普通高中数学课程标准解析课件

1、普通高中数学课程标准解析与新教材分析内容结构第一部分 普通高中数学课程标准解析第二部分 整体把握与实践高中数学新课程第一部分 普通高中数学课程标准解析内容结构： 一、普通高中数学课程的性质； 二、普通高中数学课程的理念与目标； 三、普通高中数学课程的内容标准； 四、关于课程设置的说明。一、普通高中数学课程的性质 1、高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。 2、高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用

2、。 3、高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。4、高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。（一）高中数学课程的目标高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要二、高中数学课程的目标与理念4、发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。5、提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

3、6、具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。理念1构建共同基础，提供发展平台理念2提供多样课程，适应个性选择理念3倡导积极主动、勇于探索的学习方式理念4注重提高学生的数学思维能力理念5发展学生的数学应用意识（二）高中数学课程的理念三、普通高中数学课程的内容标准一）高中数学课程框架 1课程框架 高中数学课程分必修和选修。必修模块由5个模块组成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干专题组成；每个模块2学分(36学时)，每个专题

4、1学分（18学时），每2个专题可组成1个模块。课程结构如图所示。2必修课程 必修课程是整个高中数学课程的基础，包括5个模块，共10学分，是所有学生都要学习的内容。其内容的确定遵循两个原则：一是满足未来公民的基本数学需求，二是为学生进一步的学习提供必要的数学准备。数学1：集合、函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）；数学2：立体几何初步、平面解析几何初步；数学3：算法初步、统计、概率；数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面 上的向量、三角恒等变换；数学5：解三角形、数列、不等式。 3选修课程 对于选修课程，学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择。选修课程由系列1，

5、系列2，系列3，系列4等组成。 系列1：由两个模块组成。系列1是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，共4学分。 选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程导数及其应用； 选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。系列2：由三个模块组成。系列2则是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的，共6学分。 选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何； 选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入； 选修2-3：计数原理、统计案例、概率。系列3 由6个专题组成。每个专题1学分。 选修3-1：数学史选讲； 选修3-2：信息安全与密码；

6、选修3-3：球面上的几何； 选修3-4：对称与群； 选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类； 选修3-6：三等分角与数域扩充。 系列4 由10个专题组成。每个专题1学分。 选修4-1：几何证明选讲； 选修4-2：矩阵与变换； 选修4-3：数列与差分； 选修4-4：坐标系与参数方程； 选修4-5：不等式选讲；选修4-6：初等数论初步； 选修4-7：优选法与试验设计初步； 选修4-8：统筹法与图论初步； 选修4-9：风险与决策； 选修4-10：开关电路与布尔代数（二）关于课程设置的说明（1）课程设置的原则与意图 必修课程内容确定的原则是：满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。

7、 选修课程内容确定的原则是：满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学修养奠定基础。 系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。其中的专题将随着课程的发展逐步予以扩充，学生可根据自己的兴趣、志向进行选择。 根据系列3内容的特点，系列3不作为高校选拔考试的内容，对这部分内容学习的评价适宜采用定量与定性相结合的方式，由学校进行评价，评价结果可作为高校录取的参考。（

8、3）模块的逻辑顺序 必修课程是选修课程中系列1，系列2课程的基础。选修课程中系列3、系列4基本上不依赖其他系列的课程，可以与其他系列课程同时开设，这些专题的开设可以不考虑先后顺序。必修课程中，数学1是数学2，数学3，数学4和数学5的基础。（4）系列3、系列4课程的开设 学校应在保证必修课程，选修系列1、系列2开设的基础上，根据自身的情况，开设系列3和系列4中的某些专题，以满足学生的基本选择需求。学校应根据自身的情况逐步丰富和完善，并积极开发、利用校外课程资源（包括远程教育资源）。对于课程的开设，教师也应该根据自身条件制定个人发展计划。（三）对学生选课的建议 学生的兴趣、志向与自身条件不同，不同

9、高校、不同专业对学生数学方面的要求也不同，甚至同一专业对学生数学方面的要求也不一定相同。随着时代的发展，无论是在自然科学、技术科学方面，还是在人文科学、社会科学等方面，都需要一些具有较高数学素养的学生。据此，学生可以选择不同的课程组合，选择以后还可以根据自身的情况和条件进行适当的调整。以下提供课程组合的几种基本建议。 1学生完成10学分的必修课程，在数学上达到高中毕业要求。 2在完成10个必修学分的基础上，希望在人文、社会科学等方面发展的学生，建议：在系列1中学习选修1-1和选修1-2，获得4学分，在系列3中任选2个专题，获得2学分，从而获得16学分。在此基础上，如果学生确有数学潜能，希望获得

10、较高数学素养，建议在系列4再获得4学分，总共可取得20学分。 3希望在理工（包括部分经济类）等方面发展的学生，在完成10个必修学分的基础上，建议：在系列2中学习选修2-1，选修2-2和选修2-3，获得6学分；在系列3中任选2个专题，获得2学分；在系列4中任选2个专题，获得2学分，总共取得20学分。在此基础上，如果学生对数学确有兴趣、又有潜力，建议在系列4中再选修4个专题，获得4学分，总共可取得24学分。高中数学新课程标准的特点 新课程标准有以下几个显著特点: 1、课程设置模块化,分必修课与选修课。必修课是每个学生都必须学习的内容,由5个模块组成,共10学分,学完即达到高中毕业的要求。选修课是学

11、生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择,获取相应的学分。 2、学生选课更加个性化。为体现时代性、基础性、选择性和多样性的基本理念,使不同的学生学习不同的数学。新课程标准鼓励学生根据国家规定的课程方案和要求,以及学生各自的潜能和兴趣、爱好与志向自主地选择不同的课程组合,选择后还可以根据自身的情况进行适当的调整,以促进学生的个性发展。 创新点 这次课程改革的基本创新点是选择性，高中数学课程具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展。选择性是这次课程改革最大的变化之一。 标准十分关注学生的学习过程，这是学生获得体验，产生学习数学积极情感的重要途径。数学学科的研究对象可以是直接来自

12、现实世界的数据和模型，也可以是一些抽象的思想材料。这就需要学生通过自己的实践获得第一手的材料，需要学生去洞悉数学知识的来龙去脉， 经历数学知识的发现、发生、发展的过程。高中数学课程标准设置了“数学建模”、“数学探究”的学习活动，正是兼顾了这两方面的要求，为学生形成积极主动的、多样的学习方式，进一步创造有利的条件，也为激发学生学习数学的兴趣，养成独立思考、积极探索的习惯，发展学生的创新意识提供了有利条件。 4、评价方式多元化。新课程标准尊重学生个体差异,尊重学生对数学的不同选择,不以一个标准衡量所有的学生,把教师评价,学生自评、互评,家庭评价以及社会评价相结合,把定量评价与定性评价相结合,并且重

13、视学生做数学的过程,作业类型多样化如习题、小论文、调查报告等,彻底改变了唯分数论英雄的评价方式,努力使每个学生都得到成功的体验,从而得到发展。 第二部分 整体把握与实践高中数学新课程内容结构： 一、体会高中数学课程结构和内容处理上的变化； 二、明确贯穿于高中数学课程的几条主线； 三、能整体把握高中数学课程。 高中课程改革，使高中数学课程有一些变化，有内容上的变化，还有一些指导思想方面的变化，或理念上的变化，了解这些变化，形成科学的学习习惯，有效率的学习方法，是十分有益的，“人无远虑，必有近忧”。希望老师们看得远一些。 一、体会高中数学课程结构和内容处理上的变化；(1) 数学课程目标的变化 三维

14、目标 在这一轮课程改革中，根据教育部课程改革纲要，在课程改革目标中，提出了三维课程目标的精神。把课程目标分为三个维度：知识与技能的目标，过程与方法的目标，情感、态度、价值观的目标。三维目标有各自的独立内涵，但是它们之间又存在着密切的联系。 A、把“过程与方法”作为目标是一个很大的变化。 在以前的教学大纲中，在不同程度上都强调了“过程与方法”的重要性，但是，这次课程改革把“过程与方法”作为目标，这样，“过程与方法”不是可有可无的东西，而是必须实现的基本目标，我们必须认识这种变化不仅力度大，而且有非常重要的意义。 实际上，在长期的教学活动中，优秀的教师不仅关注学生对知识技能的掌握，而且特别关注掌握

15、知识技能的过程，包括知识的来龙去脉，结论的背景、产生过程和意义，获取知识的能力和方法，等等。以数学学科为例，我们都知道在知识技能中，蕴涵着一些重要的数学思想和方法，学习的目的，不仅在于掌握知识技能和结果，更重要的是经历形成这些知识技能的过程，体会其中所蕴含的思想和方法，学会运用这些思想和方法去学习其他的知识，并能从中感悟数学的作用和价值，提高学生学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心。 在标准中，如何把三维目标与数学课程目标有机结合？这是在标准的研制过程中讨论的最基本的问题。标准设置了六个具体的目标： 1.获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产

16、生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。 B、三维目标与数学课程目标 2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。 3.提高数学地提出、分析和解决问题（包括实际应用问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。 4.发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。 5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 6.具有一定的数学视野，逐步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，形成批判性的思维

17、习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。 从上面的具体目标可以看出，标准的研制者没有机械的把数学课程目标分为：知识与技能的目标，过程与方法的目标，情感、态度、价值观的目标。而是采取了整体融合的方式来表述课程目标。(2) 数学课程目标变化的意义 1）打好基础 在学习数学中，打好基础是非常重要的，中国的数学教育一直很重视这一点，这是一个好的传统。近年来，由于“应试教育”的影响，在强调打好基础时，有一种异化的倾向，以考试为目标的“题型教学”，不加分析追求难题、偏题，等等，都是这种异化的体现。实际上，这些做法都冲击我们的好传统，冲击了“基础”，偏离

18、了数学教育的目标。在这里，我们不想全面论述基础，仅就整体的把握高中数学课程谈一些我们的看法。 高中的数学课程是一个整体，打好基础，首先要抓住贯穿高中数学课程的一些主要的东西，即主线。 函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等都是高中数学课程的主线。它们是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数学思想，从多个角度链接起了高中数学课程的许多内容。这些主线可以把高中数学知识编织在一起，构成了一张无形的网，把整个高中数学课程的知识点融会贯通。2）强调五个基本能力 高中阶段学习数学，应该获得那些本领？ 从1963年全日制中学数学教学大纲（草案）中明确提出三个基本能力： 计算能力、逻辑推理能力和空间

19、想象能力。 这三大能力是中国最著名前辈数学家华罗庚先生首先提出的。明确这些说法，这对中小学数学教育起了很大的推动作用。 标准中提出了五个基本能力： 计算能力 逻辑推理能力 空间想象能力 抽象概括能力 数据处理能力抽象概括能力 数学有三个基本特征，抽象性，严密性，应用的广泛性。数学是严密的，对每一个正确的数学结果，它都是从一些定义、公理、定理出发，经过严密的逻辑推理得到的。 例如，一元二次方程的求根公式，就是通过“配方思想”，反复使用代数运算的基本规律：结合律、交换律、分配律，最后得到的一个公式。我们学习的数学课程都有一个比较严密的体系。在数学的严密性中，逻辑推理能力，特别是演绎推理能力发挥着重

20、要的作用。 演绎推理强调从一般到特殊、从抽象到具体。这是数学一种重要的思维方式。这种思维渗透到每一门数学课程中，也渗透到数学学习的每一个环节中。在高中数学课程中，无论是代数的内容、几何的内容、函数的内容，还是其他内容，都是培养这种思维方式的载体。 例如，从映射概念认识函数概念，从函数概念认识具体的函数，例如，简单的幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，等差数列，等比数列等等。更重要的，我们应不断地通过具体的函数体会函数的意义和作用，同学们在谈到函数时，头脑中不仅有抽象的定义，而有一批具体的实例，以及伴随着这些实例的图形，只有这样才能真正使数学“活起来”。数据处理能力 随着社会发展，人们对于数据

21、、信息的关注越来越大，处理数据，已经成为百姓生活不可回避的问题。生活中的很多数据都是“杂乱”的，但并非“无章”，如何发现其中的规律，如何利用这些规律提高生活质量。数据处理能力成为现代人的基本能力。在高中学习中，有必要掌握基本数据处理能力：收集数据，整理数据，分析数据，从数据中提取信息，利用信息说明问题等等。 强调数据处理能力，是一个变化。3） 主动学习和创新能力 在标准提出： “通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。” “提高数学地提出、分析和解决问题（包括实际应用问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。” “发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世

22、界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。”主动学习 接受、记忆、模仿和练习是学生重要的数学学习活动，但是，不应只限于此，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥同学们学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。“通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。” 教师的作用是不可替代的，传授知识，指导学习，组织各种学习活动，等等。但是，所有这些不意味着教师可以替代学生进行学习，现在存在着一种倾向：教师替学生做的事情太多了。由于，急功近利，考试成为实现政绩的方式，提高考试成绩、检查考试成绩成为唯一的管理手段，各

23、种考试，高考，年考，学期考，月考，甚至每星期考。教师希望学生尽快地适应考试，在教学中，“题型教学”、高容量、高强度的课堂教学成为比较普遍的现象。这样做法不符合学生的认知规律，事倍功半。 创新能力 高中数学课程应力求“通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让同学们体验数学发现和创造的历程”，发展同学们的创新意识。在高中阶段，创新的最好体现应反映在：培养学生的问题意识。鼓励学生提出问题；鼓励学生从多种角度寻求解决问题的方法；课程应具有一定的开放性，给学生思考的空间；为学生营造一个积极思考、探索创新的氛围，等等。 在数学的学习、教学中，情感、态度、价值观不是空洞的东西，与数学课程密切相关。标准设定的

24、目标指出： “提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。” “具有一定的数学视野，逐步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。”4）关于情感、态度、价值观与数学课程的结合（3）关于课程内容的变化 内容1集合（约4课时） （1）集合的含义与表示 通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。 （2）集合间的基本关系 理解集合之间包含与相等的含义，能

25、识别给定集合的子集。 在具体情境中，了解全集与空集的含义。（3）集合的基本运算 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 “集合初步”定位在语言表述工具 集合语言是现代数学的基本语言。使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。 在义务教育阶段中的课程中，学生已经熟悉什么是正整数，它是指由1、2、3、n、组成的一个

26、群体，自然数比正整数多了一个零，整数包括正整数、零、负整数，等等，它们都是一群数，或者说是数的群体。为了方便，需要建立一种统一、规范的语言来表述这些不同的群体。 在高中数学课程开始阶段，设置了“集合初步”的内容，介绍了一些规范的表述方式，如，集合，子集合，补集，集合的并，集合的交，等等。用这样一些规范的语言来表述学过的和将要学习的数学内容，会给我们带来很大方便，当然，也可以用这些集合语言表述生活中的一些事情。 “集合初步”只是提供一种表述数学的语言。在“集合初步”中，会渗透一些集合论的思想，这部分内容的基本定位是提供一种语言表述的工具。这种语言将会贯穿在整个高中数学学习中。 在中学“集合初步”

27、的教学中，老师拓展了很多东西，例如，补充一元二次不等式，这是不必要的。集合的语言可以帮助表述一元二次不等式的解集，而不是用一元二次不等式理解集合。举一个比较极端的例子，对于大于4的偶数，是否能证明不能表示为两个素数之和的偶数集为空集？这是著名的哥德巴赫猜想，它不是集合讨论的内容。集合的教学建议 1、集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生理解集合的含义。 2、学习集合语言最好的方法是使用，在教学中要创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际使用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言

28、。 3、在关于集合之间的关系和运算的教学中，使用Venn图是重要的，有助于学生学习、掌握、运用集合语言和其他数学语言。内容2函数概念与基本初等函数I（约32课时） （1）函数 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意

29、义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。（2）指数函数 通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。（3）对数函数 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。

30、通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 知道指数函数y=ax 与对数函数y=loga x互为反函数（a 0, a1）。（4）幂函数 通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x2, y=x3, , 的图象，了解它们的变化情况。（5）函数与方程 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。 根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。（

31、6）函数模型及其应用 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。 （7）实习作业 根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等）的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章，在班级中进行交流。 函数教学的建议 1、函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。

32、函数概念的引入一般有两种方法，一种方法是先学习映射，再学习函数；另一种方法是通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数。考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，建议采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。 2、在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于

33、繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。 3、指数幂的教学，应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，引入有理指数幂及其运算性质，以及实数指数幂的意义及其运算性质，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程。 4、反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，例如，可通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=ax和对数函数y=loga x互为反函数（a 0,a1）。不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。 5、在函数应用的教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描

34、述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。 同时应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。例如，利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等。 内容 3、用解析几何思想理解三角函数定义 （1）强调了单位圆在学习三角函数中的作用。首先，单位圆的作用反映在对任意角的理解，从锐角，直角，钝角，平角，周角，一直到任意角，它们会很清晰地反映在单位圆中。（2）一般三角函数的定义是借助于单位圆给出的。 在单位圆中，给定一个角x，角的终边与单位圆相交于一点M，这一点M的

35、坐标（a，b）就完全地确定了所有三角函数的值。即sinx = b，cosx = a，tanx = （a不为0），等等。 点M的坐标蕴含着丰富的含义，包括代数的和几何的含义。如，b是一个数，它的符号表示点M所处的位置，当b大于0，点M处于一或三象限，当b小于0，点M处于二或四象限，b等于0，点M处在y轴上；这样，a、b都大于0，则M点位于第一象限，角是第一象限的角。 数形结合在这里体现得十分清楚，正弦函数的几何意义就是点M纵坐标b的几何意义。它较正弦函数线更直接、更准确，因为，正弦函数线很难体现正负关系。 对于正弦、余弦函数作图来说，运用解析几何的坐标思想也要方便一些。对正切函数，需要做一个转化

36、，把点M（a，b）转换为点（1，），这个点的纵坐标就直接、准确的反映了正切的几何意义。而正切函数线很难体现正负关系。 （3） 三角函数线的使用是历史的原因造成的，在前面介绍了一点历史，早期的三角学是“静态”数学，函数思想、解析几何的思想的产生比“静态”的三角学要晚。在现代的数学教育中，应该强化解析几何的思想，在一些教材中，淡化了三角函数线，强调了解析几何的思想，这将会变成趋势。 内容4、在中学数学中广泛引入向量 向量之所以被引入到中学，这是因为向量在数学中占有重要的地位。向量作为一个既有方向又有大小的量，在数学中是一个最基本的概念。在现代数学的发展中起着不可替代的作用。是代数、几何、泛函分析等

37、基础学科研究的基本内容。 1、向量是代数的对象。运算及其规律是代数学的基本研究对象。向量可以进行多种运算，如，向量的加法、减法，数与向量的乘法（数乘），向量与向量的数量积（也称点乘），向量与向量的向量积（也称叉乘）等。向量的这些运算包含了三种不同类型的代数运算。向量的运算具有一系列丰富的运算性质。与数运算相比，向量运算扩充了运算的对象和运算的性质。 2、向量是几何的对象。向量可以用来表示空间中的点、线、面。如果，以坐标系的原点为起点，向量就与空间中的点建立了一一对应关系；一点和一个非零向量可以唯一确定一条直线，它通过这个点且与给定向量平行；同样，一个点和一个非零向量，可以唯一确定一个平面，它过

38、这个点且与给定向量垂直。在高维空间中，这种表示十分有用，还可以表示曲线，曲面。因此，向量可以描述、刻画和替代几何中的基本研究对象点、线、面，它也是几何研究的对象。向量是几何研究对象，这种认识很重要。在立体几何中，可用向量来讨论空间中点、线、面之间的位置关系；判断线线、线面、面面的平行与垂直，用向量来度量几何体：计算长度、角度、面积等。随着数学视野不断拓展，这样的观念会给我们越来越多的用处。 例如，可以用向量来证明三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的射影，则这两条直线垂直。证明：如图所示，已知a,n,ac,需证ab.设直线a、b、c、n的方向向量分别是a、b、c、n。

39、因为b、c、n共面，根据平面向量基本定理，存在实数，使得 b=c+n,所以 ab=（ac）+（an）。 又由于ac，所以ac =0； 因为a，n，所以an，即an =0。 所以ab=0，即ab. 3、向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁。 在数学中，我们有两座沟通代数与几何的桥梁，一是向量，一是坐标系。坐标系依赖于原点的选择。向量的优越性在于可以不依赖于原点，空间中每一点的地位是平等的，它不依赖坐标，因此，它比坐标系更一般、更重要。一方面，通过向量的运算可以解决几何中的问题。比如，两直线是否垂直的问题，就可以转化为两个向量的点积是否为零的问题，这就实现了利用代数方法来解决几何问题。另一方面，对于

40、代数问题，通过向量可以给予几何的解释。比如，两个向量的点积为零，那么就说明这两个向量所表示的直线是相互垂直的等等。 4、向量具有丰富的物理背景。向量是连接数学和物理的一个桥梁。 物理学研究的基本量之一是矢量。物理学中的矢量既有大小和方向，又有作用点。如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是物理学中研究的矢量，这些量贯穿于物理学的许多分支。矢量是现实存在的，在日常生活中可以观察、感受到的。物理中的矢量是数学中的向量的现实原型，为数学中的向量提供了丰富的物理背景。物理中的矢量与向量的差别只在于，矢量不但有大小和方向，而且还要考虑作用点；而向量和作用点无关。 5、向量是重要的数学模型。如果，用

41、V表示向量的集合，则V对于向量的加法（+）运算满足结合律、交换律、有零元（存在零向量），有负元（每个向量都有与其方向相反、长度相等的向量），因此，V对于向量的加法运算构成交换群，即（V，+）是交换群。V中向量的加法、实数域R中的实数与向量的乘法（数乘.）运算满足线性空间的8条基本性质，因此，V、R对于对向量加法、数与向量乘法运算构成线性空间，即(V,R,+,.)是线性空间（向量空间）。V中向量的数量积运算可以刻画向量的长度，给V中的向量赋以长度（向量的长度用表示）后，V、R对于向量的加法、实数与向量的乘法（数乘.）运算构成线性赋范空间，即 (V， R，+，.，)是一个线性赋范空间。群、线性空间

42、、线性赋范空间都是重要的数学模型，也是抽象代数、线性代数、泛函分析的重要研究对象。因此，向量为理解抽象代数、线性代数、泛函分析提供了基本的数学模型。 6、向量有着广泛的应用。向量不仅在物理中有着大量的应用，而且高维向量被广泛地用来描述多指标的对象，从而在各个领域，包括社会科学，都有着广泛的应用。 7、向量简单易懂。向量被引入中学还因为它适合中学生的认知水平。向量的概念有着清楚的物理背景，学生很容易懂；向量的运算并不复杂，学生掌握起来没有困难。学习向量非常有助于培养学生的数学能力和应用数学解决实际问题的能力。向量教学的建议 （1）突出物理背景 向量具有丰富的物理背景。力、位移、速度、加速度等物理

43、量是向量的原型，这些物理量是学生在日常生活中能够经常感受到的，为理解向量的概念、向量的运算提供了直观、现实的背景。在教学中，应注重突出向量的这些物理背景。例如，在引入向量的加法运算时，可以位移的合成为背景，这种方式比较直观。 （2）注重向量的代数性质及其几何意义 向量的代数性质主要表现在向量的运算及其运算律方面。运算是贯穿于中学数学中的一条主线，学生最先学习的运算是数的运算，向量的运算与数运算既有联系又有区别。 在向量的教学中，特别要重视向量的数乘运算、数量积运算与数的乘法运算的区别与联系，应将向量的运算及运算律与数的运算及运算律进行比较，帮助学生理解向量运算的意义及其运算律，为进一步理解其它

44、代数运算奠定基础。 （3）关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用。 物理中的矢量是向量的原型，向量及其运算是物理中矢量及其运算的抽象。因此，向量在物理中的广泛应用是不言而喻的。在教学中，应引导学生有意识地运用向量及其运算的性质刻画和解决物理学科中的问题。 向量在数学中有着广泛的应用，向量及其代数运算可以刻画几何对象以及几何度量问题，可以表示三角函数、证明三角函数的公式，可以表示重要的不等式等。例如，向量的线性运算可以刻画直线与平面以及平行、共面等关系，向量的数量积运算可以刻画角度、长度、面积、体积等几何度量问题以及相交、垂直等关系。 内容5、数列在数学中的作用以及数列在中学数学中的定位 数

45、列是一个重要的数学概念，教师需要对数列在数学中的作用和在高中数学课程中的定位有一个清晰的认识。以下的介绍仅仅是一个提纲携领的简介 ： （1）数列在数学中的作用 1、数列是特殊的函数。数列作为离散函数，在数学中有着自己的重要地位。对幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的研究，数列在其中发挥着重要作用。 2、数列常常用来处理连续函数，即通过离散化的办法来研究一般的函数。 例如，学习过高等数学的教师都知道：函数y = f(x)在x0处连续可以用数列来刻画，对任意一个以x0为极限的数列xn，数列f(xn)的极限为f(x0) 。反之也是正确的， 3、数列本身也是一个数学的研究对象。 例如，斐波那契

46、数列就是数学中研究的一个非常重要的数列。 4、数列的生成体现着递归思想。递归思想是研究数列的基本思想。例如，研究差分数列就依赖于递归思想。这是数学中的重要思想。在现代数学中起着巨大的作用。 5、数列是刻画实际问题的重要模型。数列作为一类特殊的函数有着广泛的应用。例如，在我们日常经济生活中几乎许多经济问题都可以归结为数列模型，特别是等差数列、等比数列是最基本的模型。强调数列是应用的重要模型，就要让学生了解老百姓日常经济生活中的一些数列模型。例如，存贷款模型、教育储蓄模型、分期付款模型、商家返卷模型等等。 6、数列中蕴涵着丰富的恒等关系。掌握数列的基本性质，例如，等差、等比数列的性质，熟悉等差、等

47、比数列的常用公式，了解这些性质之间的关系，可以作为提高恒等变换能力的载体。（2）数列在中学数学的定位 在高中数学课程中，不可能完整地体现数列的功能，即使学习数学的人也没有必要完整了解数列的所有的功能。数列在高中课程中，要突出两点。 第一，强调数列作为一类特殊的函数有着广泛的应用。如前面所说，要让学生了解老百姓日常经济生活中的一些数列的经济模型。例如，存贷款模型、教育储蓄模型、分期付款模型、商家返卷模型等等。这一点是非常重要的。 第二，它可以作为提高学生恒等变形的能力的载体，例如，学习“知三求二”等等。内容6、函数、不等式、方程的关系 用函数的观点看待方程，可以把方程看成函数的零点，因此，解方程

48、就是求函数的零点，从而，方程可看作函数的局部性质。 从函数的观点看待方程和不等式，利用函数图形的变化求解不等式、方程是一个非常重要的观点和方法。函数与方程、不等式的关系 内容7、立体几何证明的处理 与以往高中数学课程中的立体几何内容相比，标准中立体几何内容的变化主要表现在几何定位的变化，几何内容处理方式的变化以及几何内容的分层设计等方面。 标准中的立体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象与几何直觉的能力、逻辑推理能力等。 在处理方式上，与以往点、线、面、体，从局部到整体展开几何内容的方式不同，标准按照整体到局部的方式展开几何内容，并突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研

49、究几何的过程。 立体几何内容分层设计，在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质。对于进一步的论证与度量则放在选修系列2中用向量处理。 在处理立体几何的证明问题时，应从以下几个方面把握。 （1）立体几何中的证明始终是高中数学中的难点。 标准对立体几何内容是分层设计的。因此，立体几何中的证明也要分层，不能一步到位。 在立体几何初步中，首先，以长方体作为载体，给出了点、直线、平面的位置关系，以及一些基本的概念。通过直观感知、操作确认，归纳出了四个判定定理和四个性质定理，还有一个从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理。本部分明确给出的定理

50、共有九个。 四个判定定理： 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理： 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 四个性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。 两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。 垂直于同一平面的两条直线平行。 两

51、个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理，在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明。 （2）立体几何初步这部分，能使学生初步感受综合几何的证明。在处理证明时，要充分发挥几何直观的作用，而不是形式上的推导。 （3）要把握好立体几何初步中证明的“度”。 在立体几何初步部分，标准只要求用综合几何的方法证明四个性质定理和运用已获得的证明结论证明一些空间关系的简单命题。对于一些复杂的证明问题，则在选修2系列中用向量的方法来处理。 内容8、 不讲极限可以讲导数 大纲中对导数的处理是从极限概念开始。学生对一

52、般极限概念的认识和理解会有困难。把重点放在理解一般的极限概念，会影响和冲淡对导数本质的认识和理解。 标准在这部分的处理有了很大的变化。不讲一般的极限概念，不是把导数作为一种特殊的极限来处理，而是直接通过实际背景和大量具体实例（速度、膨胀率、效率、增长率等）反映导数思想和本质。引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数概念。同时加强对导数几何意义的认识和理解。 标准突出了导数概念的本质，强调导数在研究事物的变化率、变化的快慢，研究函数的基本性质和优化问题中的应用。并通过与初等方法的比较，感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性。 标准中淡化了导数的形式计算。让学生学会利用导

53、数表和积分表来计算。在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述。应当避免过量的形式化运算练习。 标准反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用。 在中学微积分教学中，要重视思想、淡化技能。如何通过大量具体的实例，帮助学生建立和形成微积分基本思想是体现课程标准最重要的环节。 在中学微积分教学中，对于技能性的要求不高。不需要去求一些复杂函数的导数、积分，而是强调这些概念的背景和思想。例如，对于复合函数的求导，只要求线性的。关于对微积分的计算能

54、力和技能性的要求都放到大学里。 高中数学课程内容的主线 著名数学家华罗庚先生常常说“既要能把书读厚，又能把书读薄”。读厚，就是要把每一逻辑关系，每一个细节搞清楚，想清楚；读薄，就是能抓住课程的主线，基本脉络，抓住课程的内在联系，形成整体认识。整体地把握高中数学课程，是理解高中数学课程的基点。 二、明确贯穿于高中数学课程的几条主线； 在高中数学课程中，函数思想，运算思想，几何思想（把握图形的能力），算法思想，统计和随机思想，等等，这些都是贯穿在高中数学课程始终的东西，构成高中数学的基本脉络。另一方面，这些思想之间联系密切。它们像一张无形的网，把高中数学课程的所有内容有机地联系起来，抓住了这张网，

55、就可以更好地掌握数学课程，了解实质，提高学习的效率，当然，也会提高解题能力，考试能力。主线之一函数思想 问题： 为什么把必修1作为其它必修课程的基础？ 最主要的原因是突出函数的作用和意义。 20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分地综合。” 函数思想是贯穿整个高中数学课程始终的重要思想之一。为了更好的理解高中数学课程，需要弄清中、小学数学课程中函数思想的发展脉络。 （1）在义务教育阶段，

56、特别是在小学时期，数、量、图、数据（一批数）是引导儿童进入数学的源泉。在开始阶段，数和量常常是交织在一起，通常我们总说数量，数是用来刻画量的大小的一种工具，对于学生来说，我们更需要强调它们之间的联系。以重量、时间、长度、面积、路程等量为背景，对我们理解数的概念、数的表示、数的运算等是十分重要的。 （2）在高中阶段，学习的知识更加丰富了。我们利用更丰富的实例引导学生认识到，函数是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模型。在高中数学中，函数模型应该占有很重要的地位。我们在任何一个生活情景中，例如，邮局、加油站、机场等等，都会发现许多描述规律的函数关系。在其他学科，如物理、化学、生物、地理、社会、经

57、济等学科中，描述规律的函数关系比比皆是。 心电图就是一种时间和心跳频率的函数关系。 股市行情图也是反映了一种函数关系。 （3）在此基础上，进一步抽象概括出函数的严格数学定义。函数关系像一座桥梁把两个变量联系起来，形象的说，在直角坐标系中，函数图像就像一座桥梁把变量x和y联系起来了。 （4）知道了函数的定义之后，再去研究它的性质。 例如，分段函数，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，我们引入了刻画函数变化的单调性、周期性、奇偶性等基本的性质。 单调性是中学阶段函数最基本的性质之一。一旦我们弄清了一个函数的单调性，就能刻画出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况。

58、例如，简单的幂函数y=x3，当我们知道它在整个实数范围内是单调递增的，那么就可以刻画出函数y=x3的图形的基本形状以及它的变化。 周期性也是中学阶段函数的一个最基本的性质。我们生活在一个周期变化的世界里。因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函数，比如，正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数模型。用周期的观点来研究函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。 奇偶性也是我们在中学阶段要研究的函数的性质，但是它不是最基本的性质。奇偶性反应的是函数图形的对称性质，可以帮助我们更加准确和集中地研究函数的变化规律。 （

59、5）在高中数学课程中，通过函数的学习逐步形成了映射的思想和映射的定义，函数是两个实数集合之间的一种对应关系，而映射是两个集合之间的一种对应关系。映射能够帮助我们更好的理解两类物体之间的“桥梁关系”。映射的思想和函数的思想在本质上是一样的，只是它们连接的两类对象不同。在运用函数（映射）的思想解决问题的过程中，会不断加深对于函数桥梁作用的理解。（6）函数的思想在其他部分数学内容的学习中发挥着重要作用。 当我们用函数的观点来看待方程的时候，由函数y=f(x)所决定的方程是y=f(x)=0，求方程的解就变成了思考函数图形与x轴的相交关系，变成了考虑函数的局部性质。能否运用函数整体的性质去讨论方程的求解

60、问题呢？在高中课程中我们介绍了二分法求解方程。这种二分法解方程体现了这样一种思想：用函数的整体性质讨论函数的局部性质。具体来说，在a,b上，给定一个连续函数，若f(a)与f(b)的符号不相同，那么函数图像会从（a, f(a)）点出发穿过x轴到达（b, f(b)）点。这样的性质就能帮助我们运用二分法近似的求出方程的解。 （7）在大学的数学中，函数（映射）的思想依然发挥着重要的作用。例如，数学系的课程中，数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等。这些学科都是从不同角度研究函数所构成的课程。值得一提的是，在对其他课程的学习中，函数（映射）思想仍然起到了重要的作用，例如，群结