桥梁设计理论第九讲

1、第九讲曲线梁桥计算理论第一节概述随着高等级公路和城市高架路的大量兴建，作为道路的一部分，桥梁的位置多由平面布 局控制，特别是现代城市道路网，立交设施成为分流交汇的主要手段，曲线梁桥的建造就日 益增多。曲线梁桥有别于直线桥的主要特性是：（1）曲线桥外边缘弯曲应力大于内边缘，而在直线桥中无此特征；（2）曲线桥外边缘挠度大于内边缘挠度；（3）曲线桥中无论恒载还是可变荷载都会产生扭矩，“弯、扭耦合”现象在曲线桥中占 重要地位。第二节曲线梁基本微分方程及其解答一、基本假定由于曲线梁桥中存在着较大的扭矩和扭转角变形，欲把曲线梁按杆件结构力学的方法作 为纯扭转理论分析，则必须符合下列基本假定：（1）横截面各

2、项尺寸与跨长相比很小，这样才容许将实际结构作为集中在梁轴线上的 曲线形弹性杆件来处理。（2）曲线梁的横截面在变形后仍然保持为平面；（3）曲线梁变形后，横截面的周边形状保持不变，即截面不发生畸变；（4）截面的剪切中心轴线与截面形心轴心相重合。一般情况下，只要跨长达到横截面尺寸的34倍以上时，第一项假定即能满足，横截 面宽度可用边梁或边侧腹板之间的距离计算。严格地说，曲线梁除圆形或正方形的截面以外，变形后横截面不可能仍然保持为平面， 但对于混凝土结构来说，由于薄壁效应不显著，且一般箱梁的形状接近于正方形时，如果 k = 顷气/气3。，则横截面的翘曲变形不大，故第二项假定所引起的误差在工程实 际中可

3、以忽略。鉴于曲线梁桥的半径相对来说一般均较大，因而，截面剪切中心与截面的偏离值相对于 曲率半径而言是很小的，所以在实用中分析内力和变形时，作出此项假定也是可以容许的。二、符拉索夫（Vlasov）方程对于如图9-1所示弯梁，截面形心为G.C.，截面剪切中心为S.C.，通常采用沿剪切中心 轴的切线方向为z轴，曲线向心方向为x轴，垂直于曲线平面向下为y轴所组成的三维流动 直角坐标系。从弯梁上截取一微段dz Rdo，一般地，弯梁有六种可能作用的荷载，其正方向（符合右手螺旋法则）如图9-1b。在上述荷载作用下，截面上一般会有六种截面内力，即轴力N、剪力Qx和g、弯矩Mx和My及扭矩T。正号内力如图9-2

4、a、b所示。MRTNydzxdMx-6z萄MRTNydzxdMx-6z萄dN.N + dz6z图9-2弯梁微段的截面内力图9-1流动直角坐标系与荷载分量dQ+ x dzdz6T人 T + dz dz利用弯梁六个空间平衡条件， 利用弯梁六个空间平衡条件， F = 0 ：x F = 0:y F = 0:z（9-1）（9-2）（9-3）可以导得弯梁的六个静力平衡方程如下:空 + N + q = 0dz R xdQn- + q = 0竺-Q + q = 0dz R z M = 0 ：尤 M = 0: M = 0:z虬 + - - Q + m 0d虬 + - - Q + m 0dzR y xdM8 y

5、+ Q + m - 0dT M8z(9-4)(9-5)(9-6)上述六个平衡方程消去剪力项Q、83M1 8M _dq8z3 yR2 dzdz dz 2 y 节 R(9-7)82M1 dT _(9-7)dz 2R dz%dzdT Mx mdzR z(9-8)(9-9)弯梁相对于剪切中心轴（z(9-8)(9-9)V、巧分别为X、y、z方向的位移，4为截面扭角。有关弯梁的几何方程已由铁木辛柯(S.Timoshenko)导出如下:dw u& TOC o 1-5 h z z dzR,d2uuk -ydz2R2k_ d2V4xdz 2R,_ d41 dvz =无R &（9-10）（9-11）（9-12）（

6、9-13）图9-3弯梁的位移与扭角式中：e为轴向应变；k、（9-10）（9-11）（9-12）（9-13）图9-3弯梁的位移与扭角（即单位长度上的扭角）。应用弹性体材料的基本方程，可以建立起截面内力与变形之间的关系式，再将几何方程 (9-10)(9-13)代入此关系式，可得:N _ EA z = EA(dW - U(9-14)M Elk _ EI (夏 + 告)(9-14)y y y y dz 2 R2M -EIk EI (实 + 4)(9-16)x x x x dz 2 RT _-EI 性 + Glk -EI (迎+ 坐)+ GI (*+ 上史)3 dz2d z 3 dz3 R dz3d d

7、z R dz(9-17)式中A为弯梁截面积；E、G分别为弹性模量和剪切模量；Ix、Iy分别为绕x、y轴的抗弯惯矩；匕为绕(9-17)将式（9-14）（9-17）及其导数表达式代入简化后的平衡方程（9-7）（9-9）即可 导得描述位移、扭角与外荷载关系的弯梁基本微分方程，即符拉索夫方程:(9-18)EI （广+ 2 必+ 2U）-啊-qz-my - my yR2R4dz R dz 2 R2(9-18)(9-19)EL v”+E V + EI -GI + 空 -m(9-19)RR d R2 zEI、，, GI EI 顷 EI + GIdm(9-20)(EI + 尊)v d v + xd q (9-

8、20)x R2,R2Rydz从上述三个方程及有关的平衡方程、几何方程可以看出，弯梁平面内的荷载、qz、 m ）、内力（n、Q、M ）及变形（u、w）与垂直于弯梁平面的荷载（q、m、m ）、 yx yy x z内力（Qy、Mx、T）及变形（v、 ）互不影响，因此，一般可以将荷载分成平面内荷 载与垂直于弯梁平面的荷载两大类分别进行分析计算。实际上，第一类荷载作用下的弯梁拱 的作用，可按拱的理论进行分析。第二类荷载作用下的内力分析与计算方法是本讲的重点。式（9-19）和式（9-20）均为v（z）、（z）两个位移量与外荷载的关系。两个方程均不 是独立的。因此必须联立求解。这充分反映了弯梁中弯扭耦合的受

9、力特点。在上面介绍弯梁的约束扭转时，考虑了截面翘曲引起的翘曲扭矩T际上，截面上还有一个表征法向应力大小的特征函数即双力矩B的存在 i表达为:d在上面介绍弯梁的约束扭转时，考虑了截面翘曲引起的翘曲扭矩T际上，截面上还有一个表征法向应力大小的特征函数即双力矩B的存在 i表达为:(9-21)B Eg + R）(9-21)利用基本微分方程求解位移v（ z）和扭角（ z）时，必须确定由弯曲和扭转两种模式表示的边界条件。常见的支承型式的边界条件列于表9-1，其他型式的边界条件也可以通过分析 得出。常见的支承型式的边界条件表9-1位移或内力支承类型弯曲模式扭转模式vv，QyMxkzTBi固端支承0000固定

10、铰支承0000点铰支承0000自由端0000三、简支超静定弯梁的闭合解由于式（9-19）和式（9-20）相互耦合，故为了求解方便，可在上述两式中通过一系列 数学推演消去其中一个位移量（如v（z），这样可得到一个不完整的独立的六阶微分方程：EI枷+,1 ( EIEI枷+,1 ( EI-GI妒+上1 (EI c 、,，-EI-2GI 矿- R2 R2d )性R4 *EI + GII EI + GI , I , GI I + R21 xd q q + xd m m d m + x mREI y RI y REI x RI X R2 EI ZR21z(9-22)上式是一个六阶常系数非齐次线性微分方程，

11、其解为相应齐次方程的通解和对应于荷载 情况的特解之和。当简支梁上作用均布扭矩mz和竖向荷载qy （一般mx = 0）时，汉斯C.P. Heins）等得出了式（9-22）的闭合解为:（9-23） A cosh + B sinh + C cos + Dfz cos + E（9-23）,R21,1、+ Fsin 及 + e m - R3+ )qxd x式中：a-、；气/GI由上式可见，只要采用六个适当的边界条件，就可求出式中六个常数（A 口 F）。然而，边界条件及相应的各项内力表达式中均包含另一个变量七故必须先求出竖向挠度V才 能求解。这时可应用符拉索夫方程（9-19）、（9-20）中的任何一个方程

12、（如式（9-19），并 将有关的项看作已知的荷载项，这样即可求出相应四阶常系数非齐次线性微分方程的闭合 解V，将V和代入另一方程（9-20）中验证后，可得竖向挠度V的闭合解的最终形式为：v A (aR cosh) + Bf (aR sinh) + C (-R cos R) + Df (-R cos R+b sin R)(9-24)777q R2+ E (-R sin R) + F (-b cos R - RZ sin R) + G + H - 2g 2d72EIR4式中：b -x-_。式中：EI/EIR2 + GIR2 利用简支超静定弯梁两端各四个边界条件（表9-1），联立求解式（9-23）、

13、（9-24）即可图9-4作用集中荷载的简支弯梁得到两式中共八个任意常数 （A 口 H）。简支超静定弯梁位 移（V、 ）的表达式确定后， 再得用式（9-16）、（9-17）、（9-4） 和式（9-21）就可球出相应的内 力M、T、Q、B图9-4作用集中荷载的简支弯梁如果简支超静定弯梁上作 用有集中荷载P和M，分析时 则需将弯梁沿荷载作用点分成 两个单元（如图9-4）。此时分界 面上的非连续性应用如下所示 的内力及位移间的连续条件代入：v = vV = vgl rww(M ) = (M )=(B)i l i r(Q)r(Q)广 p T -T = Mr l z式中，下标分别表示荷载作用点(分界面)的

14、左截面和右截面。由于公式比较复杂，上述闭合解也宜编成计算机程序进行计算。第三节曲线梁桥纵向分析前一节讨论了弯梁的基本微分方程及其解法，可以用来分析某些弯桥的结构问题。但实 际工程中的弯梁桥结构型式是多种多样的，对于宽跨比B /L较小且横向联结刚性较强的窄 弯梁桥按整体截面弯梁进行分析在工程上尚属容许，但对于多主梁弯桥或宽跨比B /L较大 的宽弯梁桥如按单根弯梁计算，则会导致过大的误差。因此，对于后一类弯梁桥应寻求相应 的合理分析方法。有限单元法、有限差分法等，不失为分析弯梁桥时较精确的数值方法，但由于需要计算 机解大型联立方程组，计算费用较昂贵，结构的总体性能较难把握，以及难以确定活载的最 不

15、利位置等问题，使其在实用上尤其是韧步设计时极为不便，因此，广大桥梁工作者均设法 提出了许多实用计算方法。一个极其自然的想法是采用类似于直梁桥的荷载横向分配的方 法，即把弯梁桥的空间分析近似地分解为横桥向(径向)和纵桥向(桥轴向)来分别处理， 这样可使分析工作大为简化。理论和实验也均己证明，许多情况下采用上述的实用分析法一 般已能满足工程设计的要求。因此下一节将较详细地介绍这种基于横向分布原理的弯梁桥实 用计算法。利用横向分布方法求出横向分布系数之后，弯梁桥恒、活载内力的计算方法就同单根弯 梁完全一样，即对弯梁进行纵向分析。单根弯梁的分析可以采用前一节介绍的基于符拉索夫 方程的闭合解法及有限差分

16、数值解法等，但在实用上由于要解求高次微分方程或大型联立方 程组，因此国内外许多学者从不同方面已经提出了许多不同的分析方法，常用的或者笔者认 为有推广价值的主要有如下几种方法7。结构力学方法最先用于分析弯梁的方法是沿用杆件系统的结构力学方法。这种方法的特点是能利用公 式直接计算弯梁的内力与变形，不但简单明了，而且能得出精确的唯一解。根据弯梁横截面 受载后是否仍保持平面，可区分为单纯扭转理论和翘曲扭转理论两种。翘曲扭转理论考虑了受载后横截面不再保持平面即发生了翘曲，增加了截面双力矩Bi 和翘曲扭矩孔两项内力。（2）曲杆有限元法有限元法被公认是对复杂结构进行分析的一种通用而最强有力的数值方法。用于曲

17、线梁 桥分析时，较常用的是八自由度曲杆有限元法，即采用每个曲杆节点位移为V.、寸、虬和 1111 四个自由度。（3）能量法能量原理是从弯梁的总势能出发，用变分原理分析弯梁桥的内力和位移的方法。第四节曲线梁桥横向分布对于多主梁（截面型式有板式、I形、T形或箱形等）弯梁桥采用纵、横向分别处理的 实用计算法是一种可取的方案。这时，弯梁桥的空间工作特性通常是通过内力或荷载的横向 分布系数来体现，因此如何合理地计算弯梁桥的横向分布系数则是设计这类弯梁桥时应考虑 的主要问题之一。利用横向分布方法分析桥梁结构，其实质是在一定的误差范围内，寻求一个近似的内力 影响面去代替精确的内力影响面。对于弯梁桥，此近似内

18、力影响面通常要求在纵桥向（桥轴 向）和横桥向（径向）均具有各自相似的影响线图形。因此计算结果的误差主要反映在内力影响 面的相似性、荷载的类型、组成及作用位置。理论计算和试验结果均已证实，弯梁桥控制截面的控制内力与变形的精确影响面一般在 纵，横向均具有各自相似的变化规律。因此如采用合适的近似影响面去代替，计算精度是能 满足一般工程设计要求的，这是我们能利用横向分布方法计算的基本前提。不同桥梁内力，变形影响面的形状各不相同，其横向分布规律也不相同。对于直梁桥， 内力与挠度横向分布的差别一般很小，因此通常采用主梁挠度横向分布规律来确定内力的横 向分布，并形象地引用荷载横向分布的概念。理论上已经证明，当等截面简支梁桥采用半波 正弦荷载时，内力，挠度的横向分布与荷载的横向分布存在着精确的等值关系。这里应该强 调的是，荷载横向分布的实质应该是内力或变形的横向分布，在弯梁桥中由于弯扭耦合，不 存在内力、挠度的横向分布与荷载横向分布之间的等效关系，因此弯梁桥中各种内力与变形 的横向分布一般均不相同。按目前习惯，弯梁桥的横向分布仍沿用荷载横向分布的概念。弯梁桥中由于弯扭耦合作用，无法采用对弯、扭分别求解而后叠加的方法