧总结计划

1、函数及导数解题方法计划知识点技巧总结计划函数及导数解题方法计划知识点技巧总结计划26/26函数及导数解题方法计划知识点技巧总结计划函数与导数解题方法知识点技巧总结高考试题中，对于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型：（1）求曲线yf(x)在某点出的切线的方程（2）求函数的解析式（3）讨论函数的单一性，求单一区间（4）求函数的极值点和极值（5）求函数的最值或值域（6）求参数的取值范围（7）证明不等式（8）函数应用问题在解题中常用的相关结论（需要熟记）：（1）曲线yf(x)在xx0处的切线的斜率等于f(x0)，且切线方程为yf(x0)(xx0)f(x0)。2）若可导函数yf(x)在xx0处获得

2、极值，则f(x0)0。反之不建立。3）对于可导函数f(x)，不等式f(x)0(0)的解是函数f(x)的递加（减）区间。4）函数f(x)在区间I上递加（减）的充要条件是：xI,f(x)0(0)恒建立（f(x)不恒为0）.（5）若函数f(x)在区间I上有极值，则方程f(x)0在区间I上有实根且非二重根。（若f(x)为二次函数且IR，则有0）。（6）若函数f(x)在区间I上不仅一且不为常量函数,则f(x)在I上有极值。（7）若xI,f(x)0恒建立，则f(x)min0；若xI,f(x)0恒建立，则f(x)max0（8）若x0I使得f(x0)0，则f(x)max0；若x0I使得f(x0)0，则f(x)

3、min0.（9）设f(x)与g(x)的定义域的交集为I，若xI,f(x)g(x)恒建立，则有f(x)g(x)min0.（10）若对x1I1,x2I2,f(x1)g(x2)恒建立，则f(x)ming(x)max.若对x1I1,x2I2，使得f(x1)g(x2)，则f(x)ming(x)min.若对x1I1,x2I2，使得f(x1)g(x2)，则f(x)maxg(x)max.11）已知f(x)在区间I1上的值域为A,g(x)在区间I2上值域为B，若对x1I1,x2I2使得f(x1)g(x2)建立，则AB。12）若三次函数f(x)有三个零点，则方程f(x)0有两个不等实根x1,x2且f(x1)f(x

4、2)013）证题中常用的不等式:lnxx1(x0)（仅当x1时取“”）ln(x1)x(x1)（仅当x0时取“=”）ln(1x2)x(x0)lnxx1(x1)x12ln2x112(x0)x22xf(x)ex1xex1x函数与导数解答题常有题型的解法1）已知曲线yf(x（)含参数）的切线方程为ykxb，求参数的值【解法】先设切点坐标为(x0,y0)，求出切线方程f(x0)(xx0)f(x0)再与已知切线方程比较系数得:f(x0)k,解此方程组可求参数的值xf(x0)f(x0)b2）已知函数yf(x)（含参数），讨论函数的单一性【解法】先确立f(x)的定义域，并求出f(x)，察看f(x)能否恒大于或

5、等于（恒小于或等于）0，假如能，则求参数的范围，讨论便从这里开始，当参数在上述范围之外取值时，令f(x)0，求根x1,x2.再分层讨论，是否在定义域内或讨论x1,x2的大小关系，再列表讨论，确立的单一区间。（大多数函数的导函数都可以转变为一个二次函数，所以讨论函数单一性问题又常常是讨论二次函数在某一区间上的符号问题）3）已知函数yf(x)（含参数）在区间I上有极值，求参数的取值范围.【解法】函数f(x)在区间I上有极值，可转变为方程f(x)0在区间I上有实根，且为非二重根。从而确立参数（或其取值范围）。4）可导函数f(x)（含参数）在区间I上无极值，求参数的取值范围【解法】f(x)在区间I上无

6、极值等价于f(x)在区间在上是单一函数，从而获得f(x)0或f(x)0在上恒建立（5）函数f(x)（含单个或多个参数）仅在xx0时获得极值，求参数的范围【解法】先由f(x)0，求参数间的关系，再将f(x)表示成f(x)=(xx0)g(x)，再由g(x)0(0)恒建立，求参数的范围。（此类问题中f(x)一般为三次多项式函数）6）函数f(x)（含参数）在区间I上不仅一，求参数的取值范围【解法一】转变为f(x)在I上有极值。（即f(x)0在区间I上有实根且为非二重根）。【解法二】从反面考虑：假定f(x)在I上单一则f(x)0(0)在I上恒建立，求出参数的取值f(x)minf(x)max范围，再求参数

7、的取值范围的补集7）已知函数f(x（)含参数），若x0I，使得f(x0)0（0）建立，求参数的取值范围.【解法一】转变为f(x)在I上的最大值大于0（最小值小于0）【解法二】从反面考虑：假定对xI，f(x)0(0)恒成立则0（0）,求参数的取值范围，再求参数的取值范围的补集8）含参数的不等式恒建立，求参数的取值范围【解法一】分别参数求最值【解法二】结构函数用图像注：对于多变量不等式恒建立，先将不等式变形，利用函数的最值消变元，转变为单变量不等式恒建立问题9）可导函数f(x)（含参数）在定义域上存在单一递加(减)区间，求参数的范围.【解法】等价转变为f(x)0（0）在定义域上有解即x0I使f(x

8、0)0（0）建立1）可用分别参数法（2）利用图像及性质10）证明不等式【解法】结构函数f(x)并确立定义域I，察看在I上的性（注意区端点的函数）或许求f(x)在I上的最注：于含有正整数n的省略号的不定式的明，先察通，想基本不定式，确立要明的函数不定式，再自量x，令x分等于12,LL,n,把些不定式累加，可得要的不定式。）1.已知函数f(x)4x2x，实数s,t知足f(s)f(t)0，设a2s2t,b2st.（1）当函数f(x)的定域1,1，求f(x)的域；2）求函数关系式bg(a)，并求函数g(a)的定域；3）求8s8t的取范.1）若x1,1，令m2x1,2，21分f(x)l(m)mm(m2)

9、4在2,2上增函数212112分f(x)minl(m)minl(1)1；f(x)maxl(m)maxl(2)2，243分f(x)域14,2.4分（2）数s,t足f(s)f(t)0，4s2s4t2t0，(2s2t)222st(2s2t)0，6分而a2s2t，b2st，故a22ba0，bg(a)2(aa)，7分12由意，b0,a0，12(aa)0，故2a1，8分又2s2t4s4t2(2s22t)2，即aa2，故a2，当且当st获得等2号，9分上：1a2.10分（3）8s8t(2s2t)(4s2s2t4t)aab()a(a1a21a)1a33a2，2222a(1,212分令h(a)1332(1,2，

10、2a2a,ah(a)3a230当a(1,2恒成3aa(a2)22立，14分故h(a)在a(1,2增，h(a)(h(1),h(2)，故8s8t(1,2.16分2.已知函数f(x)ex,g(x)ax2bxc。1）若f（x）的象与g（x）的象所在两条曲的一个公共点在y上，且在点两条曲的切相互垂直，求b和c的。2）若ac1，b0，比f（x）与g（x）的大小，并明原因；3）若bc0，明：随意定的正数a，存在正数m，使合适x(m,)，恒有f（x）g（x）建立。解:ac1，b0，g(x)x21，5分x0，f(0)1，g(0)1，即f(x)g(x)x0，f(x)1，g(x)1，即f(x)g(x)x0，令h(x

11、)f(x)g(x)exx21,h(x)ex2x.k(x)h(x)=ex2x，k(x)=ex2，当xln2,k(x)0,k(x)减;当xln2,k(x)0,k(x)增.所以当xln2,k(x)获得极小,且极小k(ln2)eln22ln22ln40即k(x)h(x)=ex2x0恒建立，故h(x)在R上增,又h(0)0,所以,当f(x)g(x).上，当x,f(x)g(x)x00,h(x)h(0)0,即9分,f(x)g(x)；当x0,f(x)g(x)；当x010分法一：若0a1，由知，当x0,exx21.即exx2ax2，所以，0a1，取m0，即有当xm，恒有exax2.若a1,f(x)g(x)即ex

12、ax2，等价于xln(ax2)即x2lnxlnat(x)x2lnxlna,t(x)12x2令xx.当x2,t(x)0,t(x)在(2,)内增.取x0ae2,x0e22，所以t(x)在(x0,)内增.又t(x0)e2a2lne2alnae2a43lna7a43lna4(a1)3(alna)0即存在mae2,当xm，恒有f(x)g(x).15分上，随意定的正数a，存在正数m，使合适xm，恒有f(x)g(x).16分法二：exex(x2)，h(x)x2，h(x)x3当x(0,2)，减，当x(2,)，0，h(x)0h(x)h(x)h(x)增，故h(x)在(0,)上有最小，e212h(2)4，分2若ae

13、4，h(x)2在(0,)上恒建立，2即当ae4，存在m0，使当x(m,),恒有f(x)g(x)；2若ae4，存在m2，使当x(m,),恒有f(x)g(x)；若ae2，同明一的4，15分上可得，随意定的正数a，存在m,当x(m,),恒有f(x)g(x).16分函数f(x)=x2lnx-ax2+b在点(x0,f(x0)的切方程y=-x+b.(1)务实数a及x0的值；(2)求证：对随意实数，函数f(x)有且仅有两个零点.4.f(x)lnxxaxb；（取e2.8，取ln20.7，取21.4）已知函数1，g(x)（1）若函数h(x)f(x)g(x)在(0,)上增，求数a的取范；（2）若直g(x)axb是

14、函数f(x)1ab的最小；lnx象的切，求x（3）当b0，若f(x)与g(x)的象有两个交点A(x1,y1)、B(x2,y2)，求：x1x22e2解析：（1）由h(x)f(x)g(x)lnx1axb，得h(x)11a；xxx2h(x)f(x)g(x)在(0,)上增，x0，都有11h(x)a0，（求出数分）x2x即x0，都有a11，110，a0；xx2xx2故数a的取范是(,04分（无等号的扣1分）（2）切点(x0,lnx01)，切方程：y(lnx01)(112)(xx0)，x0 x0 x0 x0即y(11)x(11)x0(lnx01)，亦即y(11)x(lnx021)，x0 x0 x0 x0

15、x0 x0 x0 x0令1t0，由意得a11tt2,blnx021lnt2t1；7分x0 x0 x02x0令ab(t)lntt2t1，(t)12t1(2t1)(t1)，tt当t(0,1)(t)0，(t)在(0,1)上减；当t(1,)(t)0，(t)在(1,)上增，ab(t)(1)1，故ab的最小110分（3）由意知：lnx11ax1，lnx21ax2，两式相加得：lnx1x2x1x2a(x1x2)，x1x2x1x2lnx2两式相减得：lnx2x1x2a(x2x1)，即x11a，x1x1x2x2x1x1x2lnx2lnx1x2x1x2(x11)(x1x2)，即lnx1x22(x1x2)x1x2l

16、nx2，12分x1x2x2x1x1x2x1x2x2x1x1不如令0 x1x21，令F(t)x2，tx1F(t)lnt2(t1)在(1,)上增，t1lnt2(t1)，lnx22(x2x1)，t1x1x1x2lnt2(t1)(t1)，F(t1)2(t)0，t1t(t1)F(t)lnt2(t1)0，F(1)t1lnx1x22(x1x2)x1x2lnx22，x1x2x2x1x1又lnx1x22(x1x2)4x1x2lnx1x24x1x24，lnx1x2x1x22lnx1x2x1x2x1x22lnx1x24，即lnx1x221，2x1x2x1x2令G(x)lnx20，G(x)120，G(x)在(0,)上

17、增，xx2xx又ln2e21ln2120.851，G(x1x2)lnx1x221ln2e2，2e2ex1x22ex1x22e，即x1x22e216分已知函数f(x)exa(x1)，此中aR,e自然数底数.1）当a1，求函数f(x)在点(1,f(1)的切方程；2）函数f(x)的性，并写出相的区；3）已知bR，若函数f(x)b随意xR都建立，求ab的最大.解：（1）当a1，fxex1，f1e1，f1e，2分函数fx在点1,f1的切方程yee1x1，即ye1x14分（2）fxexa，当a0，fx0，函数fx在R上增；6分当a0，由fxexa0得xlna，x,lna，fx0，fx减；xlna,，fx0

18、，fx增上，当a0，函数fx的增区(,)；当a0，函数fx的增区lna,，减区,lna9分（3）由（2）知，当a0，函数fx在R上增，不可能恒成fxb立；10分，此当a0，b0ab0；11分当a0，由函数fxb随意xR都建立，得bfminx，fminxflna2aalna，b2aalna13分ab2a2a2lna，ga2a2a2lnaa0，ga4a2alnaa3a2alna，因为a0，令ga0，得lna23，ae2，333当a0,e2，ga0，ga增；ae2,，ga0，ga减33gmaxae2，即ab的最大e2，33ae2,b21e216分5.此若函数yf(x)在xx0获得极大或极小，称x0函

19、数yf(x)的极点.已知函数f(x)ax33xlnx1(aR).当a0时，求f(x)的极值；2若f(x)在区间(e,1)上有且只有一个极值点，求e实数a的取值范围.已知函数f(x)ex，g(x)mxn.（1）h(x)f(x)g(x).若函数h(x)在x0的切点(1,0)，求mn的；当n0，若函数h(x)在(1,)上没有零点，求m的取范；（2）函数r(x)1nx4m(m0)，求：当x0，r(x)1.，且nf(x)g(x)解：（1）由意，得h()(f(x)(x)(exmxn)xxgem，所以函数h(x)在x0的切斜率k1m，2分又h(0)1n，所以函数h(x)在x0的切方程y(1n)(1m)x，将

20、点(1,0)代入，得mn2.4分（2）方法一：当n0，可得h(x)(exmx)exm，因x1，所以ex1，1e当m，h(x)exm0，函数h(x)在(1,)上增，而h(0)1，e11，从而11所以只要h(1)m0，解得mm.6分1eeee当m，由h(x)exm0，解得xlnm(1,)，e当x(1,lnm)，h(x)0，h(x)减；当x(lnm,)，h(x)0，h(x)增.所以函数h(x)在(1,)上有最小h(lnm)mmlnm，令mmlnm0，解得me，所以1me.e上所述，m110,e).分e方法二：当n0，exmx当x0，然不建立；当x1且x0，mexex，yexxexexx1x0，y0，

21、x，令yx2x2，当1xex0 x1，y0，函数yex1，y0，函数yex函数y减，减，当xxxx增，又yx11，yx1e，由意知m1,e).eenx1nx114x（3）由意，r(x)m，f(x)g(x)exnexx4x14xm而r(x)1等价于ex(3x4)x40，exx4令F(x)ex(3x4)x4，12分F(0)0，且F(x)ex(3x1)1，F(0)0，令G(x)F(x)，G(x)ex(3x2)，因x0，所以G(x)0，14分所以数F(x)在0,)上增，于是F(x)F(0)0，从而函数F(x)在0,)上增，即F(x)F(0)0.16分己知函数f(x)lnx1ax2x,aR2(1)若f(

22、1)0，求函数f(x)的减区;(2)若对于x的不等式f(x)ax1恒建立，求整数a的最小:(3)若a2，正数x1,x2足f(x1)f(x2)x1x20，明:x1x2512（1）因f(1)a0，所以12，1分此f(x)lnxx2x,x0，12x2x1(x0)f(x)2x1分2由f(x)0，得2x2x10，又x0，所以x1所以f(x)的减区(1,)分4（2）方法一：令g(x)f(x)-(ax1)lnx1ax2(1a)x1，2所以g(x)1ax(1a)ax2(1a)x1xx当a0，因x0，所以g(x)0所以g(x)在(0,)上是增函数，又因g(1)ln11230，2a1(1a)12a2所以对于x的不

23、等式f(x)ax1不可以恒成立6分当a0，g(x)2a(x1)(x1)，ax(1a)x1axx令g(x)0，得xa11，g(x)0；当x(1)，g(x)0，所以当x(0,a)a,所以函数g(x)在x11)是减(0,a)是增函数，在x(a,函数故函数g(x)的最大1111211lnag(a)lna2a(a)(1a)a12a8分1令h(a)lna，2a因h(1)10，h(2)1ln20，又因h(a)在a(0,)是24减函数所以当a2，h(a)0的最小所以整数a2分方法二：（2）由f(x)ax1恒建立，得lnx12在2axxax1(0,)上恒建立，lnxx1等价于a1x2x在(0,)上恒建立2令g(

24、x)lnxx1，只要1x2x2ag(x)max分6(x1)(1xlnx)1因g(x)22，令g(x)0，得12x)2xlnx0(x2h(x)1xlnx，因h(x)110，所以h(x)在(0,)上22x减，不如12xlnx0的根x0当x(0,x0)，g(x)0；当x(x0,)，g(x)0，所以g(x)在x(0,x0)上是增函数；在x(x0,)上是减函数所以lnx0 x0111x01228分g(x)maxg(x0)11x02x0 x0 x0(1x0)2因h(110，h(1)12)ln2420所以1x01，此112，即g(x)max(1,2)x20所以a2，即整数a的最小2分103）当a2，f(x)

25、lnxx2x,x0由f(x1)f(x2)x1x20，即lnx1x12x1lnx2x22x2x1x20从而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)13分令tx1x2，由(t)可知，(t)在区增所tlnt得，(t)t1t(0,1)上减，在区(1,)上以(t)(1)1，15分所以(x1x2)2(x1x2)1，因此x1x251成2立分已知a，b数，函数f(x)xab，函数1g(x)lnx1）当ab0，令F(x)f(x)g(x)，求函数F(x)的极；2）当a1，令G(x)f(x)g(x)，能否存在数b，使得于函数yG(x)定域中的随意数x1，均存在数x21,)，有G(x1)x20建立，若存在，求出数b的取会合；若不存在，明原因解：（1）F(x)lnx，1xx1，令，得F(x)2F(x)0 xx11分列表：x(0,1)1(1,)F(x)0+F(x)极小所以F(x)的极小F(1)1，无极大4分（2）当a1，假存在数b足条件，1b)lnx1在x(0,1)U(1,)上恒成G(x)(x1立5分1）当x(0,1)，G(x)(x1b)lnx1可化(bx1b)lnxx10，1令H(x)(bx1b)lnxx1,x(0,1)，化：H(x)0任意x(0,1)恒建立；（*