梯度通俗解释

1、记得在高中做数学题时，经常要求曲线的切线。见到形如:、，二之类的函数，不 管三七二一直接求导得到，这就是切线的斜率，然后:,-上=:就得到了 :处的切线。上大学又学习了曲面切线和法向量的求法，求偏导是法向量，然后套公式求出切 线。一个经典例子如下：例3 求椭球面x1 + 2y2 + 3z2 = 6 在点(LL1)处的切平面及法线方程.解 F(x,y,z) x2 +2j2 + 3z2-6f乳 s)= S4/6 划(山)=2,4,6,切平面方程为 2(x-1) + 4(y-l)+6(z-l) = 0,n x+ 2y +3z = 05法线方程为 1 I孩-1, *246(来自web上某个几何应用pp

2、t)其中的向量n是F(x,y,z)的偏导数。然而，这两者求法看似无关啊，二：二中求得的-是切线，然而下面的求偏导 后却是法向量，为啥都是求导，差别这么大呢？切平面的方程为啥又是与法向量 有关呢？当然这些问题的问答都可以通过严格的数学推导完成。这里想从更加直白的角度 来说明道理。首先，法向量(梯度)是F(X)(其中X=x0,x1,x2,xn是n维向量)对各个分 量求偏导后的结果，代表了 F(X)在各个方向的变化率，整个法向量就是F(X)在 各个方向上变化率叠加出来的向量。如对于一维的F(x)二二，在x上导数是2x， 意味着在X方向上是以2x的速度变化，比如当x=2时，F(x)变化率为4大于当 x

3、=1时(变化率为2)的变化率，法向量的方向只能是x方向，因为F(X)是一维。这里的F(X)称为隐函数，如我们平时使用的： = -使用隐函数就可以表示成 F(x,y)=f(x)-y，这样其实F(x,y)是二维的。至于为什么导数就是变化率，可以 通过导数的定义就可以知道了(微小的dx变化引起多大的dy变化)。那么我们明白了，隐函数F(X)的法向量就是F(X)对各个分量的偏导数的向量。 那么为何二：二中求得的是切线，而不是法向量？其实我们不能搞混了隐函数F(X)和：=- o隐函数是一个函数，它的值根据X的取值不同而不同。而只是x和y之间满足的约束关系，如建立x-y坐标，两者的约束关系可以通过图 形(

4、直线、曲线等)来表示。比如我们可以用二二来表示一条抛物线，而且能够在x-y坐标系下画出来。而换用隐函数表示就是F(x,y) = )血=与Sy)说明F(x,y)的值究竟将在(x,y)的小范围能变化多少，这个变化率决定于x方向 上的微小变换dx和y方向上微小变换dy的线性组合，而他们的系数就是偏导数。 将dx和dy换成单位向量i和j就是法向量了。那么梯度也就反映了 F(X)在某 一点的变化率和变换方向。说的有点绕口，简而言之，对于一个隐函数F(X)，我们想知道在给定X附近F(X) 的变化方向和大小。怎么去刻画？由于X的各个方向(x0，x1，x2xn)上变 化速率和方向都不同(比如在x0上以平方级别

5、变化，在x1上以线性方式变化， 这个要根据具体的表达式了)，而我们想知道他们叠加在一块是怎么变化的。 我们使用全微分公式(比如上面的；口=.，可以知道他们之间的叠加系数就是 偏导数，叠加结果就是变化率，而方向就是x0，x1，x2相应的变化方向i，j， k等线性组合得到的方向。回到为什么“=二中求得的是切线”的问题，其实这是最终结论了，是推 导出来的。第一步我们将： = - -写成隐函数(这里的x，y都是实数了，上面的 X 是向量)，.=： -：o然后求F对x的偏导得源:-；=,- 求F对y的偏导得-1。即梯度是 由于切线和法向量是垂直的，因此切线和法向量内积为0。设切线方向向量为(m,n)，那

6、么-=- 可见，切线斜率是o 回到上面蓝色图片中的曲面求切平面问题，求出某点的法向量后，在该点的切平 面要满足两个条件，一是要过切点，而是要反映出该点的变化方向(这里不是 该 点F(X)值的变化方向，而是该点自己的变化方向)。然而该点的变化最终要反 映出该点F(X)值的变化，也就是切平面的变化要反映出法向量的变化，而偏导 数正是反映出了 F(X)值的变化。因此切平面的偏导数与F(X)的偏导数是一样的。 我们从蓝色图片中看到，切平面正是利用了 F(X)的偏导数。有上面的全微分公式，我们可以更好地理解极值，为什么常说函数取得极值的时 候导数为0呢。假设一维情况，二二二吧，要求极小值，两边微分后得 亍二二二土，当x=0时，导数2x为0，取得极值。否则，如果x为正数，那么dx只需向左调整(dx0)，就能使F(x)变小。因此最后调整结果是x=0。对于二维情况，dFOj) = FxQjcdx +与3y)5Gy)和 FJ孙 y)的值在计算后会有正负值，但我们应该注意到dx可正可负，dy妇(咒y)和耳(%, y)也可正可负，只要,有一个不为0，那么通过调整d