空间向量证明立体几何问题课件

1、空间向量证明立体几何问题空间向量空间向量的运算空间向量基本定理空间向量的坐标运算加减和数乘运算共线向量共面向量空间向量的数量积知识结构夹角和距离平行和垂直问题引入怎样确切的表示室内灯泡的位置？1、空间直角坐标系以单位正方体 的顶点O为原点，分别以射线OA，OC， 的方向 为正方向，以线段OA，OC， 的长为单位长，建立三条数轴：x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系CDBACOAByzxO为坐标原点， x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面一、基本概念空间直角坐标系Oxyz横轴纵轴竖轴yxzABCO OABCABCD是单位正方体以O为原点，分别以射线OA,OC,

2、 OD的方向为正方向，以线段OA,OC, OD的长为单位长，建立空间直角坐标系Oxyz试说出正方体的各个顶点的坐标并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上空间直角坐标系(0，0，0)(1，0，0)(1，1，0)(0，1，0)(1，0，1)(1，1，1)(0，1，1)(0，0，1) 例1 如下图，在长方体 中， ， ，写出四点D，C，A，B的坐标OyxzACB平面向量坐标运算复习二、基本公式：1、两点间的距离公式（线段的长度）2、向量的长度公式（向量的模）3、向量的坐标运算公式7、重心坐标公式6、中点坐标公式9、直线与平面所成角公式 (为 的法向量)8、直线与直线所成角公式 10、平面与平面所

3、成角公式 ( 为二面角两个半平面的法向量） 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量. 4、平面的法向量n法向量作用大（请务必掌握）证明线面平行证明线面垂直证明面面平行证明面面垂直利用法向量求线面角，面面角，点到直线面距离等1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).2、根据na = 0且nb = 0可列出方程组3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好), 便得到平面法向量n的坐标. anb5、平面法向量的求法设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n

4、a且nb,则n.换句话说,若na = 0且nb = 0,则n.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标 例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2），设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）得 解得取z =1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1)AA BOzyA1C1B1AxCDD1ABDCA1B1D1C1.在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1/面A1C1EE

5、Fxyz即题型一：线面平行与垂直DACBBCDAFEXYZ或先求平面BDE的法向量 再证明题型一：线面平行与垂直练习：棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,，D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(I)A1E 平面DBC1; (II)AB1 平面DBC1题型一：线面平行与垂直XYZ例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1BD面CB1D1或先求两平面的法向量 再证明题型二：面面平行与垂直例、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：面AED面A1FD1ABCDA1B1C1D1EFXYZ或证明两平面的法向量垂直题型二：面面平行与垂直题型二：面面平行与垂直练.已知正

6、方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证：(1)平面ADE平面B1C1F；(2)平面ADE平面A1D1G； 题型二：面面平行与垂直练：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED面A1FD练习：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，求证：平面A1BC1/平面ABD1题型三：线线平行与垂直题型三：线线平行与垂直例：题型四：线线角所以：题型四：线线角解：以点C 为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，不妨设 则 C|所以 与 所成角的余弦值为题型五：线面角N解：如图建立坐标系A-x

7、yz,则即在长方体 中，例：题型五：线面角N又例：在长方体 中，两法向量所成的角与二面角的关系设n1 、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1 、n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.题型六：面面角设平面xyz题型七：异面直线的距离zxyABCC1即取x=1,z则y=-1,z=1,所以EA1B1ABCDEFGXYZ题型八：点到平面的距离利用向量求角直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角（二面角）利用向量求距离点到直线的距离点到平面的距离直线到平面的距离平面到平面的距离直线到直线的距离三、基本应用利用向量证平行利用向量证垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行四、总结方法1、平行问题、垂直问题、角度问题、距离问题（）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。（）点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。练习练习练习练习练习找点问题2.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，(3)在AE上求一点M，使得A1M平面DAE.综合立体几何问题练习练习练习练习 已知正方形ABCD的边长为1，PD 平面ABC