数列的极限知识点方法技巧例题附答案和作业题

1、例6例6数列的极限一、知识要点1数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列a的项a无限趋近于nn某个常数a（即laal无限地接近于0）,那么就说数列a以a为极限.记作lima，a.(注:nlima，a.(注:nn82几个重要极限：lim，0n8n1)3)limann8a不一定是a中的项）n1,不存在,(2)limC，C(C是常数)n81,或a，-14）十an4）十ant+ant-1Hban+alim0#=1-n8bns+bns-1hbbn+b01s-10(st)a(s，t)0b0不存在(st)s3.数列极限的运算法则：女口果lim3.数列极限的运算法则：女口果lima，A,lim

2、bnnn8n8lim(a+b)，A+Bnnn8=B,那么lim(an8-bnn例6例6lim(ab)，Alim(ab)，A.Bnnn8lim-n，(B丰0).bBn8un4无穷等比数列的各项和公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S，limSnn8(2)S，limS，-,(0lql1)n8n1-q二、方法与技巧只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）求数列极限最后往往转化为丄CmeN）或qn（q|J型的极限.nm例6例6求

3、极限的常用方法：分子、分母同时除以nm或an.求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限.利用已知数列极限（如limqn，0q|0);例5已知lim(nTn2F1n+1一an一b）=1，求实数a,b的值;例6例6例6例6a1a11Fq-qn）=2,求a1的取值范围已知等比数列an的首项为a1，公比为q,且有lim（n例6例6例7已知数列a”是由正数构成的数列，a1=3，且满足lgan=lgan+lgc,其中n是大于1的整数，c是正数求数列a的通项公式及前n和S；nn2n-1a求lim”的值.nT2n+an,1数列极限课后检测1下列极限正确的个数是（lim=0(a0)limqn=0nTnnT2

4、n3nlim=1nf2n+3nlimC=C(C为常数)nfA2B3C43下列四个命题中正确的是（lim=0(a0)limqn=0nTnnT2n3nlim=1nf2n+3nlimC=C(C为常数)nfA2B3C43下列四个命题中正确的是（D都不正确A若lima2=A2,贝lima=AnnTB若a0,lima=A,nnf则A0C若lima=A,nnf贝lim2nnfD若limnf(ab)=0,n贝limannT=limbnnT5若数列an的通项公式是3n,2na=n,(1)n(3n2n)(1)(325=1,2,，则lim(a1+a2+an)等于（）11A-246数列an中,a的极限存在,n17B-

5、241a1=5，an+an+1CI4nT25D242A-55n,11C4,nN*,贝9lim(a1+a2+an)等于(nT4D-25,27.limnT1+2，nn2,2nlim”t2n23例6例6例6例68已知a、b、c是实常数，且limnfan,c=2,bn,climnTbn2-can2+c,=3,则lim的值是(-bncn2+acn2例6例6例6例6，an1）在直线Xy3=0上9，an1）在直线Xy3=0上alim”一nT(n,1)21810等比数列an公比q=-，且lim(a1+a3+a5+a2n1)=-,则a1=2nT3111111已知数列a满足(n1)a.=(n+1)(a1)且a2=

6、6,设b=a+n(nN*)111+b2b111+b2b2b234n)的值(1)求bn的通项公式；(2)求lim(nfa112已知a”、b”都是无穷等差数列，其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项，且lim=,nTb2n求极限limnT+)的值ababab1122nn例题解析答案的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0；3n2+2n+1的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比;lim-1的分子次数小于于分母次数，极限为0n*n2+1解：lim尘解：lim尘0；nJn3n2+2n+1limlimn2+1nTnT213+-nn231；1+-n21111111122_1_1+

7、limlimlim_n0n2+11nTnTnT1n2点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；分析:(4)因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；(5)因n2+n与n都没有极限，可先分子有理化再求极限;(6)因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:(1)limnf2n2解:(1)limnf2n2+n+7=lim5n2+7nTnn2n22)limn2+nn)=lim=limnTnTn2+n+nnT1+1+133例例5(3)原式=lim2+4+6+2n(3)原式=lim2+4+6+2n=lim丛凹=lim(1+1)=1nnTn2

8、nTn2nTlim(2n2+n+7)点评：对于(1)要避免下面两种错误：原式=n十lim(5n2+7)n=1,lim(2nnT2+n+7),lim(5n2+7)不存在，：原式无极限nT对于(2)要避免出现下面两种错误：lim(n2+nn)=limn2+nlimn=nTnTnT88=0；原式=limn2+nlimn=不存在nTnT242n对于(3)要避免出现原式=lim+lim+-+lim=0+0+0=0这样的错误nTn2nTn2nTn2a例3数列a例3数列a和b都是公差不为0的等差数列，且讪尸nnbnnT=3,求limnTa,a,a12nb2n33例例533例例5值为a解：由lim亍=3d1=

9、3d2,nTUnna+d121十a,a,a十:lim2n=limn*nna+d121十a,a,a十:lim2n=limn*nb+(2n-1)d2nTnb2ndu4d23点评:4化归思想例4anan求limn*an+a-na0);1丄a2nr1nT1+一a2nlim(a1),解：Tana-nlim二vn*an+an(a1),点评：注意分类讨论a2n-11limnTa2n+1(0a1).33例例533例例5zn2,1八”、已知lim(-an-b)1，求实数a,b的值;n,1nT(1-a)n2-(a,b)n-b,1解:lim=1,nT1a二0-(ab)二1I例6已知等比数列an的首项为Q，公比为q,

10、且有lim(影-qn(影-qn)=2,求a1的取值范围解:limnfga1京-qn)=2,33例例533例例5limqn定存在OVIqlVl或q=1nfg当q=1当q=1时，a1才t=2，W=333例例533例例5a1a1当OVIqlVl时，由lim(1qn)=得1=,A2a11=qnfg1+q21+q211A0I2a1-1I1A0a11且a严一1112综上，得0a11且a严或a1=31121例7已知数列a是由正数构成的数列，a1=3,且满足lga”=lgan-1+lgc,其中n是大于1的整数，c是正数求数列a的通项公式及前n和S；nn2n1a求limn的值.nfg2nan1解：(1)由已知得

11、a=ca1,-1a是以a1=3,公比为c的等比数列，则a=3cn-11(c=(c=1)(c当c2时，原式=limnfg(2)n-1-3c2-(2)n-1+3cc当0VCV当0VCV2时，原式=limnfc23C-(2)n，1点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用试卷解析1答案:B3解析:排除法，取an=（l）n，排除A；取a=1，排除B；取a=b=n，排除D.答案:Cnnnn33例例533例例55解析:a=n3-n2-n，(3-n24（n为奇数）,（n为偶数）,（n为奇数）,（n为偶数）.a1+a2+an=(2-1+2-3+2-5+)+(3-2+3-4+3-6+)lim(a+ac+a)=n

12、_1123n1，2，21，3，219一一19答案C,1,1=24-口案11496解析1+an)+an=5+52+53+611251/13+a原式=L+lima_|=(+lima)5nn25,1n2510”15nnfnnfa+ann+15n1，.lima+lima+1=:liman=nTnTnn+1nT1答案:C7解析:原式=limnfn2n(n1)=limnTnn2T=0n+-233例例5n22nlimnT2n23=lim解析:limnnfn2）=limnXnT=limnT卷=2答案:C33例例533例例588解析：答案:D由lim=2,得a=2bnbn+c33例例5bn2c1a十由lim=3

13、，得b=3c,.c=b=6limnTcn2ban2Hc=limnTcn2+anTcaHn2a厂=6acc+n29析:由题意得an，1(n三2).a是公差为n3的等差数列，3+(n1)3=3n.*.an=3n23n2annT(n+1)2nTn2+2n+1lim=lim=lim21=3n1+-nn21./a10析：.q=，:lim(a+a.+a：+a)=1352n11nT411解：(1)n=1时，由(n1)a,=(n+1)(a一1)n+1nn=2时，nT8a1=231，得a1=1a2=6代入得a3=15同理a4=28,再代入b”=a”+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想b=

14、2n2要证b=2n2，只需证a=2n2一nnnn当n=1时，a1=2X12一1=1成立假设当n=k时，ak=2k2一k成立k+1那么当n=k+1时，由(k一1)ak+1=(k+1)(ak一1)，得ak+1=k1n+1ak1)k+1一.当n=k+1时,k+1(2k2k一1)=k-1a=2n2n正确,n2k+1)(k1)=(k+1)(2k+1)=2(k+1)2(k+1)从而bn=2n22)limnflimnf+b2b22311+1324+)=lim(”1nT16+)2n22+一(n一1)(n+1)=1=412解:a“、b“的公差分别为dd2?2b2=a2+a3，即2(2+d2)=(3+d1)+(3+2