2020年神奇的解法阶梯型标数法

1、作者：败转头作品编号 44122544：GL568877444633106633215458时间：2020.12.131难度：一个正在行进的8 人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有 种不同排法。【解析】首先，将8人的身高从低到高依次编号为8个数填到一个 42的方格中，要求每一行的数依次增大，每一列上面的要比下面的大。下面我们将 依次往方格中填，按照题目规则，很容易就发现：第二行填的的数字的个数永远都小于或等于第一行数字填的个数。也就是说，不能出现下图这样的情况

2、。而这个正好是“阶梯型标数”题型的基本原则。于是，我们可以把原题转化成：在这个阶梯型方格中，横格代表在第一行的四列，纵格代表第二行的四列，那么此题所有标数的方法就相当于从A走到 B的最短路线有多少条。例如，我们选择一条路线：它对应的填法就是：最后，用“标数法”得出从A到 B 的最短路径有14种，如下图：2难度：圆周上有12个点，其中一个点涂红，还有一个点涂了蓝色，其余10个点没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色 多边形；只包含红点(蓝点)的多边形称为红色(蓝色)多边形不包含红点及蓝点的称无色多边形试问，以这12个点为顶点的所有凸多边形(边数可以从三角 形

3、到12 边形)中，双色多边形的个数与无色多边形的个数，哪一种较多？多多少个？【解析】从任意一个双色的边形出发(N=5时)，在去掉这个双色多边形中的红色顶点与蓝色顶点后，将得到一个无色的 N-2边形；另一方面，对于一个任意的无色的M 边形，如果加上红色顶点和蓝色顶点，就得到一个双色的M+2边形，所以无色多边形与双色多边形中的五边形以上的图形是一一对应的关系，所以双色多边形的个数比较多，多的是双色三角形和双色四边形的个数而双色三角形有10个，双色四边形有C =45 个，所以双色多边形比无色多边形多1010+45=55个。阶梯型标数法1. 加菲和宗峰一起洗5 一个的拿走放进橱柜里。加菲一边洗，宗峰一

4、边拿，那么宗峰摞好的盘子一共有多少种不同的摆法？每横着走一步，表示加菲洗完了一个盘子；每竖着走一格，表示宗峰拿走了一个洗好的盘子。 无论任何时候，宗峰拿走的盘子都不可能比加菲已经洗好的盘子多，所以整个图是一个斜三角。这种标数法叫阶梯型，也叫斜三角标数法。每一种最终到达右上角的走法都对应着一种盘子的摆放顺序，所以只需要给每一步标上数字即可。注意阶梯型标数法标数要标在节点上。另外要注意的就是每一步只能向右或向上走，所以每个节点的数值都是下面和左边两个节点的数值之和。全部标好数字之后，就容易看出，一共有42种摆放方法。阶梯型标数法是一种非常非常非常有用的解决计数问题的方法，可以把很多复杂的题目轻松秒

5、掉。强烈建议大家掌握哦2. 把 10、16和其他四个不同的自然数填进6 个空格里，要求这6 个自然数从左到右按顺序构成一个等差数列，那么一共有多少种不同的填法？解：如果包含10和 16的数字构成了等差数列，那么10和 16 的差一定是公差的倍数。由于公差能整除6，所以公差只能是1、2、3、6. 其中公差等于1的情况是不可能在只有6 个数的时候出现的，只要看后三者即可。以公差为2 举例，此时10和 16之间有12和 14，另外还要再填两个数。可以来看10在这6个数里的位置，能从左边第一格到左边第3 格，共有3 种填法。同样的，公差为3 时有4 种，不过公差为6 时 10只能填在第一或第二个，只有

6、两种。因此，升序的时候共有9 种填法。每一种左右颠倒就能得到对应的降序的数列，一共共有18种填法。3. 游乐园的门票1元 1 张，每人限购1张现在有10 5 个小朋友只有1 外 5 个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？解：与类似题目找对应关系阶梯型标数法专用来解决有“先后或大小关系“的排列组合题。要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2 元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1 元的 要比拿2元的人数多，先将拿1 元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型在下图中，每条小横线段代表1 元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A 点沿格线走到B 点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从 A 到 B 有多少种不同走法使用标数法，可求出从A 到B 有 42种走法。但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5！=120种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有A A =1440