中考数学复习微专题：梯形中常见辅助线的添加方法

1、梯形中常见辅助线的添加方法本文就求解梯形问题时辅助线的作法进行归类探究，供参考 一、连结对角线，构造三角形 连结对角线的本质是将梯形转化为基本三角形，再利用三角形的一些性质与规律去解决问题 例1 求证： 梯形面积（上底下底）高2二、添加平行线，构造平行四边形 证明 如图l，梯形ABCD，连结对角线AC，则S梯形ABCD=SABC+SACD 设ABC的高为h，显然ACD的高也为h S梯形ABCD=SABC+SACD BChADh （BCAD）h 故梯形面积（上底+下底）高2，得证 二、添加平行线，构造平行四边形添加平行线的核心是将梯形转化为平行四边形，再运用平行四边形的一些性质与规律去解决问题，

2、添加方法有过顶点向形内或向形外作平行线两种情形 1、向形内作平行线 例2 如图2，在梯形ABCD中，ABCD，D80，C50，DC9，AB5，求AD的长 解 过点B作BEAD，交DC于点E 由题可知四边形ADEB为平行四边形， ADBEABDE5， DBEC80 C50 EBC180508050， 即BEECDCDE4， 故AD4 2、向形外作平行线例3如图3，在梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD若AD3，BC7，则梯形ABCD面积的最大值为_解 过点D作DEAC，与BC的延长线交于点E，易知DEBD四边形ACED为平行四边形， 即ADCE，所以SABDSCED 由图3知， S梯形ABC

3、DSABDSBCDSBEDBDDE 两边同时平方，得 S2梯形ABCDS2BDEBD2DE2， 在RtBDE中，由勾股定理，得 BD2BE2DE2100DE2， S2梯形ABCD（100DE2）DE2DE425DE2 配方得 S2梯形ABCD(DE250)2625 即当DE250时， S2梯形ABCD max625， S梯形ABCDmax25 故梯形ABCD面积的最大值为25 三、添加垂线，构造直角三角形或矩形作垂线一般是将梯形转化为矩形与直角三角形，再运用二者的规律去解决问题， 例4 如图4，在等腰梯形ABCD中，上底为10，下底为18，腰长为5求梯形的面积解 过点A、D作BC垂线，垂足分别

4、为E、F，AEDF，四边形AEFD为平行四边形，即EF=AD=10根据对称性可知，BECF4 在直角ABE中， 由勾股定理，得 AE2AB2BE2， AE3 故梯形的面积为： S（ADBC）AE(1018)342 四、反向延长腰，构造特殊三角形 若梯形是等腰梯形，底角特殊，通常反向延长腰将梯形转化成特殊三角形，达到简化问题的目的 例5 如图5，已知梯形ABCD中，ABCD，ADBC，B60，AD2，BC8，求此梯形的周长 解 反向延长AB，DC交于点E， 由题意可知，EBC为等边三角形 又EADEDA60 EAD为等边三角形， ABBEAEBCAD826 故梯形的周长为 ABBCCDDA686

5、222 五、添加中位线 作中位线的目的是利用中位线定理去解决问题 例6 如图6，已知AEDH，B、C分别是AD的四等分点，F、G分别是EH的四等分点，AE28DH36，求BF和CG的长度 解 分别取AD、EH的中点M、N，连结MN， MN是梯形ADHE的中位线， 即MN（AEDH）(2836)32 又BF、CG分别是梯形AMNE、MDHN的中位线，BF(AEMN)(2832)30， CG(MNDH)(3236)34 六、作过顶点和腰中点的连线，构造全等三角形 添加该辅助线后，通常是将梯形转化为多个三角形与四边形，再寻找其中的全等三角形解决问题 例7 如图7，梯形ABCD中，M为腰AD的中点，MHBC于点H求证：S梯形ABCDBCMH 证明 连结CM，并延长交AB的反向延长线于点N，连结BM根据题意，由“角边角”可知DMCAMN， 七、添加对称轴，利用对称性 具备对称性质的图形十分优美，梯形中添加对称轴后，对应的线段、角度等均相等 例8 如图8，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD请在梯形内部求作一点O，使OAOBOCOD 作法 (1)作梯形ABCD的对称轴分别交AD、BC于点M、N (2)作腰AB的垂直平分线交MN于点