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文档简介

1、复数的概念第1页,共15页,2022年,5月20日,13点24分,星期二5.1 复数的概念知识回顾 对于实系数一元二次方程 ,当时 ,没有实数根我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢? 解决这一问题,其本质就是解决一个什么问题呢? 第2页,共15页,2022年,5月20日,13点24分,星期二5.1 复数的概念自然数有理数整数无理数实数复数数系的扩充第3页,共15页,2022年,5月20日,13点24分,星期二5.1 复数的概念引入一个新数 , 叫做虚数单位,并规定: (1)它的平方等于-1,即 (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然

2、成立 形如 的数,叫做复数 全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母C表示 .N Z Q R CNZQR新授课第4页,共15页,2022年,5月20日,13点24分,星期二5.1 复数的概念新授课复数的表示:通常用字母 z 表示,即当 时,z 是实数a当 时,z 叫做虚数当a=0且 时,z =bi 叫做纯虚数实部虚部复数第5页,共15页,2022年,5月20日,13点24分,星期二5.1 复数的概念例1 实数m取什么值时,复数 是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?解: (1)当 ,即 时,复数z 是实数(2)当 ,即 时,复数z 是虚数(3)当 ,且 ,即 时,复数z 是纯虚数新授课

3、第6页,共15页,2022年,5月20日,13点24分,星期二5.1 复数的概念新授课 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等即如果 ,那么例2 已知 ,其中 ,求解:更具复数相等的定义,得方程组所以第7页,共15页,2022年,5月20日,13点24分,星期二5.1 复数的概念课堂小结 1复数有关的概念,复数的代数表示形式; 2复数相等的定义作业:习题5.1 13练习课后练习1,2,3第8页,共15页,2022年,5月20日,13点24分,星期二中央电教馆资源中心制作2003.11第9页,共15页,2022年,5月20日,13点24分,星期二 自然数概念可溯源于原始人类

4、用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。 英文calculate(计算)一词是从希腊文calculus (石卵)演变来的。中国古藉易系辞中说:上 古结绳而治,后世圣人易之以书契。 直至1889年,皮亚诺才建立自然数序数 理论。 自然数返回第10页,共15页,2022年,5月20日,13点24分,星期二 零不仅表示无,更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时,空位不放算筹,虽无空 位记号,但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的(sunya )字,其原意也是空或空白。 中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正负数,就

5、是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a+x=b,如果a,b是自然数,则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解,就有必要把自然数系扩大为整数系。 整数返回第11页,共15页,2022年,5月20日,13点24分,星期二分 数 原始的分数概念来源于对量的分割。如说文八部对“分”的解释:“分,别也。从八从刀,刀以分别物也。”但是,九章算术中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云:“实如法而一。不满法者,以法命之。”这句话的今译是:被除数除以除数。如果不能除尽,便定义了一个分数。 古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。 返回第12页,共15页,2022年,5月2

6、0日,13点24分,星期二 为表示各种几何量(例如长度、面积、体积)与物理量(例如速率、力的大小),人类很早已发现有必要 引进无理数。约在公元前530,毕达哥拉斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度(即 )不能是有理数。 15世纪达芬奇(Leonardo da Vinci, 1452- 1519) 把它们称为是“无理的数”(irrational number),开普勒(J. Kepler, 1571- 1630)称它们是“不可名状”的数。法国数学家柯西(A.Cauchy,1789- 1875)给出了回答:无理数是有理数序列的极限。 由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数,人们想到用“无限

7、不循环小数”来定义无理数,这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。 无理数返回第13页,共15页,2022年,5月20日,13点24分,星期二 实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流,使得数学 家们认识到必须建立严格的实数理论,尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面,外尔斯特拉斯(1859年 开始)、梅雷(1869)、戴德金(1872)与康托尔(1872 )作出了杰出的贡献。 实数返回第14页,共15页,2022年,5月20日,13点24分,星期二复数 从16世纪开始,解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开 平方的问题。卡尔达诺在大法(1545)中阐述一元三次方程解法时,发现难以避免复数。关于复数及其代 数运算的几何表示,是18世纪末到19世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1

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